强基补充系列（一）——斐波那契数列 讲义

该高中数学讲义聚焦斐波那契数列这一高考递推数列典型考点，按来源、通项推导、性质应用、数论与母函数拓展的逻辑架构展开，通过来源引入建立直观认知，特征根法等推导方法指导，道路模型等真题实例训练，帮助学生突破递推关系应用难点，构建系统复习路径。 讲义以兔子繁殖问题培养数学眼光，用特征根法推导和归纳法证明发展数学思维，如例2三角形边长问题引导学生建模应用斐波那契数列，精准突破“不构成三角形最大段数”考点。分层设计从基础推导到拓展应用，助力教师把控节奏，高效提升学生递推数列应考能力。

强基补充系列（一）——斐波那契数列 目录 一、斐波那契数列的来源 1 二、斐波那契数列的通项公式与推导 1 三、斐波那契数列的应用 3 四、斐波那契数列的若干性质 4 （一）二元多项式表示 4 （二）加法定理或卡西尼等式 5 （三）斐波那契数列相邻几项之间的关系 5 （四）斐波那契数列积商幂之间的关系 6 五、斐波那契数列与数论 7 六、斐波那契数列与母函数 7 一、斐波那契数列的来源 假定兔子的繁殖能力是这样的：每一对兔子每月生一对兔子，幼兔经过两个月成为成兔，即可以繁殖，且整个过程无死亡. 在1月初买来一对小兔（一雌一雄），到1月末出生一对幼兔，到2月份变成2对兔子，2月末原来的一对程兔又生出一对幼兔，另一对兔子（月末出生的）还不具备生育能力，于是3月份中总共有3对兔子，其中两对兔子月末可以繁殖，于是4月份便有5对兔子，其中3对兔子月末能繁殖了，这样5月份成为8对，依次类推，到年末总共有多少对兔子？ 我们可以列下表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 能繁殖数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 新生对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 总数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 可以从表中看出，一对兔子经过一年的繁殖，便得到了377对兔子. 为了讨论一般性，我们设表示第个月中能繁殖的兔子对数，并记为第个斐波那契数，数列叫做斐波那契数列.于是我们可以得到下列的关系式： . 下面我们来推到这个递推数列的通项公式. 二、斐波那契数列的通项公式与推导 斐波那契数列的递推关系为. 我们可以看到这是一个非常典型且简单的二阶线性递推数列.下面通过两种方式进行推导. 方法一：特征根法 将转换为特征根方程，解得. 则， 令代入得， 令代入得， 解得.故. 方法二：一般处理二阶递推方法 设，其中为常数，让数列成为以为首项，为公比的等比数列.将上式整理展开，得 . 故只需满足. 构造方程，. 我们可以得到两个对称的式子 令得 ， 故，则. 综上所述，方法二是方法一更为通俗的解释，如果没有学习过特征根法的，可以用法二进行解释. 三、斐波那契数列的应用 1.道路模型问题 【例1】有一个道路区如下图，某人从1出发以任意的方式按箭头所指方向走到指定的点10，问：有多少种不同的走法？ 【分析】如果以表示从点1走到点时的走法数，显然，.因为在达到3的任何一条路线必须经过1或2且1和2的任何一种走法均可直接到达3的一种唯一走法.如果讨论一般的情况，到达点n的任何一条路线必须经过n-1或n-2，且n-1和n-2的任何一种走法均可直接到达n的一种唯一走法.因此这个道理模型恰好满足斐波那契数列的递推关系.如果我们再规定，则道路模型的走法数就是斐波那契数列. 2.三角形边长关系定理问题 【例2】现有长为144cm的铁丝，要截成n小段，每小段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，那么n的最大值为多少？ 【分析】我们知道由于形成三角形的充要条件是较小两边长度之和大于最大边，因此不构成三角形的条件就是较小的两边长度之和不超过最大边，而截得的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此剩下的铁丝尽可能长，所以每一条线段总是前面的相邻两端之和）.现考虑第四段，同样的第2个1与2相加得3，显然这四条线段任何三条都不能构成三角形，依次类推，可得数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 以上各数之和为143，与144相比差1，因此将最后一段改为56，这时n取到最大值为10. 上述这个过程我们可以看作：把截得的铁丝长度从小到大排成一个数列，根据三角形三边的关系，想要不构成三角形，则有 而要想n越大，则必须有，. 这个形式恰好满足斐波那契数列. 3.间隔子集问题 【例3】集合的间隔子集（即不含相邻元素的子集）个数为斐波那契数列. 【分析】设表示集的间隔子集个数，显然.将集的间隔子集分成两类： （1）集的间隔子集含有，则集的间隔子集一定不含n-1，故集有间隔子集个数为. （2）集的间隔子集不含有，故集有间隔子集个数为. 故，. 由斐波那契数列定义可知. 四、斐波那契数列的若干性质 （一）二元多项式表示 已知是任何相邻两个斐波那契数，不妨设. 1.若，则是斐波那契数列. 2.若，则是斐波那契数列. 3. ，则是斐波那契数列. 4. ，则是斐波那契数列. 上面性质的证明可以利用（2）的性质证明. （二）加法定理或卡西尼等式 设数列是斐波那契数列，即，，则. 【证明】对使用归纳法. 由斐波那契数列定义，对任何正整数都有，约定. （1）当时，结论成立. 当时，. （2）假设当，时，结论成立，即 即当时，结论成立. 由数学归纳法原理，对一切自然数都成立，由的任意性，故对一切正整数都有. （三）斐波那契数列相邻几项之间的关系 （1）相邻两项的关系 ①； ② （2）相邻三项的关系 ①； ②； （3）相邻四项的关系 ①； ②； ③； ④. （四）斐波那契数列积商幂之间的关系 （1）平方关系 ①； ② ③ （2）立方关系 ① （3）倒数关系 （五）斐波那契数列有关的前n项和 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 我们从通项中得到两个数.我们约定：叫做黄金数. 五、斐波那契数列与数论 Lucas定理：. 【证明】我们知道三项连续斐波那契数列关系如下：， 因此显然对一切正整数n，都有. 设，由加法公式得，由此可知与的最大公约数一定是与的约数，与的最大公约数一定是与的约数. 因为也是与的约数，所以. 设，则， 根据辗转相除法，可得,. 六、斐波那契数列与母函数 【例1】斐波那契数列的母函数是. 证明：设， 则， ， ， 三式相加得，， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $