江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二上学期数学周练15

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学周练15 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为 （      ） A. B. 2 C. D. 2．已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为 （ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 3．已知是双曲线的左、右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D． 4．椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为 （ ） A. B. C. D. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为 （ ） A. B. C. D. 6．首届江苏省城市足球联赛（“苏超”）总决赛已圆满落幕，泰州队以“黑马”之姿成功夺冠．比赛场地南京奥体中心体育场给人们留下了深刻的印象．在手工课上，陈老师带领同学们一起制作了一个近似奥体中心体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是一个椭圆紧紧套着一个以椭圆中心为圆心的圆，若椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7．已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为 （ ） A. B. C. D. 8．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为. （ ） A B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法中正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的标准方程为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线经过双曲线的一个焦点 10．已知椭圆，分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有 （ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是 （ ） A. 双曲线的实轴长为4 B. 双曲线的离心率为 C. 四边形的面积为15 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知是双曲线上的一点，是双曲线的左、右焦点，且，则 . 13．如图，在梯形中，已知，双曲线三点，且以为焦点，则双曲线的离心率为 . 14．历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率； （2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程． 16．已知椭圆的焦距为，离心率为（1）求的标准方程；（2）若，直线交椭圆与两点，且的面积为，求的值. 17.已知椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，. （1）求椭圆方程； （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 18．已知的椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，关于坐标原点的对称点，的斜率都存在且均不为0，试问的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由. （3）斜率为的直线交椭圆于，求当时的方程. 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，点在上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆与直线交于两点，且的长为，求的值；（3）不垂直于轴且不过点的直线与椭圆相交于两点，若直线的斜率之和为0，求证：动直线过定点. 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学周练15 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为 （   C   ） A. B. 2 C. D. 2．已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为 （ C ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 3．已知是双曲线的左、右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为 （ D ） A． B． C． D． 4．椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】设，，，，即，则，所以椭圆的离心率.故选：B 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为 （ C ） A. B. C. D. 【详解】如图．设，则，，，在中，由勾股定理：，即，在中，由勾股定理：，即，即，解得，∴，则，所以渐近线方程：.故选：C. 6．首届江苏省城市足球联赛（“苏超”）总决赛已圆满落幕，泰州队以“黑马”之姿成功夺冠．比赛场地南京奥体中心体育场给人们留下了深刻的印象．在手工课上，陈老师带领同学们一起制作了一个近似奥体中心体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是一个椭圆紧紧套着一个以椭圆中心为圆心的圆，若椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率的取值范围是 （ B ） A. B. C. D. 【详解】由题意可设，圆方程为，椭圆方程为，其中， 设圆的切线为，因，则四边形为正方形，则，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为，因椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直， 则点的轨迹与椭圆有交点，即有解， 联立得，故，则， 则离心率.故选：B 7．已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴，则，所以. 又，所以.又在中，由余弦定理得，即，即，化简得：. 又，所以，所以，即故选：A. 8．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为. （ C ） A B. C. D. 【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C. 【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法中正确的是（ ACD ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的标准方程为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线经过双曲线的一个焦点 10．已知椭圆，分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有 （ ABC ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是 （ ACD ） A. 双曲线的实轴长为4 B. 双曲线的离心率为 C. 四边形的面积为15 D. 【详解】已知H是过作C的一条渐近线的垂线l的垂足，其渐近线方程为：，，根据点到直线距离公式，，. 过点向做垂线，垂足为Q，因为，所以， 又O为中点且，则.由，可得，，在中，，解得，又所以：实轴长，故A对；离心率，故B错；的面积， ，所以，故C对.中，，，为中点， 为中点，即，又，， ，又共线且方向相同，，故D对.故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知是双曲线上的一点，是双曲线的左、右焦点，且，则 . 13．如图，在梯形中，已知，双曲线三点，且以为焦点，则双曲线的离心率为 . 14．历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，__9____. 【详解】延长交于点，因为直线平分，所以，所以，所以， 由角平分线可知，为的中点，又因为为的中点， 则由中位线的性质可得，，所以， 所以.故答案为：9. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率； （2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程． 15．解：（1）由题意得，解得， 所以． （2）由一条渐近线的斜率为，可得， 可得：，又在双曲线上， 所以， 解得， 所以双曲线方程为：． 16．已知椭圆的焦距为，离心率为（1）求的标准方程；（2）若，直线交椭圆与两点，且的面积为，求的值. 16．解：（1）由题意得，， 又， 则， 所以的标准方程； （2）有题意设,如图所示： 联立方程组， 则， 故， 设直线与轴的交点， 故， 结合 17.已知椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，. （1）求椭圆方程； （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 17．解：（1）由题意可设椭圆为 由题意可得，，可得， 所以椭圆的方程为：. （2）联立，整理可得：， 由题意可得， 可得；可得，，即. 联立，可得，，即， 设在轴上存在. 由，可得， 可得， 即， 可得，可得， 即定点. 18．已知的椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，关于坐标原点的对称点，的斜率都存在且均不为0，试问的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由. （3）斜率为的直线交椭圆于，求当时的方程. 18．解：（1）， 于是设椭圆且过点， 即， 所以椭圆的方程为； （2）依题意，设点，那么， 为定值； （3）设直线，， 联立方程组， ， ， 又点的距离为， ， 解得， 即 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，点在上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆与直线交于两点，且的长为，求的值；（3）不垂直于轴且不过点的直线与椭圆相交于两点，若直线的斜率之和为0，求证：动直线过定点. 19．解：（1）因为椭圆短轴长为，且经过点， 所以， 即椭圆的标准方程为 ； （2）设, 联立方程组， ， ； （3）设， 联立方程组， 。 于是， 解得，即直线的方程为， 则动直线过定点 8 学科网（北京）股份有限公司 $