专题1 第1讲 小题研透——集合、复数与常用逻辑用语-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

第1讲　小题研透——集合、复数与常用逻辑用语 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 集合间的基本关系及基本运算 集合、复数在高考中一般单独考查，主要为选择题，难度很小，考查集合及复数基本概念及运算；常用逻辑用语多以其他知识模块为背景，考查充要条件的判断及含量词的命题的否定，试题主要为选择题或填空题 复数的概念、四则运算及几何意义 常用逻辑用语（充分条件与必要条件的判断、含有量词的命题及否定） 二、真题感悟 1.（2024·新高考Ⅰ卷1题）（集合的交集运算）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（　　） A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} 解析：A　法一　因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A. 法二　将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A. 2.（2023·全国甲卷理1题）（集合的并、补集运算）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（　　） A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.⌀ 解析：A　法一（列举法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A. 法二（描述法）　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A. 3.（2024·新高考Ⅰ卷2题）（复数的四则运算）若＝1＋i，则z＝（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 解析：C　法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. 4.（2023·新高考Ⅱ卷1题）（复数的几何意义）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A. 5.（2024·新高考Ⅱ卷2题）（含量词命题的真假判断及否定）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（　　） A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：B　对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，􀱑p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B. 6.（2024·全国甲卷理9题）（充分条件、必要条件的判断）设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（　　） A.x＝－3是a⊥b的必要条件 B.x＝1＋是a∥b的必要条件 C.x＝0是a⊥b的充分条件 D.x＝－1＋是a∥b的充分条件 解析：C　a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B、D错误. 重｜难｜排｜查 1.集合的运算性质及重要结论 （1）A∪A＝A，A∪⌀＝A，A∪B＝B∪A； （2）A∩A＝A，A∩⌀＝⌀，A∩B＝B∩A； （3）A∩（∁UA）＝⌀，A∪（∁UA）＝U； （4）A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 易错提醒　遇到A∩B＝⌀时，需注意到“极端”情况：A＝⌀或B＝⌀；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝⌀的情况. 2.复数四则运算的常见结论 （1）（1±i）2＝±2i； （2）＝i，＝－i； （3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）. 3.复数的几何意义 其中，a，b∈R，i为虚数单位. 4.充分、必要条件的六种类型与对应集合的关系 设p包含的对象组成集合A，q包含的对象组成集合B. p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A⫋B p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p B⫋A p是q的充要条件 p⇔q A＝B p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p A，B互 不包含 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A 集　合 【例1】　（1）（2024·贵阳适应性考试）若集合A＝{x｜2mx－3＞0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（　A　） A.（，］ B.［，） C.（，） D.［，］ （2）（2024·贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（　A　） A.{x｜x＜－1} B.{x｜x≤－1} C.{x｜x≤0或x＞3} D.{x｜0＜x≤3} 解析：（1）因为2∈A且1∉A，所以解得m∈（，］，故选A. （2）∵B＝{y｜y＝2x，x∈R}，∴B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为∁U（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A. 感悟提升 解决集合运算问题的关键 （1）确定集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了； （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图. 1.（2024·重庆学业质量调研）已知集合A＝{x｜－2x2＋5x＋3≥0}，B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，则A∩B的真子集个数为（　　） A.3 B.4 C.7 D.8 解析：C　由－2x2＋5x＋3≥0，得2x2－5x－3≤0，即（2x＋1）（x－3）≤0，解得－≤x≤3，所以A＝x｜－≤x≤3.由B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，得B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C. 2.（2024·开封第二次质量检测）已知集合A＝x｜x＝sin，n∈Z，B＝{0，1}，则下列命题正确的是（　　） A.A＝B B.B⊆A C.A∩B＝{0，－1} D.∁AB＝{1} 解析：B　因为x＝sin的周期T＝＝4，且n∈Z，当n＝1时，x＝1，当n＝2时，x＝0，当n＝3时，x＝－1，当n＝4时，x＝0，所以A＝{－1，0，1}，又B＝{0，1}，所以B⊆A，A≠B，A∩B＝{0，1}，∁AB＝{－1}，故A、C、D不正确，B正确，故选B. 3.（多选）（2024·宋基信阳实验中学月考）对任意A，B⊆R，记AΘB＝{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B}.则下列命题为真命题的是（　　） A.（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B B.若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则AΘB＝{1，4} C.若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则AΘB表示所有的整数 D.若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则AΘB＝{x｜－2＜x＜0，或3＜x＜5} 解析：AB　对于A，由题意知，（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B，A正确；对于B，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}，所以AΘB＝{1，4}，B正确；对于C，若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则A∩B＝⌀，所以AΘB＝A∪B.又0∉A∪B，所以0∉AΘB，C错误；对于D，若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则A∪B＝{x｜－2＜x＜5}，且A∩B＝{x｜0＜x＜3}，所以AΘB＝{x｜－2＜x≤0，或3≤x＜5}，D错误.故选A、B. 复　数 【例2】　（1）若复数z满足（2－i）z＝i2 024，则＝（　　） A.－i B.－－i C.－＋i D.－i （2）（2024·湖北七市州联合测试）已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足z（4－3i）＝3＋4i，则｜｜＝（　　） A. B. C.1 D.2 答案：（1）D　（2）C 解析：（1）由题意，得z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，故选D. （2）由题意，得z＝＝＝＝i，所以复数z在复平面内对应的点为Z（0，1），所以＝（0，1），所以｜｜＝＝1，故选C. 感悟提升 复数的概念及运算问题的解题技巧 （1）与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为z＝mi（m∈R且m≠0），利用复数相等求解； （2）与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z＝a＋bi（a，b∈R），利用待定系数法求解； （3）与复数有关的判断及运算也可利用复数的几何意义转化求解. 1.（2024·济南高三模拟考试）已知复数z1，z2满足2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，则z1＋z2＝（　　） A.1 B. C.2 D.2 解析：B　法一　由2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，得｜2z1－z2｜2＝4－4z1z2＋＝4，将｜z1｜＝1，｜z2｜＝2代入得4－4z1z2＋4＝4，即z1z2＝1，所以z1＋z22＝＋＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以z1＋z2＝，故选B. 法二　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则2＝＝＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4，8－4（ac＋bd）＝4，即ac＋bd＝1，则｜z1＋z2｜＝＝＝＝，故选B. 2.（多选）（2024·郑州第二次质量预测）在复平面内，复数z1＝－i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是（　　） A.｜z1｜＝｜z2｜＝1 B.z1·z2＝｜z1｜2 C.向量对应的复数是1 D.｜｜＝｜z1－z2｜ 解析：AD　因为z1＝－i，则其对应的点为A（，－），z2＝z1－1＝－－i，则复数z2对应的点为B（－，－）.对于A，｜z1｜＝＝1，｜z2｜＝＝1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝（－i）（－－i）＝（－i）2－（）2＝－－＝－1，所以选项B错误；对于C，向量＝（－1，0），则向量对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，｜｜＝1，z1－z2＝1，所以｜｜＝｜z1－z2｜，所以选项D正确.综上，选A、D. 常用逻辑用语 【例3】　（1）（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（　C　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）已知m∈R，命题p：∀x∈R，x2－4x＋2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的必要不充分条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 解析：（1）由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C. （2）p：∀x∈R，x2－4x＋2m≥0为真命题，则Δ＝16－8m≤0，故m≥2.因为{m｜m≥3}⫋{m｜m≥2}，所以p是q的必要不充分条件. 感悟提升 判断充分、必要条件的三种方法 （1）定义法：根据命题p⇒命题q，命题q⇒命题p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据命题p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题； （3）数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解. 1.已知椭圆C：＋y2＝1（m＞0），则“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由得m＝2；由得m＝.所以“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，故选A. 2.（2024·保定定州二中等校联考）下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2＋ln x＞x B.存在一个三位数，它是质数且大于991 C.∃x∈R，sin x＋cos x＝1.42 D.在区间（0，99）内，至少存在50个奇数 解析：B　对于A，∀x∈R，x2＋ln x＞x，是全称量词命题，故A错误；对于B，存在一个三位数，它是质数且大于991，是存在量词命题，其中997是质数且大于991，故B正确；对于C，∃x∈R，sin x＋cos x＝1.42，是存在量词命题，但sin x＋cos x的最大值为，故C错误；对于D，在区间（0，99）内，至少存在50个奇数，是存在量词命题，且在区间（0，99）内，至少存在49个奇数，故D错误，故选B. 1.（2023·新高考Ⅰ卷1题）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（　　） A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 解析：C　由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 2.已知复数z＝1－（a∈R）的实部与虚部相等，则a＝（　　） A. B.－2 C.2 D.－ 解析：B　因为z＝1－＝1－＝＋i，z的实部与虚部相等，所以3－a＝1－2a，得a＝－2，故选B. 3.（2024·贵阳适应性考试）直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则“α＝β”是“tan α＝tan β”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由题意知，α，β∈[0，π），所以若tan α＝tan β，则α＝β；若α＝β＝，则不存在tan α，tan β，就不可能得到tan α＝tan β.所以“α＝β”是“tan α＝tan β”的必要不充分条件.故选B. 4.（2024·南宁第一次适应性测试）已知集合A＝{x｜ax＝1，a∈R}，B＝{－1，1}，且A⊆B，则a的取值集合为（　　） A.{－1} B.{－1，1} C.{0，1} D.{－1，0，1} 解析：D　当a＝0时，A＝⌀，满足A⊆B；当a≠0时，A＝，又A⊆B，所以＝1或＝－1，所以a＝1或a＝－1.故满足题意的a的所有取值组成的集合是{－1，0，1}.故选D. 5.（2024·南京调研测试）已知x＞0，y＞0，则x＋y≥2是xy≥1的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：B　当x＝，y＝时，满足x＞0，y＞0，x＋y＝2，但xy＝＜1，故充分性不成立；若x＞0，y＞0，xy≥1，则x＋y≥2≥2，当且仅当x＝y＝1时两个等号同时成立，故必要性成立.综上，可知x＋y≥2是xy≥1的必要不充分条件，故选B. 6.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{z｜z＝x＋y＋1，x∈A，y∈A}，则集合B的真子集个数为（　　） A.8 B.16 C.31 D.63 解析：C　由题，z＝－1－1＋1＝－1；z＝－1＋0＋1＝0；z＝－1＋1＋1＝1；z＝0－1＋1＝0；z＝0＋0＋1＝1；z＝0＋1＋1＝2；z＝1－1＋1＝1；z＝1＋0＋1＝2；z＝1＋1＋1＝3.故B＝{－1，0，1，2，3}，其真子集的个数为25－1＝31.故选C. 7.任何一个复数z＝a＋bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cos θ＋isin θ）（r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）（n∈Z），我们称这个结论为棣莫弗定理.则（1－i）2 025＝（　　） A.1 B.22 025 C.－22 025 D.i 解析：C　1－i＝2（－i）＝2［cos（－）＋isin（－）］，∴（1－i）2 025＝22 025［cos（－ π）＋isin（－π）］＝－22 025.故选C. 8.（2024·宁波段考）设集合U＝R，集合M＝{x｜x2－2x≥0}，N＝{x｜y＝log2（1－x）}，则{x｜x＜2}＝（　　） A.M∪N B.N∪（∁UM） C.M∪（∁UN） D.∁U（M∩N） 解析：B　M＝{x｜x2－2x≥0}＝{x｜x≤0或x≥2}，N＝{x｜y＝log2（1－x）}＝{x｜x＜1}，对于A选项，M∪N＝{x｜x＜1或x≥2}≠{x｜x＜2}，∴A选项错误；对于B选项，N∪（∁UM）＝{x｜x＜1}∪{x｜0＜x＜2}＝{x｜x＜2}，∴B选项正确；对于C选项，M∪（∁UN）＝{x｜x≤0或x≥2}∪{x｜x≥1}＝{x｜x≤0或x≥1}≠{x｜x＜2}，∴C选项错误；对于D选项，∵M∩N＝{x｜x≤0或x≥2}∩{x｜x＜1}＝{x｜x≤0}，∴∁U（M∩N）＝{x｜x＞0}≠{x｜x＜2}，∴D选项错误.故选B. 9.（多选）下列说法正确的是（　　） A.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 B.“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件 C.若命题q：对于任意x∈R，x2＋2x－a＞0为真命题，则a＜－1 D.若命题p：∃x≥0，2x＝3，则􀱑p：∀x＜0，2x≠3 解析：AC　命题“三角形的内角和为180°”可写为：所有的三角形的内角和都是180°，是全称量词命题，A正确；x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，不是必要条件，应是充分不必要条件，B错误；对于任意x∈R，x2＋2x－a＞0为真命题，则Δ＝4＋4a＜0，a＜－1，C正确；命题p：∃x≥0，2x＝3的否定是∀x≥0，2x≠3，D错误.故选A、C. 10.（多选）（2024·大连第一次模拟考试）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（　　） A.已知a，b，c，d∈R，若a＞c，b＝d，则a＋bi＞c＋di B.复数z1，z2满足＝z2，则｜z1｜＝｜｜ C.复数z满足｜z－i｜＝｜z＋i｜，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线 D.复数z满足z（1＋i）＝｜1－i｜，则z＝（cos－isin） 解析：BCD　对于A，除非b＝d＝0，否则两个复数不能比较大小，故A错误；对于B，设z1＝a＋bi（a，b∈R），所以＝a－bi，由＝z2，所以z2＝a－bi，即＝a＋bi，所以｜z1｜＝｜｜，故B正确；对于C，设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜a＋bi－i｜＝｜a＋bi＋i｜，所以a2＋（b－1）2＝a2＋（b＋1）2，化简得b＝0，所以z在复平面内对应的点的轨迹为x轴，故C正确；对于D，z＝＝1－i，（cos－isin）＝（－i·）＝1－i，故D正确.综上，选B、C、D. 11.（多选）（2024·北京育英学校段考）设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B间的关系为（　　） A.B＝∁RA B.B＝∁R（A∩B） C.A＝∁RB D.A＝∁R（A∩B） 解析：AC　因为m＝n＝且对任意x∈R，m＋n＝1，所以m，n的值一个为0时，另一个为1，即x∈A时，x∉B或x∈B时，x∉A，所以A，B间的关系为B＝∁RA或A＝∁RB，故选A、C. 12.（2024·上海高考9题）已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m（m∈R），则实数m为2. 解析：法一　设z＝1＋bi（b∈R且b≠0），则z＋＝1＋bi＋＝1＋bi＋＝1＋＋（b－）i，因为m∈R，所以b－＝0，得b2＝1，所以m＝1＋＝2. 法二　由z＋＝m得z2－mz＋2＝0，解得z＝，依题意得＝1，解得m＝2. 13.（2024·河南顶尖名校联盟期中）已知命题p：实数x满足a≤x＜4a，a＞0，命题q：实数x满足2＜x≤4，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（1，2]. 解析：因为p是q的必要不充分条件，所以集合（2，4]是[a，4a）的真子集，则解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]. 14.（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为5. 解析：由A∩B＝A可知B≠⌀，所以m≥0.由｜x－3｜≤m可得－m≤x－3≤m，即3－m≤x≤3＋m，故B＝[3－m，3＋m]，因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以解得m≥5，所以m的最小值为5. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $