精品解析：陕西省榆林高新区第二中学2025-2026学年上学期第二次月清九年级数学试题

榆林高新二中2025-2026学年第一学期第二次月清 九年级数学 建议完成时间：120分钟； 一、选择题 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：， 故选：D． 2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 3. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，由于是方程的一个根，将其代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 将代入方程得：， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 4. 如图，中，点D、E分别在线段上，，，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是理解． 【详解】解：， ，即 ， ， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 6. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键． 根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 7. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 8. 如图，二次函数的图像与x轴相交于，B两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y的值随x值的增大而减小 C. 点B的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 由图像可知，，由对称轴为直线，可得，可判断A的正误；当时，的值随值的增大而增大，可判断B的正误；由，关于对称轴对称，可得，可判断C的正误；由，可判断D的正误，进而可得答案． 【详解】解：A、由图像可知，， ∵对称轴为直线， ∴，A错误，故不符合要求； B、当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，B错误，故不符合要求； C、∵，关于对称轴对称， ∴，C错误，故不符合要求； D、∵， ∴，D正确，故符合要求． 故选：D． 二、填空题 9. 如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 10. 如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，则AC的值是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】由sinB＝得AC＝ABsinB，据此可得． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵sinB＝， ∴AC＝ABsinB＝15×＝12， 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知正弦函数的定义. 11. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设平均每年的增长率为x，根据等量关系式：2021年纳税额2023年缴税纳税额，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 12. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可． 【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E， ∴CD∥BE， ∵四边形ABCO为平行四边形， ∴ ，即，OC=AB， ∴四边形CDEB为平行四边形， ∵CD⊥OA， ∴四边形CDEB为矩形， ∴CD=BE， ∴在Rt△COD和Rt△BAE中， ， ∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL）， ∴S△OCD=S△ABE， ∵OC=AC，CD⊥OA， ∴OD=AD， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴S△OCD=S△CAD=， ∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2， ∴S△OBA=， ∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质． 13. 如图，在菱形中，，，对角线交于点O，点E是上一个动点，点F为菱形内部一点，连接，若，，则的最小值为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、最短距离问题，将问题转化为求长是解答的关键． 取中点G，连接、，证明和得到，，进而得到，当C、E、G共线时取等号，此时最小，最小值为的长，然后利用等边三角形的性质和勾股定理求得即可． 【详解】解：取中点G，连接、、，则， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； 在和中， ∴， ∴； ∴，当C、E、G共线时取等号，此时最小，最小值为的长， 在等边中，G为的中点， ∴，， ∴， 故的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：原方程化为 ∴或 ∴，． 16. 如图，已知等边，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点D即为所求作的点． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，尺规作垂线，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键．过点B作的垂线，交于点D，则点D即为所求作的点． 【详解】解：理由：∵为等边三角形，， ∴， ∵在等边中， ∴． 17. 在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】 ，，． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数定义和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由得， 由得； 由得， 综上，，，． 18. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 19. 已知函数． （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）当取何值时，随的增大而增大？ （3）当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【答案】（1）开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）当时，随的增大而增大； （3）当时，有最小值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 20. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 21. 2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点C处测得塔顶A的仰角为，沿水平方向向塔底B行走80米到达观测点D处，测得塔顶A的仰角为．已知观测点C，D与塔底B在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】约213米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意是解答的关键． 先得到，设，则，在中，利用正切定义列方程求解x值即可． 【详解】解：由题意，，，，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即米， 答：塔的高度约为213米． 22. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 23. 希望中学做了如表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：h）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 度； （2）补全周家务劳动时间的频数直方图； （3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数． 【答案】（1）人， （2） 补全周家务劳动时间的频数直方图如下： （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图 ，扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （）用周家务劳动时间在的人数除以其百分比可求出参与本次问卷调查的学生人数，进而可求出扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数； （）求出周家务劳动时间在的学生人数，再补全频数直方图即可； （）求出被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数占比即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴参与本次问卷调查的学生人数为人， ∴扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为， 故答案为：人，； 【小问2详解】 解：∵参与本次问卷调查的学生人数为人， ∴周家务劳动时间在的学生人数为， 【小问3详解】 解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为， （人）， 答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人． 24. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 【答案】（1） 证明：， ， 在和中，， ， ． （2） 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 25. 如图，直线与抛物线相交于点A和点B．将抛物线向上平移2个单位长度后的图象与y轴交于点C． （1）求点A、点B的坐标并写出抛物线平移后的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2）2 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移、二次函数与一次函数图象的交点问题、坐标与图形等知识，正确求得点A、B坐标是解答的关键． （1）联立方程组求解可得点A、B坐标；根据函数图象平移规则“上加下减”可得平移后的表达式； （2）先求得直线与y轴的交点D的坐标，再求得点C坐标，然后根据坐标与图形和三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：联立方程组， 解得，， ∴，； 将抛物线向上平移2个单位长度的抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：对于，当时，，则， 设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴，又，； ∴． 26. 【问题提出】 （1）如图1，已知的半径为1，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别是、上的点，连接，若，，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一片竹林，处有一座凉亭（大小忽略不计），现要在平面内找一点再修建一座凉亭供游客休息，沿、铺设两条地下水管方便竹林灌溉和游客饮水，并在上的点处修建一口水井，再沿铺设一条青石板小路，为节约开支，要求青石板小路的长度尽可能的小．已知，，，求青石板小路的最小值． 【答案】（1）2； （2），理由如下： ，， ，， ． ， ， ， ． （3）青石板小路的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据点与圆的位置关系即可求解； （2）由，，得到，，再根据相似三角形的判定与性质即可求解； （3）以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点，得到，求出，连接交于点，连接交于点，连接，则m，当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）依题意可知，当点在上时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：； （2）略 （3）m， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上 如图，以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点， ，， ， ， ， ， 为的直径，， ， ∴点在以为直径的圆上，记圆心为． 连接交于点，连接交于点，连接，则m， 当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合， ，， ， 在中，， ， 故青石板小路的最小值为． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林高新二中2025-2026学年第一学期第二次月清 九年级数学 建议完成时间：120分钟； 一、选择题 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 如图，中，点D、E分别在线段上，，，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 8 5. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 7. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图像与x轴相交于，B两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y的值随x值的增大而减小 C. 点B的坐标为 D. 二、填空题 9. 如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 10. 如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，则AC的值是_____． 11. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，可列方程为________． 12. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 13. 如图，在菱形中，，，对角线交于点O，点E是上一个动点，点F为菱形内部一点，连接，若，，则的最小值为__________．（结果保留根号） 三、解答题 14. 计算：． 15. 解方程：． 16. 如图，已知等边，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 17. 在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 18. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 19. 已知函数． （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）当取何值时，随的增大而增大？ （3）当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 20. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 21. 2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点C处测得塔顶A的仰角为，沿水平方向向塔底B行走80米到达观测点D处，测得塔顶A的仰角为．已知观测点C，D与塔底B在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 22. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 23. 希望中学做了如表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：h）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 度； （2）补全周家务劳动时间的频数直方图； （3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数． 24. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 25. 如图，直线与抛物线相交于点A和点B．将抛物线向上平移2个单位长度后的图象与y轴交于点C． （1）求点A、点B的坐标并写出抛物线平移后的表达式； （2）求的面积． 26. 【问题提出】 （1）如图1，已知的半径为1，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别是、上的点，连接，若，，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一片竹林，处有一座凉亭（大小忽略不计），现要在平面内找一点再修建一座凉亭供游客休息，沿、铺设两条地下水管方便竹林灌溉和游客饮水，并在上的点处修建一口水井，再沿铺设一条青石板小路，为节约开支，要求青石板小路的长度尽可能的小．已知，，，求青石板小路的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $