专项突破10 角的计算（期末复习-知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精讲练

专项突破10 角的计算 （知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：角的概念 2 知识点梳理02：角的表示方法 2 知识点梳理03：角的度量 3 知识点梳理04：角的大小比较 4 知识点梳理05：角的分类 4 知识点梳理06：角的和差计算 4 知识点梳理07：角平分线 5 知识点梳理08：余角和补角 5 重点难点 培优讲练 6 题型1 画特殊角 6 题型2 钟面角 7 题型3 与方向角有关的计算题 7 题型4 角的单位与角度制 8 题型5 角的度数大小比较 8 题型6 角的比较 9 题型7 三角板中角度计算问题 10 题型8 几何图形中角度计算问题 11 题型9 角度的四则运算 12 题型10 实际问题中角度计算问题 12 题型11 尺规作一个角等于已知角 13 题型12 角平分线的有关计算 14 题型13 角n等分线的有关计算 15 题型14 与余角、补角有关的计算 16 题型15 同（(等）角的余(补)角相等的应用 17 期末真题 实战演练 18 知识点梳理01：角的概念 1.角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【易错点拨】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 知识点梳理02：角的表示方法 1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 角的表示方法 图示 记法 适用条件 ①三个大写字母 任何情况都适用 ②一个大写字母 该角的顶点处只有一个角 ③数字 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 ④希腊字母 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 【易错点拨】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2.角的画法： （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点梳理03：角的度量 1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点梳理04：角的大小比较 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 知识点梳理05：角的分类 角按照大小可分为 知识点梳理06：角的和差计算 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点梳理07：角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点梳理08：余角和补角 1、余角： （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． （2）性质：同角（等角）的余角相等． 2、补角： （1）定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型1 画特殊角 【精讲】（23-24七年级上·山东德州·期末）如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【变式】（21-22七年级上·广东深圳·期末）如图，已知∠AOB＝120°，OE平分∠AOB，反向延长边OB至点D，再画∠COE＝70°． (1)请在图中补画出完整图形； (2)结合图形，求出∠DOC的度数． 题型2 钟面角 【精讲】（25-26七年级上·全国·周测）如图，2时20分，钟表的时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？再过1小时，时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？时针转动的度数是多少？ 【变式】（2024七年级下·全国·竞赛）如图，下午3时，时钟上的时针和分针所成的角为，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 题型3 与方向角有关的计算题 【精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【变式】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）下图是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中F到灯塔的距离为，海轮F在灯塔和海轮D的中点处． 且，． 则下列说法正确的是（      ） ①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要20分钟； ②； ③； ④C在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 题型4 角的单位与角度制 【精讲】（23-24七年级上·陕西西安·期末）若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 题型5 角的度数大小比较 【精讲】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【变式】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）下列说法： ①连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点之间，线段最短； ③若，则点是的中点； ④若，，，则有．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6 角的比较 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知四个点A，B，C，D和射线，根据下列要求画图． (1)画线段． (2)画射线． (3)在的内部画射线，使． (4)画的补角．（画出一种情况即可） 【变式】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 题型7 三角板中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）借助一副三角板，可以得到一些平面图形． (1)如图，求的度数； (2)将图中的三角板绕点顺时针旋转___________度时，边与边首次重合，并直接写出此时的度数． 【变式】（21-22七年级上·广西梧州·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 题型8 几何图形中角度计算问题 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 题型9 角度的四则运算 【精讲】（24-25六年级下·山东青岛·期中）计算 (1) (2) 【变式】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10 实际问题中角度计算问题 【精讲】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【变式】（2021·湖南娄底·模拟预测）入射光线和平面镜的夹角为，转动平面镜，使入射角减小，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（    ） A．减小 B．减小 C．减小 D．不变 题型11 尺规作一个角等于已知角 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，请用尺规作图在下方作出，使得（在图上保留作图痕迹）． 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·期中）作图与计算． (1)已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2) 在第（1）问的条件下，，，是的角平分线，则的度数为______． (3) 题型12 角平分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 题型13 角n等分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【变式】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 题型14 与余角、补角有关的计算 【精讲】25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法中：①在数轴上，原点左侧的点离原点越远所代表的数越小；②如果，那么与互为相反数；③多项式为三次三项式；④一个角的余角比它的补角大；⑤连接、两点的线段的长度是、两点的距离．其中正确的是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型15 同（(等）角的余(补)角相等的应用 【精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请问所在射线是不是的平分线？ (3)将三角板绕点逆时针转动，当边与重合时停止，转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【变式】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 1．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 4．（21-22七年级上·福建泉州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级上·四川绵阳·期末）如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·贵州·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则 ．（用含的代数式表示）． 7．（24-25七年级上·安徽·期末）与互余，，，则 ． 8．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 9．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 12．（24-25七年级上·广西梧州·期末）（1）学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形．例如图1给定一个三角形，可以这样来画：先作，然后在的两边分别作线段，线段，最后连结，这样得到三角形就和已知的三角形一模一样了．请你按照上面的步骤作出（不写作法，但一定要保留作图痕迹）． （2）如图2，是直线上一点，，平分，求的度数． 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，已知，点P在射线上． (1)在射线上求作一点D，使； (2)以（1）中作出的点D为顶点，为一边，在外作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 14．（12-13七年级上·重庆·期末）如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线，且平分，． (1)设，用x表示的大小； (2)若，求的度数． 15．（20-21七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破10 角的计算 （知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：角的概念 2 知识点梳理02：角的表示方法 2 知识点梳理03：角的度量 3 知识点梳理04：角的大小比较 3 知识点梳理05：角的分类 4 知识点梳理06：角的和差计算 4 知识点梳理07：角平分线 4 知识点梳理08：余角和补角 5 重点难点 培优讲练 5 题型1 画特殊角 5 题型2 钟面角 7 题型3 与方向角有关的计算题 8 题型4 角的单位与角度制 11 题型5 角的度数大小比较 12 题型6 角的比较 13 题型7 三角板中角度计算问题 15 题型8 几何图形中角度计算问题 17 题型9 角度的四则运算 19 题型10 实际问题中角度计算问题 21 题型11 尺规作一个角等于已知角 22 题型12 角平分线的有关计算 24 题型13 角n等分线的有关计算 26 题型14 与余角、补角有关的计算 31 题型15 同（(等）角的余(补)角相等的应用 32 期末真题 实战演练 36 知识点梳理01：角的概念 1.角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 【易错点拨】 （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 知识点梳理02：角的表示方法 1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 角的表示方法 图示 记法 适用条件 ①三个大写字母 任何情况都适用 ②一个大写字母 该角的顶点处只有一个角 ③数字 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 ④希腊字母 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 【易错点拨】 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2.角的画法： （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点梳理03：角的度量 1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【易错点拨】 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 知识点梳理04：角的大小比较 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 知识点梳理05：角的分类 角按照大小可分为 知识点梳理06：角的和差计算 角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 【易错点拨】 (1)用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点梳理07：角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点梳理08：余角和补角 1、余角： （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． （2）性质：同角（等角）的余角相等． 2、补角： （1）定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：同角（等角）的补角相等． 【易错点拨】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型1 画特殊角 【精讲】（23-24七年级上·山东德州·期末）如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键．根据角的和差求解即可得． 【规范解答】解：∵，，， ∴可以用这副三角尺画出来的是①③④， 故选：D． 【变式】（21-22七年级上·广东深圳·期末）如图，已知∠AOB＝120°，OE平分∠AOB，反向延长边OB至点D，再画∠COE＝70°． (1)请在图中补画出完整图形； (2)结合图形，求出∠DOC的度数． 【答案】(1)图见解析 (2)或 【思路引导】（1）先反向延长边至点，再利用量角器画出即可得； （2）根据（1）中的图，分两种情况，先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差可得的度数，然后根据邻补角的定义即可得． 【规范解答】（1）解：先反向延长边至点，再利用量角器画如下图： 或 （2）解：平分，且， ， ①如（1）问中的图1，， ， ； ②如（1）问中的图2，， ， ； 综上，的度数为或． 【考点剖析】本题考查了利用量角器画角、角平分线的运算、邻补角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 题型2 钟面角 【精讲】（25-26七年级上·全国·周测）如图，2时20分，钟表的时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？再过1小时，时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？时针转动的度数是多少？ 【答案】2时20分：再过1h是3时20分：时针转动的度数： 【思路引导】本题考查了钟面角，角的计算，掌握钟面角的计算是解题的关键． 结合钟表图形，根据时针一小时转，一分钟转，分针一小时转，一分钟转计算即可． 【规范解答】解：因为当时间为时分时，时针指向点和点之间的靠近刻度的处，分针指向刻度， 故时针与分针之间所成的较小角度为：． 再过小时是时分，同理可得时针与分针之间所成的较小角度为：． 时针转动的度数：． 所以时分，钟表的时针与分针之间所成的较小角的度数是，再过小时，时针与分针之间所成的较小角的度数是，时针转动的度数是． 【变式】（2024七年级下·全国·竞赛）如图，下午3时，时钟上的时针和分针所成的角为，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用和钟面角问题，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力． 根据实际问题，时针转动速度为度/分钟，分针转动速度为度/分钟，设再次转成直角的时间间隔为x分钟，可以列出方程，从而求解下一次时针与分针成直角的时间． 【规范解答】解：设再次转成直角的时间间隔为x分钟，则由题意得： ， 解得． 分钟小时． 故选：C． 题型3 与方向角有关的计算题 【精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（24-25七年级上·北京怀柔·期末）下图是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中F到灯塔的距离为，海轮F在灯塔和海轮D的中点处． 且，． 则下列说法正确的是（      ） ①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要20分钟； ②； ③； ④C在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了方向角和度分秒的换算，熟练掌握方向角的定义和度分秒的换算是关键．分别根据方向角和度分秒的换算判断即可． 【规范解答】解：①若海轮F的速度为，则海轮F抵达灯塔需要小时=20分钟，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④∵， ∴C在灯塔的北偏东的方向上，故④正确． 故选：C． 题型4 角的单位与角度制 【精讲】（23-24七年级上·陕西西安·期末）若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了求一个角的余角，度、分、秒单位的换算，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义求出余角，再进行单位换算即可． 【规范解答】解： ， ， 故选：C． 【变式】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）若，与互余，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了余角的定义、度分秒的换算等知识点，掌握余角的定义、度分秒的换算法则是解题的关键． 先利用余角的定义列式，然后利用度分秒的换算法则计算即可． 【规范解答】解：∵，与互余， ∴． 故答案为：． 题型5 角的度数大小比较 【精讲】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了角的大小关系，利用平移的方法求解即可．将平移，使顶点重合，即可比较大小． 【规范解答】解：将平移，使顶点重合， 在内部， 【变式】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）下列说法： ①连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点之间，线段最短； ③若，则点是的中点； ④若，，，则有．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】考查了两点之间的距离、线段中点的定义、以及角的大小的比较根据两点之间的距离的定义，线段的中点的定义以及角的比较即可作出判断． 【规范解答】解：①连接两点间的线段的长度叫做这两点间的距离，故①错误； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点确定一条直线，故②错误； ③若在线段上，，则点是的中点，故③错误； ④若，，，，，则有．故④正确； 故选：A． 题型6 角的比较 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知四个点A，B，C，D和射线，根据下列要求画图． (1)画线段． (2)画射线． (3)在的内部画射线，使． (4)画的补角．（画出一种情况即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路引导】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段、角、补角的定义． （1）连接即可； （2）连接并延长即可； （3）在的内部画射线，并靠近即可； （4）延长即可． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求． （2）如图，射线即为所求． （3）如图，射线即为所求． （4）如图，即为所求（答案不唯一）． 【变式】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 【答案】(1)另一边是 (2)这些角不相等， 【思路引导】本题考查了角的比较和运算，解答本题的关键是掌握角的有关知识． （1）根据正方形的对角线是，进行解答； （2）由图可知角的两边张口越小，角的大小就越小，由此解答． 【规范解答】（1）解：因为正方形的对角线是， 所以另一边是； （2）由图可知：角的两边张口越小，角的大小就越小， 则，，，这些角不相等， 按从大到小的顺序排列为：． 题型7 三角板中角度计算问题 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）借助一副三角板，可以得到一些平面图形． (1)如图，求的度数； (2)将图中的三角板绕点顺时针旋转___________度时，边与边首次重合，并直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查三角板中有关的计算，找准角的和差关系，是解题的关键： （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）根据题意，求出旋转度数，再利用角的和差关系进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意，， ∴； （2）解：由题意，当边与边首次重合时，旋转的角度为的度数，即为， 此时． 【变式】（21-22七年级上·广西梧州·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【思路引导】此题主要考查角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是熟知角平分线的定义及角度的运算法则． （1）设，则，根据得到方程，故可求出x，故可求出的度数； （2）根据平分，得到，再根据故可求解； （3）分别表示出，，由此即可得到和的关系． 【规范解答】（1）解：设，则 ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ； （3）解：， 理由：当始终在的内部时，， ， ∴． 题型8 几何图形中角度计算问题 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查角度的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键，根据题意分两种情况分类讨论：在内部或外部，分别计算的度数． 【规范解答】解：①当在内部时， ∵， ∴， ②当在外部时， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【思路引导】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 题型9 角度的四则运算 【精讲】（24-25六年级下·山东青岛·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查角度的运算，掌握角度是60进制和相关运算法则是解题的关键． （1）根据角度是60进制和角度的加减运算求解即可． （2）根据角度是60进制和角度的乘法运算求解即可． 【规范解答】（1） （2） 【变式】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，角度的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． （1）将除法转化成乘法，然后再根据有理数乘法法则进行计算； （2）先算乘方，化简绝对值，再算乘除，最后算加减即可； （3）将除法转化为乘法，使用乘法分配律进行简便计算； （4）先算乘法，再算减法，注意角度制单位换算。 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型10 实际问题中角度计算问题 【精讲】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)5秒或10秒 【思路引导】本题考查了角的和差计算、角平分线的性质及旋转中的角度动态变化，解题的关键是利用角度关系建立等式，结合绝对值处理旋转中的位置关系．​ （1）通过 与 的差计算；​ （2）利用角平分线性质将 转化为 的一半；​ （3）表示 的旋转角度，列绝对值方程求解 t，验证范围． 【规范解答】（1）已知，．​ 因为点 B 在 内部，且 按逆时针排列，所以． （2） 平分，故； 平分，故． （3）射线旋转角度：度，射线 旋转角度：度． 初始时，t秒后： ． 令，则或， 解得或． 验证：OP 到达 OC 需 15 秒 （秒），和均在范围内． 【变式】（2021·湖南娄底·模拟预测）入射光线和平面镜的夹角为，转动平面镜，使入射角减小，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（    ） A．减小 B．减小 C．减小 D．不变 【答案】C 【思路引导】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角． 【规范解答】解：入射光线与平面镜的夹角是，所以入射角为． 根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为，所以入射光线与反射光线的夹角是． 入射角减小，变为，所以反射角也变为，此时入射光线与法线的夹角为． 则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角． 题型11 尺规作一个角等于已知角 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，请用尺规作图在下方作出，使得（在图上保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【思路引导】本题考查了尺规作角等于已知角，掌握尺规作图的方法是关键，先画出射线，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交的两边于点，然后以点为圆心，以的长度为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，以的长度为半径画弧，交前弧于点，连接，则在射线上，即可作答． 【规范解答】解：如图所示： 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·期中）作图与计算． (1)已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）问的条件下，，，是的角平分线，则的度数为______． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角平分线的有关计算，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，与角的两边相交于、．以为圆心，以为半径画弧，与角的两边相交于、，然后以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，过、作射线即可得到； （2）先根据角的和差关系得出，再根据角平分线的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： 就是所求的角． （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 题型12 角平分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了角平分线的有关计算，解题的关键是根据角平分线找出角的等量关系． 由平角定义得，计算，然后利用角平分线定义即可解答． 【规范解答】解：因为点A、O、B在同一直线上， 所以是平角，即． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 故选：A． 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据相生角的定义求得，再根据计算即可； （2）先根据旋转的性质得，再分别求出和，再根据相生角的定义即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当边在的上方时，设；当边在的下方时，设；分别根据相生角的定义的角的和差列方程计算． 【规范解答】（1）解：∵是的相生角，， ∴， ∵， ∴； （2）解：不是，理由如下： ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴不是的相生角； （3）解：分以下两种情况讨论： 当边在的上方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 当边在的下方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，旋转过程中是的相生角时旋转角的度数为或． 题型13 角n等分线的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【规范解答】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 【变式】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【规范解答】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 题型14 与余角、补角有关的计算 【精讲】25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【规范解答】解：∵和互补， ∴． 的余角为， ①：，即，故错误； ②：，故正确； ③：，故错误； ④：，故正确． ∴②和④正确，共2个． 故选：B． 【变式】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法中：①在数轴上，原点左侧的点离原点越远所代表的数越小；②如果，那么与互为相反数；③多项式为三次三项式；④一个角的余角比它的补角大；⑤连接、两点的线段的长度是、两点的距离．其中正确的是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴、相反数、多项式、余角与补角、线段，熟练掌握相关知识是解题关键．根据数轴的性质、相反数的定义、多项式、余角与补角、线段的长度逐个判断即可得． 【规范解答】解：①在数轴上，原点左侧的点离原点越远所代表的数越小；则原说法正确； ②如果，那么与互为相反数；则原说法正确； ③多项式为三次三项式；则原说法正确； ④一个角的余角比它的补角小；理由：角的余角为，补角为，则其余角比它的补角小；则原说法错误； ⑤连接、两点的线段的长度是、两点的距离；则原说法正确； 综上，正确的是4个， 故选：D． 题型15 同（(等）角的余(补)角相等的应用 【精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请问所在射线是不是的平分线？ (3)将三角板绕点逆时针转动，当边与重合时停止，转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1) (2)所在射线是的平分线 (3)或 【思路引导】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）根据角平分线的定义可得，再由余角的性质解答即可； （3）分两种情况，根据平角等于180°求出即可． 【规范解答】（1）解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即所在射线是的平分线； （3）解：∵， ∴可设，则， 如图，若在外部， ∵， ∴， 解得， 即， ∴； 如图，若在内部，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的度数为或． 【变式】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或 【思路引导】（）由已知可得，进而由余角性质得，即可判断求解； （）由得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意得， ，再分两种情况：①在左侧；②在右侧，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，余角性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵射线，分别平分与， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当在左侧时， 设，则， ∴， ∴， ， ∴； ②如图，当在右侧时， 设，则， 同理可得，， ∴； 综上，或 ． 1．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 【规范解答】解：分为两种情况： 如图1，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数是或． 故选:C． 2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了角的运算，角平分线，一元一次方程的应用等知识，根据角的运算，角平分线，一元一次方程的应用逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：、当时，，， ∴，原选项说法错误，不符合题意； 、由题意得， 当时，，， 则， 解得， ∴整个运动过程中，存在的情况，原选项说法错误，不符合题意； 、由题意得， 当时，，， 则， 解得， 当时，， 则 解得， 当时，，， 则， 解得， 综上所述，当时，两射线的旋转时间为秒、40秒或秒，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，， ∴，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】本题主要考查角平分线、余角与补角，根据，得出，即可判断①；根据平分，得出，即可判断②；设，得出，根据，得出，根据与互为余角，得出，即可判断③；根据，得出，根据平分，得出，即可判断④； 【规范解答】解：∵， ， ∴与互为余角，故①正确． ∵平分， ∴，无法推断得到，故②错误． 设， ， ， ∵平分， ∴，则， ， ∴，即，故③正确． ， ， ∵平分， ∴，故④正确． 综上：正确的有①③④． 故选：C． 4．（21-22七年级上·福建泉州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的角为直角是解题的关键． 利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导三个角的数量关系． 【规范解答】如图， 正方形的每个角都是， ，， ， 又， ∴． 故选：C． 5．（21-22七年级上·四川绵阳·期末）如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了角的和差倍关系，设，可得，，进而得到，再根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【规范解答】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（25-26七年级上·贵州·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了画一个角等于已知角，角平分线的定义，由画图可得，得到，再利用平角定义求出即可求解，理解作图是解题的关键． 【规范解答】解：由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·安徽·期末）与互余，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了余角的概念，一元一次方程的应用． 根据余角的概念列出方程，解方程求出x的值，求出、的度数，进而计算即可． 【规范解答】解：∵与互余， ∴， ∴， 解得， ，， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 【答案】/80度 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，利用方程是解答本题的关键，难度适中． 先设为，为，根据角平分线的定义、与的关系建立方程解答即可． 【规范解答】解：设为，则为， 平分， ， 则可得， ， ， 则可得：， 解得， ， ． 9．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是余角，补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行角的等量代换逐个进行判断，即可得解． 【规范解答】解：平分，平分， ，， ， ， 故结论正确； 平分，平分， ，， ， 故结论正确； ，， ， 故结论正确； ， ， ， ， ， ，即， 故结论错误． 故正确的是． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 【答案】 【思路引导】本题考查折叠中的角度计算，根据折叠两重合的角度相等求解即可． 【规范解答】解：由正方形可得 第一次折叠可得， ∴， ∴， ∴由第二次折叠可得， ∴ 故答案为：． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分；理由见解析 【思路引导】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ()由角平分线的定义，得到的度数； ()根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； ()由角分线的定义证明即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 12．（24-25七年级上·广西梧州·期末）（1）学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形．例如图1给定一个三角形，可以这样来画：先作，然后在的两边分别作线段，线段，最后连结，这样得到三角形就和已知的三角形一模一样了．请你按照上面的步骤作出（不写作法，但一定要保留作图痕迹）． （2）如图2，是直线上一点，，平分，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路引导】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，尺规作图—作三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据所给的作图步骤作图即可； （2）由平角的定义和已知条件可求出的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【规范解答】解：（1）如图所示，即为所求； （2）∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，已知，点P在射线上． (1)在射线上求作一点D，使； (2)以（1）中作出的点D为顶点，为一边，在外作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图---作线段，作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键． （1）以点为圆心，为半径画弧交射线于点，则点即为所求； （2）以点为圆心为半径画弧，以点为圆心为半径画弧，两弧交于的下方一点，将点与两弧的交点连接并延长即可得出． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，即为所求． 14．（12-13七年级上·重庆·期末）如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线，且平分，． (1)设，用x表示的大小； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据角平分线的定义和平角的定义，借助于图形得到，则； （）利用（）中的关系式得到，则易求的度数． 【规范解答】（1）解：∵，平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∴， 答：的度数为． 15．（20-21七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【思路引导】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【规范解答】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $