方法8 均值代换-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦均值代换方法，针对变量和为定值的最值、方程求解等高考高频考点，依据高考评价体系梳理考点权重，通过典型例题归纳两个变量、三个变量代换的常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“方法精讲+真题训练+素养提升”，以例1（a+b=4求分式最值）和训练1（a+b=2求ab）为例，指导学生运用均值代换简化运算，培养数学思维中的推理能力与符号运算能力，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准开展针对性复习教学。

方法8　均值代换 PART ONE 　　所谓均值代换，是指利用若干个变量的平均值和一个字母重新定义原来变量之间的关系，从而便于计算.当n个变量xi（i＝1，2，…，n）的和为定值a时，可设xi＝ ＋ti，其中t1＋t2＋…＋tn＝0，这种代换叫作均值代换.均值代换以问题中某些变量的平均值为基点，对这些变量进行线性变换，从而引入新的变量，以达到简化问题与解决问题的目的，是换元法的一种特殊形式. 【例1】　（两个变量和为定值的均值代换设法）已知a，b∈R，a＋b＝ 4，则 ＋ 的最大值为（　　） A. B. C. D. √ 解析：　因为a＋b＝4.令a＝2＋t，b＝2－t，则 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，令u＝5＋ t2，则u≥5，上式可化为g（u）＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅当u＝ ，即u＝4 时取等号. 训练1　（1）已知a＋b＝2， ＋ ＝－4，则ab＝ ⁠⁠； 解析：令a＝1＋t，b＝1－t，则原式可化为 ＋ ＝ t2· ＝－4，可得t2＝2，所以ab＝1－t2＝－1. －1 解析：令x＝2－t，2y＝2＋t，t∈（－2，2），则 ＝ ＝2（ 1－ ），t2－4∈[－4，0），故 ≥2×（ 1－ ）＝ ，当且仅当t＝0，即x＝2，y＝1时取等号. （2）设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则 的最小值为 　​ 　. ​ 【例2】　（三个变量和为定值的均值代换设法）设实数x，y，z满足则当z为何值时，x2＋y2取最大值？最大为多少？ 解：由x＋y＝1－z， 设x＝ ＋t，y＝ －t， 则xy＝（ ）2－t2＝z2－7z＋14， 整理得3z2－26z＋55＝－4t2≤0， 即（3z－11）（z－5）≤0， 解得 ≤z≤5， 且x2＋y2＝（x＋y）2－2xy ＝（z－1）2－2（z2－7z＋14） ＝－（z－6）2＋9， 当z＝5时，（x2＋y2）max＝8. 训练2　已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最 大值为 ⁠. 解析：由题意知b＋c＝－a，令b＝－ ＋t，c＝－ －t，则a2＋（ － ＋t）2＋（ － －t）2＝1，即 ＋2t2＝1， ＝1－2t2≤1，故a2≤ ， － ≤a≤ . ​ $