举措一 二、数形结合思想-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦“数形结合思想”核心考点，覆盖解析几何（双曲线、圆、抛物线）和函数图像与性质（分段函数、零点问题）等高考高频内容。依据高考评价体系，分析了几何直观与代数运算的结合在动态问题、最值求解中的40%以上考点权重，归纳了“以形助数”“以数助形”两类常考题型。 课件亮点在于高考真题导向的实战训练，如通过双曲线中构造中位线利用定义求参数（例1），函数零点转化为图像交点求参数范围（例2），培养学生几何直观和推理意识素养。提供“几何性质转化”“函数图像分析”等突破方法，帮助学生掌握转化技巧提高得分率，教师可据此开展专题高效复习。

二、数形结合思想 PART ONE 　　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面： 以形助数 以数助形 借助形的直观性来阐明数之间的联 系.以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助解析几何方法 借助于数的精确性来阐明形的某些 属性.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合 由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化 巧用几何性质解决问题 【例1】　已知O为坐标原点，双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的 左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，点P是C的右支上异于顶点的任 意一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，｜MO｜＝ ，则 b＝（　　） A. B. C. 1 D. 2 √ 解析：　设半焦距为c，如图，延长F2M交PF1于点 N，因为PM是∠F1PF2的平分线，F2M⊥PM. 所以 △NPF2是等腰三角形，所以｜PN｜＝｜PF2｜，且M是 NF2的中点.根据双曲线的定义可知｜PF1｜－｜PF2｜＝ 2a，所以｜NF1｜＝2a.由于O是F1F2的中点.所以MO是△F1NF2的中位线，所以｜MO｜＝ ｜NF1｜＝a＝ ，又双曲线的离心率为 ，故 ＝ ，所以c＝ ，所以b＝ ＝1.故选C. 1. 对于解析几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其 中的相互关系求解. 2. 应用几何性质解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有： （1）形如m＝ 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； （3）形如m＝（x－a）2＋（y－b）2的最值问题，可转化为两点间距 离的平方的最值问题. 感悟提升 目录 1. 过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：（x－2）2＋（y－3）2＝1的两 条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为 的点P有 两个，则实数m的取值范围为 ⁠. （－5，3） 解析：如图，由圆M：（x－2）2＋（y－3）2＝1，知 圆M的圆心为M（2，3），半径为1，所以｜MA｜＝｜ MB｜＝1，所以四边形PAMB的面积为S＝ ｜PA｜｜ MA｜＋ ｜PB｜｜MB｜＝｜PA｜＝ ，所以｜PM｜＝ ＝ ＝2 ，要使四边形PAMB的面积为 的点P有两个，则点M到直线x－y－m＝0的距离d＝ ＜2 ，解得－5＜m＜3. 2. 已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A（－2，4），在此抛 物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为 . ​ 解析：因为（－2）2＜8×4，所以点A（－2，4）在 抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l， 过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连 接AQ. 可知△APF的周长为｜PF｜＋｜PA｜＋｜ AF｜＝｜PQ｜＋｜PA｜＋｜AF｜≥｜AQ｜＋｜AF｜≥｜AB｜＋｜AF｜.因为A（－2，4），所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为（－2，y0），代入x2＝8y，得y0＝ .故使△APF的周长最小的点P的坐标为 . 巧借函数图象解决问题 【例2】　（1）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x） ＋2x＋ln a（a＞0）有2个零点，则实数a的最小值是（　A　） A. B. C. 1 D. e A 解析：令g（x）＝0，得f（x）＝－2x－ln a， 若g（x）有2个零点，则函数f（x）与函数y ＝－2x－ln a（a＞0）的图象有两个不同的交 点.画出函数f（x）与函数y＝－2x－ ln a（a＞0）的大致图象如图所示，当直线 y＝－2x－ln a过点（0，1）时，两个函数图象有两个交点，此时1＝－2×0－ln a⇒a＝ .由图可知，当直线向下平移时，可使两个函数图象有两个交点，所以－ln a≤1⇒a≥ ，所以实数a的最小值为 .故选A. （2）已知函数f（x）＝若f（m）＝f（2m）， 则f（m＋1）＝ ⁠. 解析：作出f（x）的图象如图所示，则f（x）在（－∞，0）上单调递增，在[0，＋∞）上单调递减.且对于任意m∈R都有m＜2m，由f（m）＝f（2m）可知，m＜0，所以2m＝－8·（2m）2－2m＋1，即8·（2m）2＋2·2m－1＝0，解得2m＝ （负值舍去），所以m＝－2.则f（m＋1）＝f（－1）＝ . ​ 　　研究函数的零点及方程的根、不等式的求解及参数范围等问题，常转 化为函数图象的交点问题，其思维流程为： 感悟提升 目录 1. 若函数f（x）＝x－ ，则方程f2（x）－f（x）－6＝0的实数根 的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 解析：　f（x）＝x－ ＝可作出 函数f（x）＝x－ 的图象如图所示，由方程f2（x）－f（x）－6＝0，得f（x）＝3或f（x）＝－2，所以方程f2（x）－f（x）－6＝0的实数根的个数为3.故选A. 2. 已知函数f（x）＝若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2）， 则｜x1－x2｜的取值范围是 ⁠. ​ 解析：根据题意，作出函数f（x）＝的图 象如图所示.设f（x1）＝f（x2）＝t，t∈（0，1]，且x1 ＞x2，则x2＋1＝t， ＝t，所以｜x1－x2｜＝x1－x2＝ －t＋1＝－（ ）2＋ ＋1＝－ ＋ .令m ＝ ，则m∈（0，1]，设g（m）＝－ ＋ ，易知g（m）在 上单调递增，在 上单调递减，所以g（m）min＝g（1）＝1，g（m）max＝g ＝ ，所以｜x1－x2｜的取值范围是 . 运用数形结合思想分析解决问题的三大原则 （1）等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是 等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不 能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅 显的说明； （2）双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行 代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析 （或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的； （3）简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法 或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单. $