方法10 三角代换-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦三角代换核心方法，覆盖椭圆、圆的参数方程应用，函数值域、代数式范围求解等高考高频考点。依据高考评价体系，分析这些考点在近年真题中的权重，归纳直接代换、结构挖掘等常考题型，构建针对性备考体系。 课件以“例题精讲+分层训练”为特色，如例1通过椭圆方程三角代换求x+y范围，训练1用圆参数方程解决代数式范围问题，培养数学思维与数学语言素养。提供辅助角公式化简等答题模板，助力学生掌握转化技巧，教师可精准教学，提升冲刺效率。

方法10　三角代换 PART ONE 　　所谓三角代换，是指利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，使题目得以突破的解题方法，其实质是换元思想，体现了“三角”是数学中的工具的特征，恰当地利用三角代换有助于培养学生联想和类比的能力. PART ONE 　　当三角代换可应用于去根号或问题变换成三角形式易求解时，应利用已知代数式与三角知识中的某些联系进行换元.例如，求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0，1]，设x＝ sin 2θ，θ∈［0， ］，问题就变成了熟悉的求三角函数值域；当变量x，y满足条件x2＋y2＝r2（r＞0）时，可进行三角代换x＝r cos θ，y＝r sin θ，化为三角问题.当变量x，y满足条件 ＋ ＝1（a＞b＞0）可用化为三角问题处理. 【例1】　（直接代换，三角计算）已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的取值范围 是 ⁠. 解析：已知式可变形为（x－2）2＋（2y）2＝4，令则 θ∈[0，2π]，故x＋y＝2 cos θ＋ sin θ＋2＝ sin （θ＋φ）＋2∈[2－ ，2＋ ]，其中， sin φ＝ ， cos φ＝ . [2－ ，2＋ ] 训练1　（1）已知实数x，y满足x2＋y2＝5，则t＝4x2－5xy＋4y2的范围 为（　　） A. ［－ ， ］ B. ［ ， ］ C. ［－ ，－ ］ D. [15，45] 解析：　令θ∈[0，2π]，则t＝4x2－5xy＋4y2＝20－ sin 2θ∈［ ， ］.故选B. √ （2）设△ABC的三个顶点在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上，坐标原点O 是△ABC的重心，求证：△ABC的面积为定值. 证明：令A（a cos α，b sin α），B（a cos β，b sin β）， 则C（－a（ cos α＋ cos β），－b（ sin α＋ sin β））， 又点C在椭圆上， 代入得（ cos α＋ cos β）2＋（ sin α＋ sin β）2＝1， 即 cos （α－β）＝－ . S△ABC＝3S△OAB＝ ab｜ sin （α－β）｜＝ ab，为定值. 【例2】　（挖掘结构，三角代换）已知实数x，y满足4x2－5xy＋4y2＝ 5，求S＝x2＋y2的范围. 解：设代入4x2－5xy＋4y2＝5得4S－5S sin α cos α＝5， 解得S＝ . 因为－1≤ sin 2α≤1，所以3≤8－5 sin 2α≤13， 所以 ≤ ≤ ，所以S∈［ ， ］. 训练2　已知实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，试求x2＋y2的最小值. 解：设x＝r cos θ，y＝r sin θ， 则r2（ cos 2θ＋2 sin θ cos θ）＝1⇔r2（ ＋ sin 2θ）＝1⇔r2（ ＋ sin （2θ＋φ））＝1⇔r2＝ ≥ ＝ ， 其中， sin φ＝ ， cos φ＝ . 当且仅当 sin （2θ＋φ）＝1时取等号. 【例3】　（三角代换，简化运算）设椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、 右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为原点. （1）若直线AP和直线BP的斜率之积为－ ，求椭圆的离心率； （1）由题知 · ＝－ ，即有 ＝ ，则e＝ . 解：设P（a cos θ，b sin θ），A（－a，0），B（a，0）. 解：证明：因为 ＝a， 可得a2 cos 2θ＋2a2 cos θ＋b2 sin 2θ＝0， 则k2＝－ －1.又由a2（ cos 2θ＋2 cos θ）＝－b2 sin 2θ，a＞ b，可以得到 ＝ ＞1， 即有－ ＜ cos θ＜0，则k2＞3成立，故｜k｜＞ 成立. （2）若｜AP｜＝｜OA｜，证明直线OP的斜率k满足｜k｜＞ . 训练3　函数y＝ － 的最值为 　最大值 －1， ⁠. 解析：由（ ）2＋（ ）2＝4，可设 θ∈［ ， ］，于是y＝2 sin θ－2 cos θ＝2 sin （θ－ ），所以 最大值 －1， 最小值1－ $