专题02 圆与方程（12大题型）（期末复习专项训练）高二数学上学期苏教版

专题02 圆与方程 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求圆的方程（共4小题） 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建泉州·期中）与圆关于直线对称的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．若圆关于点对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 题型二 二元二次方程与圆的关系（共5小题） 6．若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型三 轨迹方程 （共5小题） 11．已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 13．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知为圆的一条弦，且以为直径的圆始终经过原点，则中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．下列结论正确的个数是（    ） ①已知点，则外接圆的方程为； ②已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为； ③已知点在圆上，，且点满足，则点的轨迹方程为. A．0 B．1 C．2 D．3 题型四 由直线与圆的位置关系求参（共5小题） 16．直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知直线与圆相交于，两点，若为正三角形，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 18．已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1 B． C． D．2 19．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 20．已知圆，直线，当圆截直线所得的弦最短时，的值为（　　） A．2 B． C． D．-2 题型五 圆切线的方程及应用（共6小题） 21．（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 22．过点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B．或 C． D．或 23．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 24．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． 25．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（   ） A． B． C． D． 题型六 圆的弦长及应用（共5小题） 27．已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 28．（25-26高二上·江苏连云港·期中）直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 30．（24-25高二上·广东潮州·期末）直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为 . 31．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型七 圆与圆的位置关系（共5小题） 32．已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（   ） A．. B． C．. D． 33．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（多选）已知圆的方程为，圆的方程为，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数的值可以是（   ） A．5 B． C．3 D． 36．已知圆和两点、，若圆上有且仅有一点，使得 ，则实数的值是（   ） A． B． C．或 D． 题型八 公切线问题（共5小题） 37．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 38．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 39．曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 40．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 41．已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 题型九 公共弦问题（共4小题） 42．（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 43．已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 44．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 45．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 题型十 与圆有关的最值问题（共10小题） 46．（25-26高二上·江苏南通·期中）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 48．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 49．已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 50．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 51．已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 52．（多选）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 53．（多选）已知实数满足方程，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 54．已知，以下结论正确的有（    ） ①②的最大值为26③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 55．（多选）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆相交 B．圆关于直线对称 C．若点是圆上一点，则的最大值是 D．若点是圆上一点，则的最小值是 题型十一 阿氏圆及其应用（共5小题） 56．（25-26高二上·北京东城·期中）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 57．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 58．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（   ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上不存在点M，使得 D．C上的点到直线的最小距离为1 59．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 60．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型十二 圆与方程的综合应用（定点、定值、定直线）（共5小题） 61．已知圆，直线． (1)若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； (2)点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点. 62．设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 63．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 64．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆和圆，点. (1)若圆与圆内切，求的值； (2)若圆上存在点，使，求的取值范围； (3)过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 65.（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，两点，为平面上的动点，且满足，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明轨迹的形状； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程； (3)设点，过点作直线，交曲线于，两点，再过点作与直线垂直的直线，交曲线于，两点，记四边形的面积为，求的最大值． $专题02 圆与方程 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求圆的方程（共4小题） 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 2．过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出过四点，，，中的三点的所有圆的方程可得答案. 【详解】设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或， 故选：D. 3．（25-26高二上·福建泉州·期中）与圆关于直线对称的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心关于直线对称的圆心，根据点关于直线的对称点的求法求出，即可得对称圆的标准方程. 【详解】已知圆心，设其关于直线对称的圆心， 则有，解得，即. 又因为圆和圆的半径相同， 所以圆关于直线对称的圆的标准方程为. 故选：D 4．已知，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，，且线段为直径，可知圆心，直径，半径，进而得到圆的方程. 【详解】由中点坐标公式可知，的中点坐标为,点为以线段为直径的圆的圆心； 半径，所以以线段为直径的圆的方程为. 故选：B 5．若圆关于点对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点关于点对称得出，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设关于点对称点， 则，所以，所以，圆的半径为， 所以圆关于点对称的圆的方程为. 故选：A. 题型二 二元二次方程与圆的关系（共5小题） 6．若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 7．方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程转化成圆的标准方程结构即可求解. 【详解】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 8．若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 9．“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 10．已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 题型三 轨迹方程 （共5小题） 11．已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 12．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 13．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的性质，结合题意与图象，可得答案. 【详解】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 14．已知为圆的一条弦，且以为直径的圆始终经过原点，则中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，设，用表示出，化简即可求得答案. 【详解】由题意可得：,连接,则， 则， 由圆可知, 设，则， 化简得：， 即点的轨迹方程为， 故选：B 15．下列结论正确的个数是（    ） ①已知点，则外接圆的方程为； ②已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为； ③已知点在圆上，，且点满足，则点的轨迹方程为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对于①，由已知圆的两个弦，求得两条中垂线，求得圆心以及半径，可得答案； 对于②，设动点的坐标，由题意，根据两点之间距离公式，建立方程，可得答案； 对于③，设动点的坐标，利用向量数乘的坐标运算，根据换元法，表示出点的坐标，代入圆的方程，可得答案. 【详解】对于①，线段的中垂线的直线方程为，线段的中垂线的直线方程为，故圆心为，半径为，即圆的方程为，故①正确； 对于②，设，由，则，整理可得，故②正确； 对于③，设，，则，， 由，则，即， 在上，，整理可得，故③正确. 故选：D. 题型四 由直线与圆的位置关系求参（共5小题） 16．直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，作出图象，利用直线与半圆有两个交点求出b的取值范围. 【详解】是斜率为1的直线， 曲线即，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，，解得，或（舍去）， 当直线过时，，直线与半圆有两个公共点； 由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点. 故选：B. 17．已知直线与圆相交于，两点，若为正三角形，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意，圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解． 【详解】由圆可得圆心，半径， ∵为正三角形，边长为， ∴圆心到直线的距离为， 即，解得． 故选：D． 18．已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】圆上恰有三个点到直线的距离都等于1且半径为2，则圆心到直线的距离求解即可. 【详解】圆心，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离为，解得; 故答案为：B 19．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线l与圆C相离，可得m的范围，根据点关于直线的对称点的求法，可求得圆心C的对称点的坐标，根据题意，结合弦长公式，计算求解，讨论分析，即可得答案. 【详解】由题意，圆C的圆心为，半径， 因为直线l与圆C相离， 所以圆心C到直线l的距离，即， 解得或， 设圆心C关于直线l的对称点坐标为， 则，解得，即对称点坐标为， 因为关于对称的圆被轴截得的弦长为2， 且对称的圆心到x轴的距离为，对称圆的半径为， 所以，解得，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意. 所以实数的值是. 故选：C 20．已知圆，直线，当圆截直线所得的弦最短时，的值为（　　） A．2 B． C． D．-2 【答案】C 【分析】结合直线与圆相交所得弦长、直线过定点、两直线的位置关系等知识求得的值. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 直线过定点，且点在圆内． 当直线时，圆心到直线的距离最大，弦最短． 因为直线的斜率，所以． 故选：C． 题型五 圆切线的方程及应用（共6小题） 21．（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心C，和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程. 【详解】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C 22．过点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据两点坐标求距离公式判断在圆上，结合直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】， ，圆心坐标为， ，即在圆上， 则过点的切线方程为， 整理得. 故选：C 23．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 24．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先判断表示的曲线，再利用数形结合表示直线与圆的位置关系，求参数的取值范围. 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆， 如图所示． 当直线与圆C相切时，有，解得（舍去）或． 把代入得，解得． 因为直线与曲线恰有两个公共点，由图可得， 即k的取值范围是． 故答案为： 25．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 26．已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据相似三角形以及勾股定理，建立所求圆的半径与的等量关系，利用数形结合，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由圆，则圆心，半径， 因为与圆分别相切于，所以，， 设，，，易知， 易知，则，可得，即， 在中，，则，即， 由图可知，则， 整理可得， 由图易知当垂直于直线时，取得最小值，则， 由函数在上单调递增，则的最小值为， 以为直径的圆的面积，所以面积的最小值为. 故选：C. 题型六 圆的弦长及应用（共5小题） 27．已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式，结合给定弦长求解即得. 【详解】圆C：的圆心，半径， 圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或， 所以直线的方程为或. 故选：A 28．（25-26高二上·江苏连云港·期中）直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式结合弦长公式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以圆心为，半径为， 由圆心到直线的距离为， 设直线与圆相交与两点， 所以， 所以， 所以，即， 故选：B. 29．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程. 【详解】弦长，半径，则圆心到直线的距离为. 把，代入可得. 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 所以直线斜率不存在时满足条件. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离， 可得.两边平方得，展开得. 解得. 当时，直线的方程为，即. 故答案为：或. 30．（24-25高二上·广东潮州·期末）直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为 . 【答案】4或-6 【分析】由直线与圆相交，弦长公式求解即可； 【详解】将圆的方程化为，所以圆心，半径为， 所以弦心距， 因为弦长为，所以，即， 解得或. 故答案为：4或-6. 31．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式和垂径定理求出，要使弦的最大值则，代入求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， ， 令线段中，则，即， 令线段中，则，即， 所以线段的两端点为，， 而，， 要使弦的最大值则，所以. 故选：B. 题型七 圆与圆的位置关系（共5小题） 32．已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为（   ） A．. B． C．. D． 【答案】B 【分析】由题知圆与圆的位置关系为相交，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】由题，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有两条公切线， 所以圆与圆的位置关系为相交， 所以，即 所以，即，解得或 所以实数的取值范围为 故选：B 33．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线可得两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理可得关于的一元二次方程，根据结合判别式，即可得答案. 【详解】把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 若两圆恰有三条公切线，则两圆外切， 故两圆圆心距离等于两圆半径和， 即，化简可得， 令，则代入得 ， 因为，所以， 解得， 则的最大值为. 故选：B. 34．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与圆相交，根据圆与圆位置关系判断即可求实数的取值范围. 【详解】因圆上总存在两个点到原点的距离为2， 则圆和圆相交， 又圆的圆心为，半径为 两圆圆心距， 由得， 解得，即． 故选：A． 35．（多选）已知圆的方程为，圆的方程为，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数的值可以是（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】CD 【分析】根据两圆心坐标求出两圆心距，进而可得或，求解即可. 【详解】由圆的方程为，得圆心，半径为， 由圆的方程为，得圆心，半径， 因为这两个圆有且只有一个公共点，所以两圆相切， 所以两圆心之间的距离或，即或， 所以实数的值可以是． 故选：CD． 36．已知圆和两点、，若圆上有且仅有一点，使得 ，则实数的值是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出以为直径的圆的方程为，由圆上有且只有一点使得，可得圆与圆相切，由圆与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】根据题意，圆，其圆心为，半径， 由两点、，可得以为直径的圆的方程为， 设该圆为圆，其圆心为，半径， 若点满足，则在圆上， 又由圆上有且只有一点使得，则圆与圆相切， 则有或， 又因为，解得或. 故选：C. 题型八 公切线问题（共5小题） 37．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 38．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 39．曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知，设上一点，利用点关于直线对称的问题求出方程，结合圆与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 40．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 41．已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系可判断有4条公切线，结合两圆为半径相等且关于原点对称，由点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】圆M的圆心为，半径．圆N的圆心为，半径，圆心距，两圆外离，故有四条公切线． 又两圆关于原点O对称，则有两条内公切线过原点O，设切线方程为， 则圆心到直线的距离，解得k＝0或， 对应方程分别为y＝0，． 两条外公切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得， 切线方程为，． 故选：A 题型九 公共弦问题（共4小题） 42．（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用两圆方程相减可得公共弦方程，再利用一个圆心到公共弦的距离来求弦长即可. 【详解】由圆：可得圆心，半径， 由圆：和圆：方程相减可得公共弦的直线方程：， 由圆心到公共弦的距离为：， 所以公共弦长为， 故选：D. 43．已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得出的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得． 【详解】圆，即， 则圆心为，半径为1，， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为， 所以，得，解得， 因此． 故选：D． 44．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 45．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程再联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；对于B，利用弦长公式即可判断；对于C，根据切线的定义进行判断；对于D，根据结合线段长度求解出结果并判断. 【详解】由圆，得， 则圆心，半径， 线段的中点坐标为，且， 则圆，即. 对于选项A：联立，两式作差可得：， 即直线的方程为，故A正确； 对于选项B：圆心到直线的距离为， 则，故B正确； 对于选项C：因为在以为直径的圆上，则， 由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 所以四边形的面积为，故D错误． 故选：D． 题型十 与圆有关的最值问题（共10小题） 46．（25-26高二上·江苏南通·期中）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题，计算即可. 【详解】易知表示圆心为坐标原点，半径为2的圆， 设，即，为该直线在纵轴上的截距， 当直线与圆相切时，截距可取到最值， 此时原点到直线的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 47．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程表示为标准方程，求出的范围，由可得，结合的范围可得出的范围，即可得解. 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 48．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 49．已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据圆外一点与圆上点的距离的最大值为圆外点与圆心的距离加半径，最小值为圆外点与圆心的距离减半径，从而计算即可求出结果． 【详解】由题知圆心，半径， 又， 所以． 故选：C． 50．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】首先根据题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点，即可求解. 【详解】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 51．已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过定点，且定点在圆外，所圆上的点到直线的最大距离为半径加上圆心到直线的最大距离可得. 【详解】由圆得圆心，直线的方程， 可化为，联立，解得， 所以直线经过定点，且，所以在圆C的外部， 当时，圆心到直线的最大距离为， 因为点在圆上，则点到直线的距离的最大值为， 故选：C. 52．（多选）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 【答案】AD 【分析】令，，，根据其几何意义求解判断ABC，先求出直线所过的定点，然后求出圆上的点到直线距离的最大值，即可判断D. 【详解】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆， 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B错误； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，直线化为， 令，解得， 所以直线过圆心， 则圆上的点到直线距离的最大值为，且直线与圆相交， 因为， 所以曲线C上恒有四个点到直线的距离等于，故D正确. 故选：AD. 53．（多选）已知实数满足方程，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B错误；利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C正确；采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B错误； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离， 的最大值为，C正确； 对于D，设，，， ， ，， 当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选；ACD. 54．已知，以下结论正确的有（    ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】先把代数问题转化为几何问题，再借数形结合思想，可求解并作出判断. 【详解】由， 因为可看成圆上的动点与定点的斜率， 再结合图形可得： 设过点的切线， 由相切可得：，解得：或， 所以由图可得斜率范围，即，故①正确； 因为，所以， 而，所以，故②正确； 因为，所以， 而可看成圆上的动点与两定点的距离之差， 如图： 由，当且仅当三点共线且在延长线上时取等号， 所以的最大值是,故③正确； 故选：D 55．（多选）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆相交 B．圆关于直线对称 C．若点是圆上一点，则的最大值是 D．若点是圆上一点，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】由对称后圆的方程得到圆心，即可求得圆的方程.由两圆圆心距与半径作比较，判断A；判断圆心是否在直线上，判断B；表示圆上点与原点连线的斜率，设为，将点代入圆的方程，结合根与系数的关系，判断C；表示圆上点到直线距离的倍，由圆与直线的距离关系，判断D. 【详解】因为圆关于直线对称的圆方程为， 故圆的圆心为，半径为2，即圆的方程为 对于A，圆化为标准形式为， 圆心为，半径两圆圆心距为，故两圆相离，A错误； 对于B，将圆心代入直线，得，直线过圆心， 故圆关于直线对称，B正确； 对于C，表示圆上点与原点连线的斜率，设为，即， 代入圆方程得：，整理得， 所以，解得， 故的最大值为，C正确； 对于D，表示圆上点到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离， 圆上点到直线的最小距离为， 故的最小值为，D正确． 故选：BCD. 题型十一 阿氏圆及其应用（共5小题） 56．（25-26高二上·北京东城·期中）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直接法可得点的轨迹方程，即可得点到直线的距离的取值范围，即可得面积的最值. 【详解】    如图所示，以中点为坐标原点，方向为轴建立如图所示平面直角坐标系， 则，， 设，则，， 由动点与，距离之比为， 则， 化简可得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以当，，不共线时，点到直线的距离， 则， 即面积的最大值为， 故选：D. 57．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设点坐标，从地往地采购的单位距离运费为，根据题意得到，写出关于与的关系式化简即可. 【详解】取的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，， 设是区域分界线上任意一点，从地往地采购的单位距离运费为， 根据题意可得，. 即， 整理得. 故选：A. 58．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（   ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上不存在点M，使得 D．C上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【分析】根据两点的距离公式表示，化简计算即可判断A；根据点与圆的位置关系计算即可判断B；根据和两点求距离公式求出点M的轨迹方程，结合圆与圆的位置关系计算即可判断C；根据点到直线的距离公式计算即可判断D. 【详解】对于A，设点， ，，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对于B，的圆心，半径， 点到圆心的距离， 圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为3，故B正确； 对于C，设点，，则， 整理得，点M的轨迹方程为， 即M是以为圆心，半径的圆， 又，两圆内含，没有公共点， 在上不存在点，使得，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 上的点到直线的最小距离为，故D不正确. 故选：D. 59．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 60．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，分别求出所过的定点，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，，，此时，交点为， 当时，直线的斜率为k，直线的斜率为，所以， 综上，， ，所以直线恒过点， ，所以直线恒过点， 由P为，的交点，则， 设，连接EF， 则点P的轨迹是以EF为直径的圆（除去F点），圆心为线段EF的中点， 半径为，故P的轨迹方程为， 根据题意作图，如图2所示， 由题意可知圆C上一点，满足，取， 则，满足，      下面证明对任意的，连接PD，都满足，即， ， ， 所以， 连接DQ，所以， 又，所以， 当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时取等号． 故选：D． 题型十二 圆与方程的综合应用（定点、定值、定直线）（共5小题） 61．已知圆，直线． (1)若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； (2)点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点. 【答案】(1) (2)直线CD经过定点 【分析】（1） 弦AB恰好被点平分，则，即可求得斜率，根据点斜式即可得弦AB所在直线的方程； （2）设出点坐标,根据题意可知O，C，Q，D四点共圆，且CD为直径，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，进而求得直线CD的方程，即可得过的定点. 【详解】（1）由圆，得圆心，半径， 又，所以，所以，所以， 即：弦AB所在直线的方程为. （2）直线l与圆O相离，令，线段OQ中点， 因为O，C，Q，D四点位于圆上，又圆， 所以CD是圆O与圆K的相交弦，故． 即，由且，得直线CD经过定点． 62．设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)或； (3)存在定点，使得为定值，的坐标为. 【分析】（1）设圆心坐标为，半径为，代入点坐标和直线方程得到方程组，解出即可； （2）求出三角形的高，再利用点到直线的距离公式即可得到方程，解出即可； （3）设，，根据两点距离公式列出比值式，再根据系数比得到方程，解出即可. 【详解】（1）设圆的圆心坐标为，半径为， 则解得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可知该圆的半径为，因为为等边三角形，且边长为， 所以该等边三角形的高为， 所以圆心到直线的距离为，即，解得， 所以直线的方程为或. （3）假设存在定点，设， 设，则，. 则， 当，即时，为定值，且定值为， 故存在定点，使得为定值，的坐标为. 63．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii），证明见解析. 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示；（i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当时的取值范围即可；（ii）设，，直线方程联立圆得方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点的坐标即可证明． 【详解】（1）设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点P的轨迹的方程为； （2）由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 易得，，则， 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号，又，所以的最大值为； （ii）证明：由题可得，设，， 联立，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 64．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆和圆，点. (1)若圆与圆内切，求的值； (2)若圆上存在点，使，求的取值范围； (3)过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据两圆内切的条件列出方程求解； （2）由条件化简可得的轨迹方程，然后根据两圆有公共点，利用圆心距与半径之间的关系列出不等式求解即可； （3）设，联立圆的方程，由根与系数的关系可得弦中点的坐标，同理得出点坐标，求出直线的方程，即可得证. 【详解】（1）因为圆与圆内切， 所以，即， 解得. （2）设， 由，可得， 化简可得， 即点的轨迹是圆心为，半径为的圆, 由题意，圆与圆有公共点， 则，即， 解得. （3）设，则 联立得： 设， ， 以替换可得：， 直线的方程为，即：， 当时， 直线过定点. 65.（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，两点，为平面上的动点，且满足，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明轨迹的形状； (2)过点作曲线的切线，求切线的方程； (3)设点，过点作直线，交曲线于，两点，再过点作与直线垂直的直线，交曲线于，两点，记四边形的面积为，求的最大值． 【答案】(1)，轨迹形状是以为圆心，半径为2的圆； (2)和； (3). 【分析】（1）设动点的坐标为，求出，．    由得到的范围即为所求. （2）分别按照切线斜率不存在，切线斜率存在两种情况求解，当切线斜率存在时，设切线方程为点斜式．利用点到直线的距离求出圆心到切线的距离为2，得到的方程，从而得解. （3）分别按照直线的斜率不存在，直线的斜率存在两种情况求解；当直线的斜率不存在时，求出，，得到；当直线的斜率为0时，求出，，得到；当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，求出圆心到直线的距离，则可求出，由，用替换上式中的，可得，则，利用基本不等式计算得解. 【详解】（1）设动点的坐标为， 则，．     因为，所以，即， 所以曲线的方程是，轨迹形状是以为圆心，半径为2的圆． （2）当切线斜率不存在时，显然与圆相切．     当切线斜率存在时，设切线方程为，即． 由圆心到切线的距离为2，得，解得， 则，整理，得． 综上，切线方程为和． （3）当直线的斜率不存在时， ，，；     当直线的斜率为0时， ，，；     当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以．     因为，用替换上式中的，可得， 则 当且仅当，即时，等号成立． 综上所述，因为，所以的最大值为7． $