精品解析：湖北省宜城市2025-2026学年九年级上学期期中学业水平测试数学试题

宜城市2025-2026学年上学期期中学业质量测试 九年级数学 （本试卷共4页 24小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟） ★ 祝 考 试 顺 利 ★ 一、选择题 （本大题有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 一元二次方程的二次项的系数为1，则一次项的系数和常数项分别为（ ） A. 5，2 B. 5， C. ，2 D. ， 2. 若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 设、是一元二次方程＝的两个根，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C＝30°，则∠BOD的度数是（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 7. 如图，在中，，将绕着点O逆时针旋转后得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、分支的总数是73，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题 （本大题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知点和关于原点对称，则a+b=____. 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 13. 抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是_____． 14. 如图，点，，，在上，，，，则的长为_____． 15. 已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出点A、B两点的坐标并作出以原点为旋转中心逆时针旋转的； （2）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x个单位长度后落在的内部，请直接写出x的取值范围． 18. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 19. 已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 20. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标． 21. 如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 （1）试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）； （2）玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 23. 已知，点F是矩形边上一点，点E在边上，，连接． （1）如图1，点F在边上，且，连接．求证：； （2）如图2，点F在边上，且，连接交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，，，则 ． 24. 如图，已知点，，抛物线直线． （1）如果抛物线经过A点，求m的值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段有公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜城市2025-2026学年上学期期中学业质量测试 九年级数学 （本试卷共4页 24小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟） ★ 祝 考 试 顺 利 ★ 一、选择题 （本大题有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 一元二次方程的二次项的系数为1，则一次项的系数和常数项分别为（ ） A. 5，2 B. 5， C. ，2 D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：∵ 方程 中，一次项为，常数项为， ∴ 一次项系数为，常数项为， 故选：C． 2. 若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 3. 设、是一元二次方程＝的两个根，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．若，为一元二次方程的两个根，则有，．据此即可获得答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程＝的两个根， ∴． 故选：A． 4. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 轴对称图形沿着某条直线对折，直线两旁能够完全重合，中心对称图形存在一个对称中心，使得图形绕该点旋转后与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、无法找到对称轴，使直线两旁能够完全重合，也不存在绕某点旋转后与原图形完全重合，则A既不是轴对称图形也不是中心对称图形； 选项B、该图形沿着中间竖直的直线对折，能够使直线两旁完全重合，但不存在绕某点旋转后与原图形完全重合，则B是轴对称图形但不是中心对称图形； 选项C、该图形存在对称轴，沿其对折，能够使直线两旁完全重合，也存在绕中心点旋转后与原图形完全重合，则C既是轴对称图形也是中心对称图形； 选项D、无法找到对称轴，使直线两旁能够完全重合，但存在绕中心点旋转后与原图形完全重合，则D不是轴对称图形但是中心对称图形； 故选：C． 5. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为， 故选：D． 6. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C＝30°，则∠BOD的度数是（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据同圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍求出∠AOD=60°，然后根据等弧所对的圆心角相等即可求出∠BOD的度数． 【详解】如图，连接AO， ∵∠C=30°， ∴∠AOD=60°， ∵直径CD⊥弦AB， ∴， ∴∠BOD=∠AOD =60°， 故选：D． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7. 如图，在中，，将绕着点O逆时针旋转后得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，、、，由平行线的性质得到，据此求出的度数即可． 【详解】解：根据题意得，、、， 故选：B． 8. 某植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、分支的总数是73，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，则主干的数量为1，支杆的数量为x，分支的数量为 ，根据主干、支干、分支的总数是73，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 由题意得，， 解得（舍去）或， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 9. 如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、圆的性质，熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，利用圆的性质得到，进而求出，再根据三角形内角和定理求出，从而求出的度数． 【详解】解：在中，， 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据对称轴公式得到，图象开口向上，与轴负半轴相交，则、，，顶点在处，函数值最小为，结合一元二次方程两根之和的公式进行逐一判断即可． 【详解】解：①根据图象可得，对称轴在轴右侧， 根据对称轴得，， 二次函数图象开口向上，与轴负半轴相交， 则、，， 因此， 故①错误； ②根据对称轴得，， 即， 故②正确； ③当时，， 代入得，， 故③错误； ④顶点在处，函数值最小为， 则对任意都有， 即， 故④正确； ⑤方程，即， 则两根之和为， 故⑤错误， 综上所述，正确的有②④， 故选：A． 二、填空题 （本大题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知点和关于原点对称，则a+b=____. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a-1+2=0,b-1+1=0，再解方程即可求得a、b的值，再代入计算即可． 【详解】∵点和关于原点对称， ∴a-1+2=0,b-1+1=0， ∴a=-1,b=0, ∴a+b=-1. 故答案是：-1. 【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是运用了两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 13. 抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：由抛物线可得顶点坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14. 如图，点，，，在上，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理和含的直角边是斜边的一半，连接，可 得是直角三角形，利用圆周角定理可得，利用含的直角边是斜边的一半得出，在中利用勾股定理即可求出的长，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】连接， 如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中由勾股定理得：， 故答案为：． 15. 已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设则用含的代数式分别表示出其他角，再分类讨论利用三角形的内角和是列方程求得的值，可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵绕点旋转得， ∴， ∴， ∴， ， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：（舍）， 综上：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想，关键是分类讨论思想的应用． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出点A、B两点的坐标并作出以原点为旋转中心逆时针旋转的； （2）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x个单位长度后落在的内部，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1）A、B两点的坐标分别为； 所作如图所示； （2） 由图可知：． 【解析】 【分析】（1）根据点在坐标系中的位置，直接写出点的坐标即可，根据旋转的性质画出即可； （2）作出点C关于x轴的对称点P，利用数形结合的思想求出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由图可知：A、B两点的坐标分别为； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查坐标系下的旋转，平移和对称．熟练掌握旋转的性质，轴对称的性质，平移的性质，是解题的关键． 18. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 根据题意可得种植田的长为米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为米对求出的根进行取舍． 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米． 19. 已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1） ∵ ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2），． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，是方程的两根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 20. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3） 【解析】 【分析】（1）由点A与点B关于直线x＝﹣1对称可求得点B的坐标．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式； （2）设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S△POC＝2S△BOC列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）． 将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得： 解得：b＝2，c＝﹣3， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3． （2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）． ∴OC＝3． ∵点B的坐标为（1，0）， ∴OB＝1． 设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|． ∵S△POC＝2S△BOC， ∴OC•|a|＝OC•OB，即×3×|a|＝2××3×1，解得a＝±2． 当a＝2时，点P的坐标为（2，5）； 当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）． ∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，属于中考常考题型． 21. 如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、平行线的判定与性质、勾股定理的应用、矩形的判定与性质和垂径定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，由，则，再根据角平分线的定义得，从而有，证明进而即可求证； （2）连接交于点，连接，则可证明四边形都是矩形，设的半径为r，结合垂径定理和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， 在中，由， 可得， 解得， ∴的半径为． 22. 某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 （1）试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）； （2）玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 【答案】（1） （2）成本为10元每件，时月销售总利润最大，最大利润是4500元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）设成本为m元，根据每件利润数量总利润列方程求解；根据每件利润数量总利润建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）根据题意得到，再转化为利用二次函数图象解一元二次不等式． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为，则， ，解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设成本为m元， 由题意可得：， 解得（元）， 则， ∵， ∴当时，W有最大值，为4500元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 即， 解方程得 令， 由得抛物线开口向上 ∴当时，． 23. 已知，点F是矩形边上一点，点E在边上，，连接． （1）如图1，点F在边上，且，连接．求证：； （2）如图2，点F在边上，且，连接交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，，，则 ． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ，， ∵在和中， ， ， ， ， ， ． （2） 证明：如图2，过点C作，交于H，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∵在和中， ∴， ，， ， ， ， 又， ， ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，即可得出答案； （2）过点C作，交于H，连接，证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，根据证明，得出，，证明，即可求出，根据平行线的性质，得出； （3）设，则，，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出BE的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则，， 根据解析（2）可知，， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 24. 如图，已知点，，抛物线直线． （1）如果抛物线经过A点，求m的值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）抛物线的解析式为，顶点坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，然后求解即可； （2）抛物线l的最高点正好落在直线n上，即该抛物线的对称轴为，然后求解即可； （3）首先计算当抛物线经过点A，B时的m值，然后结合函数图像，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 得． 解得． 【小问2详解】 解：∵抛物线l的最高点正好落在直线n上， ∴该抛物线的对称轴为． 解得． ∴该抛物线的解析式为． ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为． 【小问3详解】 解：设该抛物线与线段的交点为M， 当抛物线经过点时， 由（1）可知， ． 当抛物线经过点时， 可知． 解得． ∵， 即该抛物线对称轴为， 当该抛物线的对称轴位于点M右侧时，如下图， 可有． 当该抛物线的对称轴位于点M左侧时，如下图， 可有． 综上所述，当或时，抛物线l与线段有公共点． 【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数的对称性，增减性，二次函数与方程、与不等式的关系，数形结合，是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $