专题06 平面图形的初步认识（期末复习优选题集训 33个高频易错题型讲练 共66题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册培优讲练

该初中数学单元复习讲义以“平面图形的初步认识”为核心，通过33个高频易错题型分类构建知识体系，用框架图梳理直线相交、线段计算、角的度量与等分、平行线性质及多边形等模块，清晰呈现各知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“讲练结合”的分层设计，如最短路径问题、钟面角计算等题型培养数学眼光，平行线性质探究角的关系题发展推理意识，尺规作图题强化数学语言表达。66道题覆盖不同难度，基础生可掌握方法，优秀生能深化思维，助力教师实施精准复习教学。

专题06 平面图形的初步认识 （33个高频易错题型讲练 共66题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 直线相交的交点个数问题 2 易错题型2 画出直线、射线、线段 2 易错题型3 线段中点的有关计算 3 易错题型4 线段n等分点的有关计算 3 易错题型5 与线段有关的动点问题 4 易错题型6 两点之间线段最短 4 易错题型7 最短路径问题 5 易错题型8 作线段(尺规作图) 5 易错题型9 钟面角 6 易错题型10 与方向角有关的计算题 6 易错题型11 角的单位与角度制 6 易错题型12 角的度数大小比较 7 易错题型13 三角板中角度计算问题 7 易错题型14 几何图形中角度计算问题 8 易错题型15 角度的四则运算 9 易错题型16 实际问题中角度计算问题 9 易错题型17 尺规作一个角等于已知角 9 易错题型18 角平分线的有关计算 10 易错题型19 角n等分线的有关计算 11 易错题型20 与余角、补角有关的计算 12 易错题型21 同(等)角的余(补)角相等的应用 13 易错题型22 垂线段最短 13 易错题型23 找邻补角 14 易错题型24 利用邻补角互补求角度 14 易错题型25 用直尺、三角板画平行线 15 易错题型26 根据平行线的性质探究角的关系 16 易错题型27 根据平行线的性质求角的度数 17 易错题型28 平行线的性质在生活中的应用 18 易错题型29 根据平行线判定与性质求角度 19 易错题型30 根据平行线判定与性质证明 20 易错题型31 同位角、内错角、同旁内角 21 易错题型32 多边形对角线的条数问题 22 易错题型33 对角线分成的三角形个数问题 22 易错题型1 直线相交的交点个数问题 1．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）探究题：平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，请你探究它们的交点最多为多少个？ 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 易错题型2 画出直线、射线、线段 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画线段，交于E点； (2)作射线； (3)反向延长至F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 易错题型3 线段中点的有关计算 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是线段上的一点，且，和分别是和的中点，已知，，则线段的长度为 ． 易错题型4 线段n等分点的有关计算 7．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 8．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在上，且，点为的中点，． (1)求的长； (2)求的长． 易错题型5 与线段有关的动点问题 9．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 10．（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 易错题型6 两点之间线段最短 11．（25-26七年级上·重庆·期中）一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 12．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．，则点B是线段的中点 易错题型7 最短路径问题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 14．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 易错题型8 作线段(尺规作图) 15．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）尺规作图(要求保留作图痕迹)： 已知：线段a,b．求作：线段c，使； 16．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）尺规作图： 已知：如图，线段a，b． 求作：线段，使． 易错题型9 钟面角 17．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 18．（2023七年级上·全国·竞赛）小明晚上开始做数学作业，做完时还不到，他测量发现，此时时钟的时针和分针之间的夹角为，这时的时间是7时 分． 易错题型10 与方向角有关的计算题 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是 ． 20．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）一只甲虫从甲地出发，先向西偏南方向爬了到达乙地；接着由乙地出发向东偏北方向爬了到达丙地，这时甲虫离甲地 ． 易错题型11 角的单位与角度制 21．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 22．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知，以为边画． (1)请按照题意补全图形； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的余角的度数． 易错题型12 角的度数大小比较 23．（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 24．（24-25七年级上·天津和平·期末）（1）比较大小： （填“”“”或“”）． （2）钟表在时，时针与分针的夹角是 ． 易错题型13 三角板中角度计算问题 25．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 26．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 易错题型14 几何图形中角度计算问题 27．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 28．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知，°，，那么（       ） A．射线在内 B．射线在外 C．射线与射线重合 D．射线与射线重合 易错题型15 角度的四则运算 29．（24-25七年级上·全国·课后作业） ， ° ′ ′′． 30．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 易错题型16 实际问题中角度计算问题 31．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 32．（24-25七年级上·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 易错题型17 尺规作一个角等于已知角 33．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，用尺规作一个角等于的2倍． 34．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 易错题型18 角平分线的有关计算 35．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 36．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 易错题型19 角n等分线的有关计算 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    38．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 易错题型20 与余角、补角有关的计算 39．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 40．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 易错题型21 同(等)角的余(补)角相等的应用 41．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知A、O、E三点在同一条直线上，，且和互为余角． (1)和∠3互余吗？ (2)和有什么关系？为什么？ (3)的补角是哪个角？为什么？ 42．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错题型22 垂线段最短 43．（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 44．（24-25七年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 易错题型23 找邻补角 45．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 46．（24-25七年级上·河北衡水·期末）如图，在线段上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若，，点F是线段上任意一点，则点F到点的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错题型24 利用邻补角互补求角度 47．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 48．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 易错题型25 用直尺、三角板画平行线 49．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 50．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 易错题型26 根据平行线的性质探究角的关系 51．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）如图，，平分，平分．试猜想：与的位置关系，并说明理由． 52．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 易错题型27 根据平行线的性质求角的度数 53．（2026七年级·河北·专题练习）如图，，直线l分别交于点平分，若，则的度数是 ． 54．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 易错题型28 平行线的性质在生活中的应用 55．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 56．（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 易错题型29 根据平行线判定与性质求角度 57．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 58．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 易错题型30 根据平行线判定与性质证明 59．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知，． 求证：． 证明： 已知， ， ． 同位角相等，两直线平行． 两直线平行，同位角相等． 已知， 等量代换． ． ． 60．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别平分，且． (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 易错题型31 同位角、内错角、同旁内角 61．（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 62．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 易错题型32 多边形对角线的条数问题 63．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有 条． 64．（2024七年级上·全国·专题练习）过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 易错题型33 对角线分成的三角形个数问题 65．（25-26七年级上·山西大同·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 66．（2025·陕西西安·模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面图形的初步认识 （33个高频易错题型讲练 共66题 新教材） 【解析版】 易错题型1 直线相交的交点个数问题 2 易错题型2 画出直线、射线、线段 2 易错题型3 线段中点的有关计算 5 易错题型4 线段n等分点的有关计算 7 易错题型5 与线段有关的动点问题 8 易错题型6 两点之间线段最短 9 易错题型7 最短路径问题 11 易错题型8 作线段(尺规作图) 12 易错题型9 钟面角 13 易错题型10 与方向角有关的计算题 14 易错题型11 角的单位与角度制 15 易错题型12 角的度数大小比较 17 易错题型13 三角板中角度计算问题 18 易错题型14 几何图形中角度计算问题 22 易错题型15 角度的四则运算 23 易错题型16 实际问题中角度计算问题 24 易错题型17 尺规作一个角等于已知角 26 易错题型18 角平分线的有关计算 27 易错题型19 角n等分线的有关计算 30 易错题型20 与余角、补角有关的计算 33 易错题型21 同(等)角的余(补)角相等的应用 35 易错题型22 垂线段最短 37 易错题型23 找邻补角 38 易错题型24 利用邻补角互补求角度 40 易错题型25 用直尺、三角板画平行线 41 易错题型26 根据平行线的性质探究角的关系 44 易错题型27 根据平行线的性质求角的度数 46 易错题型28 平行线的性质在生活中的应用 50 易错题型29 根据平行线判定与性质求角度 52 易错题型30 根据平行线判定与性质证明 55 易错题型31 同位角、内错角、同旁内角 57 易错题型32 多边形对角线的条数问题 58 易错题型33 对角线分成的三角形个数问题 59 易错题型1 直线相交的交点个数问题 1．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）探究题：平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，请你探究它们的交点最多为多少个？ 【答案】交点最多为个 【思路点拨】本题考查多条直线相交的交点问题，解题的关键是根据条、条、条、条、条直线相交时最多的交点个数发现规律．然后根据规律解答即可． 【规范解答】解：条直线相交最多有交点：个； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； ∴条直线相交最多有个交点， 当时，交点个数为（个）． ∴它们的交点最多为个． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【答案】45 【思路点拨】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【规范解答】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 易错题型2 画出直线、射线、线段 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【思路点拨】本题考查了画直线，射线，线段；线段的和差关系，与中点有关的线段运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据射线，直线的定义进行作图，即可作答． （2）理解题意，先画出射线，再以点为圆心，以为半径，画弧，交射线的延长线于点，然后以点为圆心，以为半径，画弧，交射线的延长线于点，即可作答． （3）理解题意，再联系上下过程，进行补充完整，即可作答． 【规范解答】（1）解：直线、射线如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：依题意， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画线段，交于E点； (2)作射线； (3)反向延长至F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段，两点之间的距离等知识． （1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）在的延长线上截取，在线段上，截取，线段即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，线段，交于E点，点E即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 易错题型3 线段中点的有关计算 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长，即可求出的长． 【规范解答】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，．   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是线段上的一点，且，和分别是和的中点，已知，，则线段的长度为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了线段中点的性质与线段长度的计算，解题的关键是利用中点性质求出相关线段的长度． 根据线段中点的定义求出、、的长度，再通过线段的和差关系求出的长度． 【规范解答】解：因为是的中点，， 所以， 又因为， 所以， 因为是的中点，所以， 则． 故答案为：5． 易错题型4 线段n等分点的有关计算 7．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查线段的中点、线段的和差，由中点的定义可得，进而利用线段的差计算解答即可．解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 【规范解答】解：如图： ∵，，是的中点，是的三等分点（靠近点），∴， ∴，， ∴． 即的长为． 8．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在上，且，点为的中点，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了线段的和差及比的应用，能根据所给图形得出图中各线段之间的关系是解答本题的关键． （1）根据所给图形，得出线段之间的和差关系即可解答； （2）根据所给图形，得出线段之间的和差关系即可解答． 【规范解答】（1）解：，且， ； （2）解：点为的中点，， ， ． 易错题型5 与线段有关的动点问题 9．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【规范解答】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； (3)线段的长度不会发生改变，的长度为6； 【思路点拨】本题考查了非负数的性质，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，线段的中点以及和差计算，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平方和绝对值的非负性，求出、的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据数轴上两点的距离公式列方程求解即可； （3）由线段中点可知，，分两种情况讨论：当点P在A、B两点之间运动时；当点P在点A左侧运动时，利用线段的和差分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵点B在点A的右侧， ∴， 解得：， ∴经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； （3）解：∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴，， 当点P在A、B两点之间运动时，， 即； 当点P在点A左侧运动时，， 即； ∴综上所述，线段的长度不会发生改变，其值为6． 易错题型6 两点之间线段最短 11．（25-26七年级上·重庆·期中）一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查比较线段长短的知识，难度中等，与实际结合较紧，解答本题的关键是设出位置后运用分段讨论的思想进行解答．假设车站距离号楼米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案． 【规范解答】解：设车站距号楼米，则总路程， 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 比较各区间最小值，当时，最小为； 故车站应建在距号楼米处，路程之和最小为米． 故答案为：，． 12．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．，则点B是线段的中点 【答案】C 【思路点拨】本题考查了直线、线段的基本性质以及距离和中点的定义． 根据直线、线段的基本性质以及距离和中点的定义，逐一判断每个选项的正确性． 【规范解答】解：过一点有无数条直线， ∴ A错误； 连接两点的线段的长度叫做两点的距离， ∴ B错误； 两点之间，线段最短， ∴ C正确； 时，点B不一定在线段上，也不一定是线段的中点， ∴ D错误． 故选：C． 易错题型7 最短路径问题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【规范解答】解：如图所示，即为所作． 14．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是比较线段的长短，先根据题意求出各点间的距离并在图上表示出来，再分别计算出各村到选项中所给的村的路程和，再比较出其大小即可． 【规范解答】解：A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，， ∴ 又村庄G正好是的中点， ∴， ∴各村间的距离如图所示： 各村到A村的路程和为：， 各村到E村的路程和为：， 各村到C村的路程和为：； 各村到G村的路程和为：． ， 故活动中心应建在C村． 故选B． 易错题型8 作线段(尺规作图) 15．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）尺规作图(要求保留作图痕迹)： 已知：线段a,b．求作：线段c，使； 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作线段的和差倍分，解题的关键是利用尺规多次截取已知线段构造倍数与差的关系． 作射线，在射线上依次截取3段等于的线段得的线段；从的线段上截取一段等于的线段，剩余部分即为． 【规范解答】解：①作射线； ②在射线上顺次截取，，，则； ③在线段上截取； 线段即为所求的线段． 16．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）尺规作图： 已知：如图，线段a，b． 求作：线段，使． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了作线段，熟练掌握线段的作法是解题关键． 先画射线，再以点A为圆心、a长为半径画弧，交射线于点C，然后以点C为圆心、a长为半径画弧，交射线于点D，最后以点D为圆心，b长为半径画弧，交线段于点B，由此即可得． 【规范解答】解：如图，线段即为所作． 易错题型9 钟面角 17．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了钟面角的计算，解题的关键是掌握分针和时针的转速，分别计算它们在10：15时的转过的角度，再求夹角． 【规范解答】解：分针每分钟转，15分钟转；时针每小时转，每分钟转，10时15分时针转； 夹角为，取小于的角，． 故答案为：． 18．（2023七年级上·全国·竞赛）小明晚上开始做数学作业，做完时还不到，他测量发现，此时时钟的时针和分针之间的夹角为，这时的时间是7时 分． 【答案】24 【思路点拨】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用，掌握时钟上每大格为，每小格为是解题关键．设这时的时间是7时分，根据时针和分针的走过的角度作差列方程，即可求解． 【规范解答】解：设这时的时间是7时分， 则， 解得：， 即这时的时间是7时24分， 故答案为：24． 易错题型10 与方向角有关的计算题 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是 ． 【答案】北偏东 【思路点拨】本题考查了方向角，角平分线的定义，角度的计算，熟练掌握方向角的应用是解题的关键．记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，根据计算出，即可解题． 【规范解答】解：的方向是北偏东，的方向是北偏西， ， 平分， ， 记正北方为， ， 的方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 20．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）一只甲虫从甲地出发，先向西偏南方向爬了到达乙地；接着由乙地出发向东偏北方向爬了到达丙地，这时甲虫离甲地 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查运用位置与方向解决行程问题，能够根据题意画出正确的路线图是解题的关键．由甲虫先向西偏南方向爬了到达乙地；接着由乙地出发向东偏北方向爬了到达丙地，根据方向的相对性及所行距离即可求解． 【规范解答】解：如图： 由甲虫先向西偏南方向爬了到达乙地；接着由乙地出发向东偏北方向爬了到达丙地； 根据方向的相对性及所行距离可知，甲虫现在距离甲地（厘米） 答：这时甲虫离甲地 ， 故答案为：． 易错题型11 角的单位与角度制 21．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知，以为边画． (1)请按照题意补全图形； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的余角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【思路点拨】本题主要考查了角的和差计算，角平分线定义，求一个角的余角，解题的关键是注意进行分类讨论． （1）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形即可； （2）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别求出结果即可； （3）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，根据角平分线的定义和余角的定义，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：当在内部时，如图所示： 当在外部时，如图所示： （2）解：当在内部时， ； 当在外部时， ； （3）解：当在内部时， ∵平分， ∴， ∴的余角度数为： ； 当在外部时， ∵平分， ∴， ∴的余角度数为： ； 综上分析可知：的余角度数为：或． 易错题型12 角的度数大小比较 23．（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【规范解答】解：， 故， 故选C． 24．（24-25七年级上·天津和平·期末）（1）比较大小： （填“”“”或“”）． （2）钟表在时，时针与分针的夹角是 ． 【答案】 /130 【思路点拨】本题考查了角度换算，角度比较大小，钟面角，确定时针与分针相距的分数，是解题关键． （1）将 换算，再进行比较，即可求解； （2）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【规范解答】解：（1） ， ， ， ， 故答案为： ． （2） 时，时针与分针相距 份， 时，时针与分针所夹的角是 ， 故答案为： ． 易错题型13 三角板中角度计算问题 25．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【思路点拨】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 易错题型14 几何图形中角度计算问题 27．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 28．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知，°，，那么（       ） A．射线在内 B．射线在外 C．射线与射线重合 D．射线与射线重合 【答案】B 【思路点拨】此题考查根据角的和差关系判断射线的位置，正确计算是解题关键． 通过计算，可判断射线在外． 【规范解答】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴射线在外， 故选B． 易错题型15 角度的四则运算 29．（24-25七年级上·全国·课后作业） ， ° ′ ′′． 【答案】 126 18 36 【思路点拨】此题主要考查了度分秒的换算，根据，进行解答； 要将用度表示，需先将化为分，即除以，再加上，并将结果化为度，据此得到答案； 要将用度分秒表示，需将先化为分，即乘以，再将小数点后的数字化为秒，据此解答． 【规范解答】解：， ， ， ∴； ， ， ∴． 故答案为：①②126③18④36． 30．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得，求解，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错题型16 实际问题中角度计算问题 31．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【规范解答】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 32．（24-25七年级上·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【思路点拨】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 易错题型17 尺规作一个角等于已知角 33．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，用尺规作一个角等于的2倍． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查尺规作图，根据作一个角等于已知角的作图方法，先作，再作，则． 【规范解答】解：如图，即为所求． 34．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 【答案】④①③② 【思路点拨】本题考查作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 根据作一个角等于已知角的作图方法可得答案． 【规范解答】解：由题意知，正确的顺序是： ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F ①以C为圆心，长为半径画，交于点M； ③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D； ②作射线，则． 故答案为：④①③②． 易错题型18 角平分线的有关计算 35．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同（1）计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 36．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【答案】(1)；的值随着在内转动不会发生变化，理由见解析； (2)的值不会随着的转变而变化，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了角平分线定义，角的和差关系． （1）由，分别是和的平分线，可得从而可得答案；根据可得：不变，的大小不变； （2）据可得：不变，的大小不变． 【规范解答】（1）解：的值随着在内转动不会发生变化，理由如下： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值随着在内转动不会发生变化； （2）解：的值不会随着的转变而变化，理由如下： 如图： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值不会随着的转变而变化． 易错题型19 角n等分线的有关计算 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 38．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 易错题型20 与余角、补角有关的计算 39．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)50 (2)的度数为 (3)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了角的平分线性质与角的和差运算，解题的关键是利用直角、平角的度数，结合角平分线定义，通过设未知数或直接计算推导角度关系． （1）先由和求出，再由角平分线得，最后用平角求 （2）设为，根据与的关系及角平分线，结合列方程求，进而求 （3）设为，利用角平分线、平角和直角的性质，分别表示出、、，从而推导与的关系． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵、、共线， ∴． 故答案为：． （2）解：设，则， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 答：的度数为． （3）解：，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 40．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，，，，同角的补角相等； (2)． 【思路点拨】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，然后计算出，进而得到． 【规范解答】（1）解：与互补， ， ， ,根据同角的补角相等； （2）是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ． 易错题型21 同(等)角的余(补)角相等的应用 41．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知A、O、E三点在同一条直线上，，且和互为余角． (1)和∠3互余吗？ (2)和有什么关系？为什么？ (3)的补角是哪个角？为什么？ 【答案】(1)和互余 (2)和互余，理由见解析 (3)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和为，则这两个角互为余角；如果两个角的和为，则这两个角互为补角． （1）由和互为余角可知，根据点，，三点在同一条直线上可知，于是可得，根据余角的定义即可得出结论； （2）根据，结合，由等角的余角相等可得结论； （3）由（2）可知，由于的补角是，利用等量代换即可得出答案． 【规范解答】（1）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又，，三点在同一条直线上， ， ， 答：和互余； （2）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又， ， ∴和互余； （3）解：的补角是， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴的补角是． 42．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】本题考查余角和补角的概念，根据定义逐一判断各说法的正误即可． 【规范解答】解：① ∵ 两个角互余且相等，∴ 互为余角的两个角可能相等，故①错误； ② ∵角的补角为，∴ 补角不一定小于这个角，故②错误； ③ ∵ 同角的补角相等，∴ ③正确； ④ ∵ 互余的两角之和为，每个角必小于，∴ 都是锐角，故④正确； ⑤ 设锐角为，则余角为，补角为， ∵，∴ 余角比补角小，故⑤正确； 综上，正确的有③④⑤，共3个． 故选：B． 易错题型22 垂线段最短 43．（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【规范解答】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 44．（24-25七年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了垂线段最短，根据“垂线段最短”即可求解． 【规范解答】解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：D． 易错题型23 找邻补角 45．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【思路点拨】本题考查对顶角，邻补角，几何图形中角度的计算，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）根据对顶角的定义，邻补角的定义，进行判断即可； （2）设，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）由图可知：的对顶角为，的邻补角为． （2）设，则． ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴ ∴． 46．（24-25七年级上·河北衡水·期末）如图，在线段上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若，，点F是线段上任意一点，则点F到点的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了线段的计数、互补角的概念、角的度数和计算以及线段上点到多个点的距离之和的最值问题，解题的关键是掌握线段计数的方法、互补角的定义、角的和差关系以及利用坐标或线段和差分析距离之和的最值． 【规范解答】解：①以为端点的线段、、、、、共6条，故①正确； ②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②正确； ③由，，根据图形可以求出，故③错误； ④当F在线段上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为故④错误． 因此正确的个数共有2个. 故选：B． 易错题型24 利用邻补角互补求角度 47．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 【答案】 36 【思路点拨】本题考查了对顶角的性质与角的和差计算，解题的关键是利用对顶角相等、角平分线定义及平角性质求解角度． （1）利用对顶角相等，将角度单位换算后求解； （2）先根据比例和平角求出，再由角平分线得，最后利用对顶角相等求解． 【规范解答】（1）解：∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴，解得， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 48．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了垂线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据垂线的定义得，根据对顶角的定义得，再由计算即可； （2）根据，设，则，，再根据得关于x的方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：设，则，， 据题意，得， ∴， 解得， ． 易错题型25 用直尺、三角板画平行线 49．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路点拨】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【规范解答】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：根据斜边大于直角边，得． 50．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【规范解答】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 易错题型26 根据平行线的性质探究角的关系 51．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）如图，，平分，平分．试猜想：与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，，则，再根据同角相等、两直线平行即可解答． 【规范解答】证明：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 52．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【规范解答】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 易错题型27 根据平行线的性质求角的度数 53．（2026七年级·河北·专题练习）如图，，直线l分别交于点平分，若，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 若两直线平行，则同旁内角互补，内错角相等，据此得角的等量关系，即可求得的度数． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 54．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【规范解答】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 易错题型28 平行线的性质在生活中的应用 55．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【规范解答】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 56．（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与地面平行，， ∴， ∴， ∴． 易错题型29 根据平行线判定与性质求角度 57．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【规范解答】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 58．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 易错题型30 根据平行线判定与性质证明 59．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知，． 求证：． 证明： 已知， ， ． 同位角相等，两直线平行． 两直线平行，同位角相等． 已知， 等量代换． ． ． 【答案】对顶角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【思路点拨】本题考查了平行线的性质与判定；根据平行线的性质定理与判定定理完成填空，即可求解． 【规范解答】证明： 已知，（对顶角相等）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 60．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别平分，且． (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据，结合角的和差倍分进一步求解，然后根据两直线平行，内错角相等求得的度数． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，代入， ∴， 解得：， 由（1）得， ∴． 故的度数为． 易错题型31 同位角、内错角、同旁内角 61．（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【思路点拨】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【规范解答】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 62．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【规范解答】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 易错题型32 多边形对角线的条数问题 63．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有 条． 【答案】54 【思路点拨】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为是解题的关键． 根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由n边形的对角线总条数公式为进行解答． 【规范解答】解：：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有9条， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形是十二边形． ∴该多边形对角线一共有：(条)， 故答案为：54． 64．（2024七年级上·全国·专题练习）过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 【答案】216 【思路点拨】本题主要考查了多边形的对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线．从n个顶点出发引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：，且n为整数，可得到m、n、p的值，进而可得答案． 【规范解答】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线， ∴， 解得，； n边形没有对角线，； ∵五边形有p条对角线， ∴， 所以． 故答案为：216． 易错题型33 对角线分成的三角形个数问题 65．（25-26七年级上·山西大同·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【思路点拨】本题考查了新定义——多边形的三角剖分．熟练掌握新定义是解题的关键， 根据递推公式并用它来计算六边形三角剖分数．根据给定的递推关系和初始值，可逐步计算出． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 故选：C． 66．（2025·陕西西安·模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个，即可解决问题． 【规范解答】解：由所给图形可知， 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； ， 所以当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个． 故答案为：． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $