青海省七校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试卷

高三数学试卷参考答案 1.A1(2+i)2|=(/4+1)2=5. 2.C由题可知A∩B={2,5},所以C(A∩B)={1,3,4. 3.C因为6×55%=3.3，所以该组数据的第55百分位数为按从小到大的顺序排列的第4个 数，即9 B椭圆E十牛的长轴长为2Vm+4,短轴长为2m=2m,放2V加+4 23m,解得m=2. 5.C因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)5-5(-x)3+4(-x)=-x5+5x3-4x= -f(x),所以f(x)是奇函数，排除D.f(x)=x(x2-4)(x2-1),所以f(1)=f(一1)= f(2)=f(一2)=0，排除A.当x∈(0,1)时，f(x)>0,排除B. 6.C{an}是单调递增的等比数列，且a2a3a6=a1a5am,所以2十3十6=1十5十m,即m=5. 7A圆C:x2+y2=a的圆心为C1(0,0),半径r1=√a,圆C2:x2+y2+bx十cy-1=0的标 准方程为(c+2)广+(+台》广-会+号+1.圆心为C(-会，一台》，半径 √+号+，曲题可知G0,0)与G(-多-台)关于直线x+y-2=0对称，所以 b 2 2 十 -2=0 解得6c-4.叉r所以a-考+号+1-9放e+6+c- 2 -0 =1, b 20 8.A解法一：取AB的中点M,连接DM(图略).因为AD=BD,所以在△ABD中，DM⊥ AB,则AB·AD=AB.(AM+MD)=AB·AM=312.5. 解法二：在正五边形ABCDE中，∠BAE=108,∠EAD=36°，∠BAD=72.°1AD1=21AE1· c0s∠EAD=50c0s36,AB·AD=25×50cos36°Xcos72°= 1 250sin 36cos 36cos 72 sin 36 625sin72c0s72°_312.5sin14=312.5. sin36° sin36° 9.BC 函数y=在(-1,0)，(0,1)上单调递减.函数y=sinx在(0，），(，2x)上单调递 增，在（受，x),(,)上单调递减，所以f(x)在(0，）.（贸，2x)上单调递减，在（受）， (x,)上单调递增。 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 10.AB因为S2m=0,S2-1=2,所以a2m=S2一S-1=一2，即{am}的偶数项均为一2，B正确。 因为S2w-2=S2=0(n≥2)，所以a2m-1=S2-1一S2w-2=2(n≥2).又因为a1=S2×1-1=2, 所以{an}的奇数项均为2，A正确.T22=1X2+2×(一2)十3×2+4×(-2)+…+21×2十 22×(-2)=-2×11=-22,T31=1×2+2×(-2)+3×2+4×(-2)+…+29×2+30× (-2)+31×2=-2×15+62=32,C,D错误. 11.BCD记AD,CE,AE,CD的中点分别为M,N,K,Q(图略).平面 H ABD与平面BCE所成的角为∠MBN.BM=BN=√J3,MN=2√2，显 然∠MBN≠90°，所以平面ABD不与平面BCE垂直，A错误.平面 ABE与平面BCD所成的角为∠KBQ.BK=BQ=√2，KQ=2,所以 BK2+BQ=KQ,∠KBQ=90°，所以平面ABE⊥平面BCD,B正确. 记MN的中点为I(图略)，在△MBN中可得BI=1,即四棱锥 B-AECD的高为1.该几何体可由四个与四棱锥B-AECD全等的四棱锥和一个正四棱柱 AHUD-EFGC组成，其体积为个×号×2×2v2×1+2X2X2反_0匠.C正确.记正四棱 3 柱AHJD-EFGC的中心为P(图略)，可得点P到该几何体各顶点的距离均为2，所以存在 球O,使得该几何体的顶点都在球O的球面上，D正确. 12.号已知m(e+)"4,解得1ma一号 3 3 13.1抛物线y=6x的焦点为F(受，0)，准线方程为x= 2, 由抛物线的定义，可知点M到焦点F的距离等于点M到准线的距离，即MF=x十 2, 3 所以x+|MN|=|MF+MN|-),因为当F,M,N三点共线时，MF|+MN|最小， 此时IMF1+MNDm=NF1-√（停-o)°+(0-2yF=；,所以x+1MN的最小值是 5_3=1. 22 14.(-3,0)U(2,5)根据题意可得一5+4m=0,解得m=1.设x1,x2∈[0,4)，且x1<x2, 则x1-2<0,所以(i+1)fx)-(x+1)f(x)<0,即f<fx x+1x号+1 设函数g(x)= 易得gx)在[0，上单调递增.因为f(x)为(-4,4)上的偶函数，所以g)为 f(x) (一4,4)上的偶函数，所以gx)在（一4,0）上单调递减.因为g(1)=-2,所以f(x m)>2x=4x+4等价于1)+1>2，即g(x一1)>s1),则 /x-1>1, 或 -4<x-1<4 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 x-1<-1, 解得2<x<5或-3<x<0. -4<x-1<4, 15.解：(1)零假设为H。:产品检测结果与生产线没有关联. 由x2=100X(50X15-10×25) 60×40×75×25 ≈5.556>x0.05=3.841,…3分 根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H。不成立， 即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于0.05.…6分 (2②)由题可知，随机从该工厂抽取1件产品，该产品检测结果为“合格“的概率力=子 …8分 由题可知X一B(3,), ……9分 则P(X≥1)=1-PX=0=1-(1-)-8 …11分 X的期塑EGX)-3×号-是 …13分 16.解：(1)由题设2 acos Bcos C+2 ccos Acos B=b,得2 sin Acos Bcos C+2 sin Ccos Acos B =sin B, 4404040…20504……04……………………。2 所以2cosB(sin Acos C十sin Ccos A)=sinB,则2 cos Bsin(A+C)=sinB,·3分 所以2 cos Bsin(π-B)=2 cos Bsin B-=sinB,sinB≠0，故cosB=2,…5分 又B∈(0，x),所以B=号…6分 (2)因为b2=a2十c2-2acc0sB,所以b2=a2+4-2a.①…8分 △ABC的周长为a十b+c=6+23,即a+b=4+2J3.②…10分 由①②解得a=4,b=23,…13分 所以△ABC的面积S三7 acsin B=23.…15分 17.(1)证明：∠ADC=∠APD=90°，即AD⊥CD,AP⊥PD: 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AP.…2分 因为CD∩PD=D,所以AP⊥平面PCD.…3分 因为APC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.…4分 (2)证明：取AD的中点E,连接EF,BE,AC,BD.…5分全 在△PAD中，EFPD.因为PDC平面PCD,EF平面PCD, 所以EF/平面PCD.… …6分 在△ACD中，AD=23,CD=2,∠ADC=90°， 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 所以am∠DiC--9即∠DaC=0. 易证△ACD≌△ACB,所以∠BAC=30°，∠BAD=60°，△ABD是等边三角形，所以BE⊥ AD,所以BE/CD. 因为CDC平面PCD,BE中平面PCD,所以BE平面PCD.… 8分 因为EF∩BE=E,EFC平面BEF,BEC平面BEF,所以平面BEF平面PCD 因为BFC平面BEF,所以BF平面PCD.… 10分 (3)解：连接PE.以E为原点，EA,EB,EP所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，则B03,0,r(停0.号 ,P(0,0,√5)，C(-√/3,2,0)，…12分 所以B床-(5，-3，)，P元=（一5,2，-月.…1B分 因为cos(B,PC)= BF.PC 3√105 35 …14分 BFPCI 所以直线BF与直线PC所成角的余弦值为3西 35 …15分 18.解：(1)若a=1,则f(x)=2lnx-x,f(1)=-1. …1分 又f(x)2-1,所以f1)=2-1=1. 2分 故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y一（一1）=1×(x一1)，即x一y一2=0.… …4分 (2)f(x)的定义域为(0，+o∞)，f'(x)=-2-a=2a …5分 当4≤0时，f(.x)=2二>0，故f(c)在(0，十o)上单调递增：…7分 x 当u>0时，令f'(x)2a4>0,解得0<1<2 …8分 故了()在(0，)上单调递增，在（忌，+∞）上单调递减 …10分 (3)由f(x)≤er-x2,可得x2+2lnx≤e“十a.x,即enx+lnx2≤er+a.x,…l2分 令g(x)=e十x,易知g(x)单调递增， 由en+lnx2≤er十a.x,可得g(lnx2)≤g(a.x),则nx2≤a.x,即 In xa 2 …14分 设h)=血，则'(x)=n工，当x>e时，h'(x)<0,h)单调递减， 当0<x<e时，h'(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x)m血e- ,…15分 所以号≥，因此a的取值范围为忌，十)】 ……17分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 19.解：(1)因为m√x2+y2=|3.x+23|,所以 3 …2分 23 x十3 √x2+y表示点(x,y)到原点的距离， x 23 3 表示点(，y)到直线x=一2 二的距离 …3分 若曲线C表示椭圆，则0<3<1，解得m>3,即m的取值范围为(3，十∞)：…4分 m 若曲线C表示双曲线，则3>1，解得0m<3,即m的取值范围为(0,3).…5分 ②1因为面线C的离心率为所以是-香 m=2,即m=6, …7分 即曲线C的方程为6√/2+y-|3x+2√51， 曲线C向右平移2√3个单位长度得到曲线C',故曲线C'的方程为√6√(x一2√)2+y2= 13K一25)+251，化简可得号- y =1. …10分 （i)设P(x1y1),M(x2,y2),N(x3,y3). 因为OP+OM+4ON=0,所以(x1十x2y1+y2)=-4(x3y3), 解得x十=-十”，则N(-,-”中)，…1分 4 4 4 若直线PM的斜率为O,则由双曲线的对称性可知x1十x2=0,此时N在y轴上， 所以N不可能在双曲线C上，舍去.…12分 x=ty十S, 设直线PM的方程为x=ty十s,由 xy21得(12-2)y2+2sy十s2-8=0, =1, 84 则t2≠2且△>0，即s2+42>8, -21s s2-8 又y1十y%=2-21y2=2-2 …13分 所以x1+=(01十)+2=2故N(之22-2 ts ,……14分 [2 代入双曲线C'的方程得 8 4 -=1,化简得16(2-t2)=s2,又2≠2，所以 t2-22(t2-2) 2-t2>0,点N到直线PM的距离d= 3lsI 6V2-12 2+1 2√2+1√2+1 …15分 |PM=√(x1-x2)+(y1-y2)=√1+√/(y+y2)2-4y1y2 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 √4 ξ-1+、 4ts2-4(s2-8)(t2-2) (t2-2)2 8(40+s-8】-√1+、 8412+16(2-t2)-8] (t2-2)2 (t2-2)2 =46.1+ …16分 2-42 放APMN的面积S-1PM1d-45..y-12后.…17分 √2-√+1 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 题目要求的. 1.1(2+)2|= 如 A.5 B.√17 C.3√5 D.17 製 2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,5},集合B={2,3,5},则u(A∩B)= A{4) B.{2,5} C.{1,3,4} D.{1,2,3,5} 到 3.若一组数据按照从小到大的顺序排列为5,5,7,9,9,11，则该组数据的第55百分位数为 A.5 B.7 C.9 D.11 y2 4已知m>0,椭圆E:需十m千4一1的长轴长是短轴长的倍，则m= A.2 B.√2 C.4 D.2√2 5.函数f(x)=x5一5x3十4x的大致图象为 线 前中 6.已知数列{an}是单调递增的等比数列，若a2a3a6=a1a5am,则正整数m= A.3 B.4 C.5 D.6 7.已知圆C1:x2+y2=a与圆C2:x2十y2十bx十cy-1=0关于直线x十y-2=0对称，则a b+c= A.1 B.9 C.15 D.17 【高三数学第1页（共4页）】 8.青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现 存于三星堆博物馆.如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个 点，记为A,B,C,D,E,五边形ABCDE为正五边形，AB=25, 则AB·AD= A312.5 B.625 C.1250 D.625cos36° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9在下列区间中，函数f(x)= 2 一单调递增的是 sin x 方 A(0,) B(受 c(. n.(受2) 10.设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2n=0,S24-1=2,记数列{nan}的前n项和为Tm,则 Aa99=2 B.a1o0=-2 C.T2=22 D.T31=52 11.如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何 体的棱长均为2，则 A.平面ABD⊥平面BCE B.平面ABE⊥平面BCD C该几何体的体积为402 3 D.存在球O,使得该几何体的顶点都在球O的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12.已知tan(a+牙)=4，则tana=▲一， 13.已知点N(0,2)及抛物线y2=6x上一动点M(x,y),则x+|MN|的最小值是▲ 14.已知f(x)是定义在(m一5,4m)上的偶函数，对任意的x1,x2∈[0,4m),当x1≠x2时， (x+1)f(x)-(i+1)fx2>0恒成立.若f(1)=4,则关于x的不等式f(x一m)> x1一x2 2x2一4x十4的解集为▲ 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 某工厂甲、乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条 生产线所生产的产品中，随机抽取了100件进行检测，检测结果(“合格”或“优良”)如下表。 检测结果 生产线 合计 合格 优良 甲生产线 50 10 60 乙生产线 25 15 40 合计 75 25 100 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ (2)用样本估计总体，频率估计概率.随机从该工厂抽取3件产品，记随机变量X为这3件 产品中检测结果为“合格”的产品数量，求P(X≥1)和X的期望. 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 acos Bcos C+2 ccos Acos B-b=0. (1)求B; (2)已知c=2,△ABC的周长为6+2√5，求△ABC的面积. 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD=AB=2√3，CD=CB=2,PA =PD,∠ADC=∠APD=90°，F是AP的中点. (1)证明：平面PAB⊥平面PCD. (2)证明：BF平面PCD. (3)求直线BF与直线PC所成角的余弦值. 【高三数学第3页（共4页）】 8.(17分) 已知函数f(x)=2lnx一ax. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若a>0,f(x)≤e一x2恒成立，求a的取值范围. 务 9.(17分) 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一 定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于 圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的 比是常数e(离心率)的点的轨迹叫作圆锥曲线：当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e>1时，轨迹为 双曲线.已知曲线C:m√x2+y=|3x+23. (1)分别求出曲线C表示椭圆、双曲线时m的取值范围. 到〉 /6 (2)已知曲线C的离心率为？，曲线C向右平移2√3个单位长度得到曲线C, (1)求曲线C的方程； (1)已知0为坐标原点，P,M,N是曲线C'上3个不同的点，O驴+OM+4ON=0,求 △PMN的面积. 线 【高三数学第4页（共4页）】