专项突破09 直线、射线、线段的认识与计算（期末复习-知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精讲练

专项突破09 直线、射线、线段的认识与计算 （知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线 2 知识点梳理02：线段 2 知识点梳理03：射线 3 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 3 重点难点 培优讲练 4 题型1 直线、线段、射线的数量问题 4 题型2 直线相交的交点个数问题 5 题型3 线段的应用 7 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 8 题型5 点与线的位置关系 10 题型6 两点确定一条直线 12 题型7 线段的和与差 14 题型8 线段中点的有关计算 17 题型9 线段n等分点的有关计算 20 题型10 线段之间的数量关系 22 题型11 与线段有关的动点问题 25 题型12 两点之间线段最短 28 题型13 两点间的距离 32 题型14 最短路径问题 34 题型15 作线段（尺规作图） 36 期末真题 实战演练 38 知识点梳理01：直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点提示：直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 知识点梳理02：线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 知识点梳理03：射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图6所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图6 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图6所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 要点提示： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图7中射线OA，射线OB是不同的射线． 图7 (2) 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图8中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图8 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 题型1 直线、线段、射线的数量问题 【精讲】（20-21七年级上·山东聊城·期中）如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了直线，射线和线段的定义及查找，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用直线，射线和线段的定义进行判断即可． 【规范解答】解：根据图象可得，共有射线10条，共有线段10条，直线1条， 故选：C． 【变式】（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【思路引导】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律． （1）根据图形画出直线即可； （2）根据上面得到的规律用代数式表示即可； （3）将代入公式即可求解． 【规范解答】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线； 故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条） 那么经过两点最多可以画条直线； 故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）． 答：他们共握了次手． 题型2 直线相交的交点个数问题 【精讲】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【规范解答】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 【变式】如图， 条直线相交，最多个交点； 条直线相交最多有个交点； 条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 【答案】 【思路引导】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【规范解答】解：条直线相交，最多有个交点， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， ， 条直线相交，最多有（个）交点， 故答案为：． 题型3 线段的应用 【精讲】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【思路引导】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【规范解答】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【考点剖析】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 【变式】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在 处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在 ，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？ 【答案】 C C与D之间 【思路引导】假设工具箱分别设置在A、B、C、D、E的位置，根据图示求出设置在以上位置时工人经过的总路程，然后进行比较即可；再根据题意及图示，分工具箱的安放位置在A与B之间，在B与C之间，在C与D之间，在D与E之间，在E与F之间进行讨论． 【规范解答】解：如图， ∵若放在A点，则总路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB； 若放在B点，则总路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB； 若放在C点，则总路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB； 若放在D点，则总路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB； 若放在E点，则总路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB， ∴将工具箱放在C处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短． 如果工作台由5个改为6个，如图， 位置在A与B之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+BD+BE； 位置在B与C之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+CD+CE； 位置在C与D之间：拿到工具的距离和=AF+BE+CD； 位置在D与E之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CD； 位置在E与F之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CE； ∴将工具箱放在C与D之间，能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短． 【考点剖析】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 【精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【答案】②③④ 【思路引导】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【规范解答】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 【变式】（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【答案】A 【思路引导】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【规范解答】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． 题型5 点与线的位置关系 【精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在平面内有三点A，B，C．按下列要求完成画图或作答． (1)画射线，直线，线段； (2)用适当的语句表述点C与直线的关系； (3)过点A作直线l与线段交于点D（注：点D不与B，C两点重合）；则点D是直线l上到B，C两点距离之和最小的点，理由为 ． 【答案】(1)见详解 (2)点C在直线外 (3)画图如图所示，两点之间线段最短 【思路引导】本题考查作图—直线、射线、线段、两点间的距离、线段的性质，理解直线、射线、线段的定义，两点间的距离、线段的性质：两点之间线段最短是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义画图，即可求解； （2）由图结合点与圆的位置关系，即可求解； （3）在线段上任取不与B，C重合的点D，作直线，即为所求的直线l；根据两点之间线段最短，即可求解； 【规范解答】（1）解：如图， 射线、直线，线段，即为所求； （2）解：由图得： 点C在直线外； （3）解：如图所示， 依据：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知直线l和点A、B、P． (1)用适当的语句表述点A与直线l的位置关系：______； (2)请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）： ①画直线；       ②画射线； ③在射线上作线段，使得P为线段的中点； (3)连接，则_____（填“”“”“”）成立的理由是______． 【答案】(1)点A在直线l上 (2)见详解 (3)，两点之间线段最短 【思路引导】本题考查了点与直线的位置关系，作线段、射线、直线，有关线段的基本事实； （1）由点与直线的位置关系，即可求解； （2）按要求作出图形即可求解； （3）由两点之间线段最短，即可求解； 理解点与直线的位置关系有“点在直线上和点在直线外”， 两点之间线段最短是解题的关键． 【规范解答】（1）解：点A在直线l上； 故答案：点A在直线l上． （2）解：如图，    （3）解：如图，    因为：两点之间线段最短， 所以：； 故答案：，两点之间线段最短． 题型6 两点确定一条直线 【精讲】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【答案】(1)①6，②； (2) 【思路引导】本题考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算． （1）①根据两点确定一条线段进行求解即可；②根据线段的和差关系求解即可； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【规范解答】（1）解：①图中的线段有共6条线段， 故答案为：6； ②由题意得，， 故答案为：；； （2） D线段的中点，， ， ， ， ． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】根据射线的表示法可判断①；根据线段中点的定义可判断②；根据两点之间的距离定义可判断③．可能是的， 也可能是的，可判断④；根据直线的基本事实可判断⑤． 【规范解答】① ∵ 射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，方向不同，∴ 不是同一条射线． 故①错误． ② ∵时，点B不一定在线段上（如三角形中），∴ B不一定是的中点． 故②错误． ③ ∵ 点A与点B之间的距离定义为线段的长度． ∴ ③正确． ④ ∵ 点C是线段的三等分点，若是的，则； 但若是的，则． ∴不一定为9． 故④错误． ⑤ ∵ 两颗钉子固定木条依据“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”． 故⑤错误． 综上，只有③正确，共1个正确． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了几何概念．熟练掌握射线的方向性、中点需共线、三等分点的两种情形以及几何公理的区别，几何概念的准确性是解题的关键． 题型7 线段的和与差 【精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 【答案】(1)，线段中点定义， (2)画图见解析，或 【思路引导】此题考查线段的中点定义，线段的和差计算， （1）根据线段中点定义及线段和差关系解答； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在线段上时，当点在点右边时，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：，， ． ， ． 是线段的中点， ．（线段中点定义） ． （2）解：当点在线段上时，如图， 由（1）可得，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； 当点在点右边时，如图， ∵， ∴，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ∴或． 【变式】．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 【答案】(1)①2；② (2)①；② (3)或10 【思路引导】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意． （1）①根据新定义计算即可； ②根据倒数的性质和新定义计算即可； （2）①根据绝对值和相反数的性质和新定义计算即可； ②根据新定义求出，，的值，再比较大小即可； （3）分两种情况，点P在点O的右侧，点P在点O的左侧进行求解即可； 【规范解答】（1）解：①若点表示的数为1，则， ∴， 故答案为：2； ②∵点表示的数的倒数为， ∴表示的数， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在原点O的左侧，且点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； ②∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是3， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： ①当点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴； ②当点P在O点右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴的值为或10． 题型8 线段中点的有关计算 【精讲】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（）根据线段中点的定义求出，进而根据比即可求解； （）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解； 本题考查了线段的中点，线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点在点左侧时，如图， ∵，， ∴； 当点在点右侧时，如图， ∵，， ∴； 综上，线段的长为或． 【变式】（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)①；②或或． 【思路引导】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）设点所表示的数为，分和和 三种情况讨论即可； （3）①，的路程和为时，两点第一次重合，列方程解答即可； ②分，两点相遇前、，两点相遇后且点未到达点前、从点返回后三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：； （2）设点表示的数为， ∵， ∴． 当时，，； 当时，，此方程无解； 当时，， ∴； ∴点表示的数为或； （3）解：①， ∴； ②当，两点相遇前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当，两点相遇后，点未到达点前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当点从点返回后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴． ∴或或时，两点间距离为． 题型9 线段n等分点的有关计算 【精讲】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据线段中点的特点得到对应线段之间的数量关系进行求解，即可解题； （2）根据得到的长，再根据求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：点是线段的中点，线段， ， 点是线段的中点， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 【变式】（25-26七年级上·湖南衡阳·月考）【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）17；（3）①；②当时，为定值，是 【思路引导】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）求出点D对应的数，即可求解； （2）根据题意可得点P所表示的数为，点Q表示的数为，再由的中点所对应的数为10，列出方程，即可求解； （3）①依题意可得出M对应的数；②根据题意可得点E表示的数为，点F所表示的数为，从而得到，进而得到，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧， ∴点D对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； 故答案为： （2）由题意得，点P所表示的数为，点Q表示的数为， ∵的中点所对应的数为10， ∴， 解得：， 当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意∶点M对应的数为， 故答案为∶； ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，为定值，是． 题型10 线段之间的数量关系 【精讲】（24-25七年级上·广西梧州·期末）已知，满足，数轴上点对应的数为，点对应的数为，线段在数轴上移动，点在点右侧，． (1)填空：_____，_____； (2)如图1，当点移动到的中点时，点对应的数是_____； (3)如图2，若线段在点左侧，为中点，为中点，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)，9 (2)2 (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查绝对值的非负性，线段中点的有关计算，数轴上的动点问题： （1）根据绝对值和平方的非负性求解； （2）根据中点的定义求出点D对应的数，再根据点在点右侧，，可求出点对应的数； （3）根据中点的定义及线段的和差关系计算出的长度，即可得出． 【规范解答】（1）解： ，，， ，， ，， 故答案为：，9； （2）解：点移动到的中点时，点D对应的数为：， 点在点右侧，， 点对应的数为：， 故答案为：2； （3）解：，理由如下： ，， ， 为中点，为中点， ， ， ． 【变式】（24-25七年级上·江苏扬州·月考）已知线段上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段），并记所有这些线段的长度总和为y．例如：图1中，，C为的中点，则． (1)如图2，线段上有C、D两点，其中，，求y； (2)如图3，线段上有C、D、E三点，其中C为的中点，E为的中点，且，，求的长度； (3)线段上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若，且的长度为奇数，直接写出的长度． 【答案】(1)40 (2)14 (3)11 【思路引导】本题主要考查线段中点的有关计算以及两点间的距离，解题的关键在于能够正确读懂题意，利用数形结合以及方程的思想求解． （1）根据比例求得，，的长，进而利用求解即可； （2）根据中点的定义，设，结合，用x表示每条线段长，再根据，列方程即可求解； （3）根据，可用表示，由是奇数，为正整数，，可求得的长，进而求得的长． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，，， ∴，， ∴； （2）解：设， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是奇数，为正整数， ∴，11，17，23，29，35， 又∵， ∴满足条件的有， ∴． 题型11 与线段有关的动点问题 【精讲】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【规范解答】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 【变式】如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】(1)， (2)2.25或2.75秒 (3)9或11秒 (4)图见解析，线段MN的长度不发生变化，其值为10 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题，两点间距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系等，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据点B在点A的左侧，且，可得点B表示的数；根据点P的初始位置及运动速度、方向，可得点P表示的数； （2）分点P、Q相遇之前，相遇之后两种情况，分别列一元一次方程，即可求解； （3）设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：点P、Q相遇之前，相遇之后，分别列方程，即可求解； （4）分两种情况：点P在点A、B两点之间运动，点P运动到点B的左侧，画出图形，根据线段之间的和差关系求解． 【规范解答】（1）解：数轴上点B表示的数：， 点P表示的数：， 故答案为：，； （2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得，解得； ②点P、Q相遇之后， 由题意得，解得． 答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）解：设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 则， 解得：， ②点P、Q相遇之后， 则， 解得：， 答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2； （4）解：线段的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为10． 题型12 两点之间线段最短 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句按要求画图． (1)连接，作射线，作直线与射线交于点G． (2)若，点E是射线上的一点，，点F是的中点，则的长为_____． (3)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P．要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)11或5 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图−−应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）根据线段，射线，直线的特征画图即可； （2）分两种情况求解即可； （3）线段与的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【规范解答】（1）如图，线段，射线，直线 （2）如图，当点E在线段的延长线上时， ∵，点F是的中点， ∴． ∵， ∴． 如图，当点E在线段的延长线上时， ∵，点F是的中点， ∴． ∵， ∴． 综上可知，的长为11或5； （3）根据两点之间线段最短可知，线段与的交点即为满足题意的点P的位置，如图， 【变式】（25-26七年级上·宁夏中卫·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔1米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 【答案】(1)①3，4 ② ，或 (2)① 1 ② 2 (3)配件箱应该放在工作台处，20米 【思路引导】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，掌握“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①根据题意，列出绝对值求解即可； ②根据题意，列出绝对值求解即可； （2）①根据绝对值的几何意义，根据两点之间，线段最短进行求解即可； ②根据绝对值的几何意义，根据两点之间，线段最短进行求解即可； （3）抽象成数轴，根据绝对值的几何意义，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①根据题意得， 轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3，4； ②根据题意得， 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：，或； （2）解：①根据题意得，表示到1和2的距离的和， 结合数轴，根据两点之间线段最短，当在1和2之间时（包括两个端点），到两点的距离之和最小，即的值最小， 此时，， ∴有最小值是1； 故答案为：1； ②根据题意得，表示到1、2和3的距离之和， ∵当在1和2之间时（包括两个端点），有最小值是1， ∴在此范围内越接近3时，的绝对值越小，即的值越小， ∴当时，有最小值， 此时， ∴最小值为2； 故答案为：2； （3）解：根据题意得， 配件箱应该放在工作台处， 最短路程是：（米）． 题型13 两点间的距离 【精讲】（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法正确的个数为（    ） ①过两点有且只有一条直线；②射线和射线表示同一条射线；③两点之间的线段叫做两点间的距离；④如果，则点B是线段的中点． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查直线的性质，射线的定义，两点间的距离，线段的中点，根据相关性质和定义逐一进行判断即可． 【规范解答】解：过两点有且只有一条直线；故①正确； 射线和射线表示两条射线；故②错误； 两点之间的线段的长度叫做两点间的距离；故③错误； 如果，且点在线段上，则点B是线段的中点；故④错误； 故选：A． 【变式】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第二问注意分类讨论思想，此题难度不大． （1）根据非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据题意，求出此时，再利用线段中点的定义结合图形即可求解； （3）分6秒后，在点左边时，6秒后，在点右边时两种情况分别计算求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的中点， ∴，， 若6秒后，在点左边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 若6秒后，在点右边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 综上，运动前点，之间的距离为或． 题型14 最短路径问题 【精讲】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【思路引导】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【规范解答】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【变式】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形． (1)作线段和射线； (2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作； (3)在平面内作一点P，使得的和最短． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【思路引导】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）根据几何语言画出对应的几何图形； （3）连接交于P，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件． 【规范解答】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点P即为所求． 两点之间线段最短， 要使得的和最短，则点应为线段和线段的交点． 【考点剖析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段． 题型15 作线段（尺规作图） 【精讲】（25-26七年级上·福建三明·期中）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路引导】本题主要考查了尺规作图、线段的和差等知识点，掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系是解题的关键． （1）以B为圆心，a的长度为半径画弧，交延长线于点C；以A为圆心，长为半径画弧交延长线于点D即可完成作图； （2）由（1）的作图求出，由O为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ，，， ， 为的中点， ， ． 【变式】（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图， (1)设、、、四点为个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图确定购物中心的位置点，使个居民小区到购物中心的距离之和最小； (2)尺规作图：在图中作射线，在射线上找一点，使得； (3)点在直线上，，，点、分别是，的中点，则线段 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【思路引导】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）连接，交于点，点即为所求； （2）延长到，使得，在线段上截取线段，使得，线段即为所求； （3）分两种情形画出图形，根据中点的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求： ； （2）解：如图，线段即为所求： ； （3）解：如图： 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 1．（22-23七年级上·湖北宜昌·开学考试）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 【答案】D 【思路引导】本题考查了列代数式，熟练掌握计算线段的长度、长方形的周长及长方形的面积是解题的关键．根据计算线段的长度、长方形的周长及长方形的面积逐一判断即可求解． 【规范解答】解：A、整条线段长度为：，则错误，故本选项不符合题意； B、整条线段的长为：，则错误，故本选项不符合题意； C、这个图形的面积为：，则错误，故本选项不符合题意； D、这个长方形周长为：，则正确，故本选项符合题意， 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论． 先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【规范解答】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故选：B ． 3．（20-21七年级上·山西运城·期末）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A，B的距离和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是（   ） A．经过一点能画无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 【答案】B 【思路引导】本题考查了线段的性质，利用线段的性质即可求解． 【规范解答】解：这里用到的数学基本事实是：两点之间线段最短． 故选：B． 4．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，点M、N在线段上，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了线段的和差倍分，解答本题的关键是熟练掌握线段之间的和差倍分关系． 先得出，，得，进而用建立方程求解即可得出结论． 【规范解答】解：∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为 ， ，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了几何新定义，一元一次方程的应用，线段的和差计算，根据题意，分别表示出，根据新定义可得或或，进而列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为 ， ，设点的运动时间为， ∴，， 当时，相遇，即， 解得： 当时，， 当时，， ∴， 由新定义可知或或， 当时，则， 解得或（舍去） 当时，则， 解得； 当时，则， 解得或， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：D． 6．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了与线段中点有关的计算，由是的中点得出，再结合，是线段的三等分点计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵是的中点，， ∴， ∵，是线段的三等分点， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，线段上有两点，的中点分别为．若，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出的长，再由线段中点的定义求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵的中点分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【答案】4或 【思路引导】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解． 【规范解答】 解：如解图，设， 由题意可知，， 如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴； 如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴． 综上所述，木棒的长度为4或． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）数轴上有A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等，点C在线段上，点D在直线上．已知，，若，则点D表示的数是 ． 【答案】或4 【思路引导】本题考查了有理数的运算，数轴的应用，熟练应用数轴解决问题是解题的关键．根据题意，点D在直线AB上，分两种情况讨论，分别画出数轴，结合数轴上点的位置，求得结果． 【规范解答】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图1，点D在点B的右侧， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D表示的数是； 如图2，点D在点B的左侧， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D表示的数是4， 综上，点D表示的数是或4． 故答案为：或4． 10．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 【答案】1或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴，进行分类讨论是解题关键．先根据线段中点坐标公式求出点B表示的数，再分别表示出运动t秒时两点表示的数，然后分P在Q的左边与P在Q的右边两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可． 【规范解答】解：∵点C表示的数为6，点A表示的数为， ∴点B表示的数是， 依题意可知，运动t秒时，P表示的数为：，Q表示的数为：， 点P与点Q之间的距离为2个单位长度时，分两种情况： ①P在Q的左边， ， ， 解得； ②P在Q的右边， ， ， 解得， 综上所述：当t为1或秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 故答案为：1或． 11．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)共有7条线段，6条射线 【思路引导】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握各定义是解题的关键． （1）利用直线、线段、射线的定义作图即可； （2）依据在线段上任取一点E，连接即可； （3）根据线段和射线的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：直线、线段、射线如图所示， （2）解：点，如图所示， （3）解：根据题意可知，线段有，图中共有7条线段；以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有1条，以点为端点的射线共有1条，则共有6条射线． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据点M、N分别是线段、的中点，由线段的中点定义可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案； （2）同（1）可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 13．如图，已知线段． (1)如图，点P沿线段自点A向点B以2厘米/秒运动，点P出发2秒后，点Q沿线段自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后； (2)如图，，，，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自点B向A点运动，假若P，Q两点能相遇，求点Q运动的速度． 【答案】(1)再经过4秒后 (2)或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、线段的和差运算，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设再经过秒后，根据建立方程，解方程即可得； （2）要使得相遇，则必然要在线段上，此时点旋转的时间2秒或5秒，再分别求出的长，利用速度等于路程除以时间求解即可得． 【规范解答】（1）解：设再经过秒后， 由题意得：， 解得， 答：再经过4秒后． （2）解：要使得相遇，则必然要在线段上，此时点旋转的时间为秒或秒， ①当点旋转秒时，相遇， 则此时， 所以此时点运动的速度为； ②当点旋转5秒时，相遇， 则此时， 所以此时点运动的速度为； 综上，点运动的速度为或． 14．（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4 【思路引导】此题考查解一元一次方程的应用、线段的中点、两点间的距离等知识与方法，解题的关键是理解和把握线段中点的定义． （1）①根据线段的和差解答即可； ② 设为，表示出长，再列出方程，计算即可； （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，时间为3秒，则； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可． 【规范解答】解：（1）①， 故答案为：，． ②设， ， ， 是线段中点， ， ， ， ． （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒）， ∴， 故答案为：； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， 当为中点，，即， 解得； 当为中点，，即， 解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即， 解得． 综上，的值为1或4． 15．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【思路引导】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【规范解答】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破09 直线、射线、线段的认识与计算 （知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：直线 2 知识点梳理02：线段 2 知识点梳理03：射线 3 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 3 重点难点 培优讲练 4 题型1 直线、线段、射线的数量问题 4 题型2 直线相交的交点个数问题 5 题型3 线段的应用 5 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 6 题型5 点与线的位置关系 6 题型6 两点确定一条直线 7 题型7 线段的和与差 8 题型8 线段中点的有关计算 9 题型9 线段n等分点的有关计算 10 题型10 线段之间的数量关系 12 题型11 与线段有关的动点问题 13 题型12 两点之间线段最短 14 题型13 两点间的距离 15 题型14 最短路径问题 16 题型15 作线段（尺规作图） 17 期末真题 实战演练 18 知识点梳理01：直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点提示：直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 知识点梳理02：线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 知识点梳理03：射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图6所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图6 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图6所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 要点提示： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图7中射线OA，射线OB是不同的射线． 图7 (2) 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图8中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图8 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 题型1 直线、线段、射线的数量问题 【精讲】（20-21七年级上·山东聊城·期中）如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【变式】（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 题型2 直线相交的交点个数问题 【精讲】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【变式】如图， 条直线相交，最多个交点； 条直线相交最多有个交点； 条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 题型3 线段的应用 【精讲】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【变式】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在 处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在 ，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？ 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 【精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【变式】（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 题型5 点与线的位置关系 【精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在平面内有三点A，B，C．按下列要求完成画图或作答． (1)画射线，直线，线段； (2)用适当的语句表述点C与直线的关系； (3)过点A作直线l与线段交于点D（注：点D不与B，C两点重合）；则点D是直线l上到B，C两点距离之和最小的点，理由为 ． 【变式】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知直线l和点A、B、P． (1)用适当的语句表述点A与直线l的位置关系：______； (2)请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）： ①画直线；       ②画射线； ③在射线上作线段，使得P为线段的中点； (3)连接，则_____（填“”“”“”）成立的理由是______． 题型6 两点确定一条直线 【精讲】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型7 线段的和与差 【精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 【变式】．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 题型8 线段中点的有关计算 【精讲】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【变式】（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 题型9 线段n等分点的有关计算 【精讲】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 【变式】（25-26七年级上·湖南衡阳·月考）【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 题型10 线段之间的数量关系 【精讲】（24-25七年级上·广西梧州·期末）已知，满足，数轴上点对应的数为，点对应的数为，线段在数轴上移动，点在点右侧，． (1)填空：_____，_____； (2)如图1，当点移动到的中点时，点对应的数是_____； (3)如图2，若线段在点左侧，为中点，为中点，猜想与的数量关系并说明理由． 【变式】（24-25七年级上·江苏扬州·月考）已知线段上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段），并记所有这些线段的长度总和为y．例如：图1中，，C为的中点，则． (1)如图2，线段上有C、D两点，其中，，求y； (2)如图3，线段上有C、D、E三点，其中C为的中点，E为的中点，且，，求的长度； (3)线段上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若，且的长度为奇数，直接写出的长度． 题型11 与线段有关的动点问题 【精讲】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【变式】如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 题型12 两点之间线段最短 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句按要求画图． (1)连接，作射线，作直线与射线交于点G． (2)若，点E是射线上的一点，，点F是的中点，则的长为_____． (3)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P．要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【变式】（25-26七年级上·宁夏中卫·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔1米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 题型13 两点间的距离 【精讲】（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法正确的个数为（    ） ①过两点有且只有一条直线；②射线和射线表示同一条射线；③两点之间的线段叫做两点间的距离；④如果，则点B是线段的中点． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 题型14 最短路径问题 【精讲】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【变式】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形． (1)作线段和射线； (2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作； (3)在平面内作一点P，使得的和最短． 题型15 作线段（尺规作图） 【精讲】（25-26七年级上·福建三明·期中）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【变式】（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图， (1)设、、、四点为个居民小区，现要在四边形内建一个购物中心，不考虑其他因素，请你画图确定购物中心的位置点，使个居民小区到购物中心的距离之和最小； (2)尺规作图：在图中作射线，在射线上找一点，使得； (3)点在直线上，，，点、分别是，的中点，则线段 ． 1．（22-23七年级上·湖北宜昌·开学考试）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 2．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（20-21七年级上·山西运城·期末）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A，B的距离和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是（   ） A．经过一点能画无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 4．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，点M、N在线段上，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为 ， ，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，线段上有两点，的中点分别为．若，则的长为 ． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）数轴上有A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等，点C在线段上，点D在直线上．已知，，若，则点D表示的数是 ． 10．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 11．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 13．如图，已知线段． (1)如图，点P沿线段自点A向点B以2厘米/秒运动，点P出发2秒后，点Q沿线段自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后； (2)如图，，，，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自点B向A点运动，假若P，Q两点能相遇，求点Q运动的速度． 14．（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 15．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $