第8章 8.11 圆锥曲线中的证明、探索性问题(提升课)（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何圆锥曲线中的证明与探索性问题，依据高考评价体系梳理了定点定值证明、点线参数存在性等核心考点，结合2025天津卷、2024全国甲卷等真题案例，明确证明问题（占比约45%）和探索性问题（占比约55%）的高频考查方向，构建了完整的题型解法体系。 课件亮点在于“真题精讲+方法建模+素养提升”的备考路径，如例1通过向量数量积证明角平分线，培养数学思维的推理能力，例2用肯定顺推法解决存在性问题，强化数学语言的表达素养。特设规律方法总结和易错点警示，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准规划复习，实现高效备考。

8.11　圆锥曲线中的证明、 探索性问题(提升课) 第八章　解析几何 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 核心考点突破 01 知能达标训练 02 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 栏目导航 第八章　解析几何 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第八章　解析几何 1 谢谢观看 栏目导航 第八章　解析几何 1 圆锥曲线中的证明、探索性问题是高考考查的热点，难度较大，常出现在高考题比较靠后的位置．常涉及定点、定值、最值、范围问题等． 考点一　证明问题　重难考点　师生共研 　(2025·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P为直线x＝a上一点，且直线PF的斜率为，△PFA的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分∠AFB. [解析]　(1)依题意，设椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c， 则左焦点F(－c，0)，右顶点A(a，0)，离心率e＝＝，即a＝2c， 因为P为x＝a上一点，设P(a，m)， 又直线PF的斜率为，则＝，即＝， 所以＝，解得m＝c， 则P(a，c)，即P(2c，c)， 因为△PFA的面积为，|AF|＝a－(－c)＝a＋c＝3c，高为|m|＝c， 所以S△PFA＝|AF||m|＝×3c×c＝， 解得c＝1， 则a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)证明　由(1)可知P(2，1)，F(－1，0)，A(2，0)， 易知直线PB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m， 则1＝2k＋m，即m＝1－2k， 联立消去y得， (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 因为直线与椭圆有唯一交点， 所以Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)·(4m2－12)＝0， 即4k2－m2＋3＝0，则4k2－(1－2k)2＋3＝0，解得k＝－，则m＝2， 所以直线PB的方程为y＝－x＋2， 联立解得则B， 则＝，＝(3，1)，＝(3，0)， 所以cos ∠BFP＝＝＝， cos ∠PFA＝＝＝， 则cos ∠BFP＝cos ∠PFA，又∠BFP，∠PFA∈， 所以∠BFP＝∠PFA，即PF平分∠AFB. 圆锥曲线中的证明问题常见的有以下两个方面： (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等． 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明． 1．(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴． (1)求C的方程； (2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴． 解析　(1)方法一(直接法) 由题意知解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. 方法二　由题意知解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. 方法三(巧用椭圆的定义) 设F′为C的左焦点，连接MF′，则|MF|＝，|FF′|＝2， 在Rt△MFF′中，|MF′|＝＝＝， 由椭圆的定义知2a＝|MF′|＋|MF|＝4，2c＝|FF′|＝2， 所以a＝2，c＝1，又a2＝b2＋c2，所以b＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明　分析知直线AB的斜率存在． 易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴． 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋4(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(1，n)， 联立方程得 消去x得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0，Δ>0， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为N为线段FP的中点，F(1，0)，所以N. 由N，Q，B三点共线，得kBN＝kNQ， 即＝，得－y2＝n，得n＝， 所以n－y1＝－y1＝－y1 ＝＝＝0， 所以n＝y1，所以AQ⊥y轴． 综上，AQ⊥y轴． 考点二　探索性问题　多维探究　发散思维 角度1　点、线的存在性问题 　已知椭圆K：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，过右焦点F2的直线l交椭圆K于M，N两点，以线段MF2为直径的圆C与圆C1：x2＋y2＝8内切． (1)求椭圆K的方程； (2)过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NQ⊥x轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． [解析]　(1)设|MF2|＝2r，D为线段MF2的中点，依题意，得|OD|＝2－r，|MF1|＝4－2r，所以2a＝|MF1|＋|MF2|＝4－2r＋2r＝4，a＝2，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8－4＝4，所以椭圆K的方程为＋＝1. (2)依题意，当直线l 斜率为0或不存在时，不符合题意； 当直线l 斜率不为0时，设直线l 方程为x＝my＋2(m≠0)， 联立得(m2＋2)y2＋4my－4＝0， 易知Δ＝16m2＋16(m2＋2)>0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 因为ME⊥x 轴，NQ⊥x轴，所以E(x1，0)，Q(x2，0)， 所以直线QM：y＝(x－x2)，① 直线NE：y＝(x－x1)，② 联立①②解得xP＝＝ ＝2＋＝4， 因为ME∥NQ，ME与直线x＝4平行， 所以S△PMN＝|NQ|·|xP－x1|＝|y2|·|4－x1|＝|2y2－my1y2|， 因为＝1， 所以S△PMN＝|2y2－(y1＋y2)|＝|y1－y2| ＝＝＝， 解得m＝±， 故存在直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0， 使得△PMN的面积等于. 点、线存在性问题的求解方法 (1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线(直线或点等)存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程(组)； ③若方程(组)有实数解，则曲线(直线或点等)存在，否则不存在． (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. 角度2　含参数的存在性问题 　如图，A，B，M，N为抛物线y2＝2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0)，直线AN过点(2，0). (1)记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yAyB； (2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． [解析]　(1)设直线AB的方程为x＝my＋1， 联立 消去x并化简得y2－2my－2＝0， 则yAyB＝－2. (2)设直线MN的方程为x＝ny＋1，同(1)可求得yMyN＝－2， 设直线AN的方程为x＝ty＋2， 联立 消去x并化简得y2－2ty－4＝0， 所以yAyN＝－4. k1＝＝＝， 同理可求得k2＝， 则λ＝＝＝＝＝2， 所以存在λ＝2使得k2＝2k1. 含参数的存在性问题的求解方法 求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程． 2．(2025·阜阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，上、下焦点分别为F1，F2.直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6，4). (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q两点，与线段AB交于点N，＝λ，＝λ均成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由已知C：－＝1(a>0，b>0)，当l经过C的焦点时，点A 的坐标为(6，4)，得c＝4，焦点F1(0，4)，F2(0，－4)，2a＝|AF2|－|AF1|＝－6＝4. 所以a＝2，b2＝c2－a2＝12， 故C的方程为－＝1. (2) 设直线l 的方程为y＝2m(m>1)，则D(0，2m)，故M(0，m)， 当直线PQ 斜率不存在时，直线PQ 的方程为x＝0，则N(0，2m)，Q(0，2)，P(0，－2)，由＝λ，＝λ得，m＋2＝λ(2m＋2)，2－m＝λ(2m－2)，消去λ 得2－m＝(2m－2)，解得m＝； 当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为y＝kx＋m(k≠0)， 故N. 与双曲线方程联立得，(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0， 由已知得3k2≠1，Δ>0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝，① 由＝λ，＝λ得， x1＝λ，x2＝λ， 消去λ 得，x2＝x1， 即2x1x2－(x1＋x2)＝0，② 由①②得，12(m2－2)＝0，又因为m>1， 解得m＝， 故存在定直线l：y＝2 满足条件． $