专题05：几何小实践（解决问题讲义）数学沪教版五年级上册

本讲义聚焦沪教版五年级数学“几何小实践”，系统梳理平行四边形、三角形、梯形的定义、性质及面积公式推导，从基本图形到组合图形，通过割补、拼合等方法构建知识脉络，形成从公式理解到实际应用的学习支架。 资料以“方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习”为特色，结合蝗虫防治、涂油漆等真实场景，培养学生几何直观与模型意识，典例与分层设计助力课中教学高效实施，课后可分层巩固查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

沪教版五年级数学上册解决问题 专题05：几何小实践 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 知识点01：平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可用符号“▱”表示； 2、性质：其两组对边分别相等、两组对角分别相等，长方形和正方形是特殊的平行四边形。 底和高的定义与画法：从平行四边形一条边上的任意一点向对边引垂线，这点和垂足间的线段是高，垂足所在的边是底，平行四边形有无数条高: 3、面积公式及推导：通过割补法可将平行四边形转化为长方形，由此推导出面积公式为S=ah（S表示面积，a表示底，h表示高）。 知识点02：三角形 1、底和高的定义与画法：从三角形的任意一个顶点向对边（钝角三角形需延长对边）作垂线，顶点到垂足的线段是高，对应的对边是底，三角形有三条高。注意点： 2、面积公式及推导：两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形，基于此推导出面积公式为S=ah÷2。 3、面积变式计算：由面积公式可推导得出底a=2S÷h，高h=2S÷a。 知识点03：梯形 1、分类与定义：只有一组对边平行的四边形是梯形。其中两腰相等的是等腰梯形，有一个角是直角的是直角梯形。 2、梯形的底、高：梯形中平行的两条边是上底和下底，两底之间的距离是高，梯形有无数条高且所有高长度相等。 3、面积公式及推导：两个完全相同的梯形可拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，高与梯形的高相等，由此推导出面积公式S=(a+b)h÷2（a为上底，b为下底）。 4、面积变式计算：由面积公式可推出上底a=2S÷h−b、下底b=2S÷h−a、高h=2S÷(a+b)。 知识点04：组合图形的面积 1、计算方法：通常用分割法或补全法，将组合图形转化为平行四边形、三角形、梯形等基础图形，再通过计算基础图形面积的和或差得到组合图形面积。 2、实际应用：常结合铺地砖、刷油漆、种菜等场景出题，需先算组合图形面积，再结合单价或单位面积用量计算总用量。 【名师点拨】 （1）用分割法时，要确保分割后的每个图形都能直接套用公式计算面积，且避免重复计算某一部分。 （2）用补全法时，要明确补成的完整图形是什么，以及需要减去的多余部分的形状，防止算错多余部分的面积。 （3）遇到刷广告牌正反两面等场景，计算完单面面积后要乘2。 （4）解决“材料够不够”这类问题时，需算出实际所需量，再与已知量对比，不能凭估算下结论。 考点1：平行四边形 【典型例题】据测算，占地1平方千米的沙漠蝗虫群中，个体数有4000万之多，一天可以吃掉近3.5万人的口粮。某地区发生蝗虫灾害，计划采用机器喷药的方式消灭蝗虫，机器喷药的方式每小时能消灭2公顷农田里的蝗虫。下面是该地区的一块农田，消灭这块农田里的蝗虫要多长时间？ 【答案】9小时 【分析】从图中可知，这块农田是一个底为450米、高为400米的平行四边形，根据“平行四边形的面积＝底×高”，求出这块农田的面积；然后根据进率“1公顷＝10000平方米”把“平方米”换算成“公顷”。 已知机器喷药的方式每小时能消灭2公顷农田里的蝗虫，用这块农田的面积除以2，即可求出消灭这块农田里的蝗虫需要的时间。 【详解】450×400＝180000（平方米） 180000平方米＝18公顷 18÷2＝9（小时） 答：消灭这块农田里的蝗虫要9小时。 【练习1】小胖用两根5cm和两根8cm的小棒，围成一个长方形后又拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底长8cm，这条底对应的高可能是（     ）。 A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 【答案】A 【分析】把一个长方形框架，拉成一个平行四边形，长方形的长是平行四边形的一组对边，宽是另一组对边，以长方形的长作为平行四边形底边的对应的高的长度小于长方形的宽的长度。如图：，这个平行四边形8cm的底所对应的高小于5cm。 【详解】A．4＜5，这个平行四边形8厘米的底所对应的高可能是4cm； B．6＞5，这个平行四边形8厘米的底所对应的高不可能是6cm； C．8＞5，这个平行四边形8厘米的底所对应的高不可能是8cm； D．9＞5，这个平行四边形8厘米的底所对应的高不可能是9cm。 故答案为：A 【练习2】某零件如图所示，它是由4个完全相同的平行四边形组成的，底是8厘米，高为3匣米，现需要在这个零件的两面都涂上油漆，如果每平方厘米用油漆0.6克，那么需要油漆多少克？ 【答案】115.2克 【分析】根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出一个平行四边形的面积，这个零件一共有4个平行四边形组成，再用一个平行四边形的面积×4，求出这个零件的一面的面积，再×2，求出这个零件两面的面积，涂上油漆，每平方厘米用油漆0.6克，再用这个零件两面的面积×0.6，即可解答。 【详解】8×3×4×2×0.6 ＝24×4×2×0.6 ＝96×2×0.6 ＝192×0.6 ＝115.2（克） 答：需要油漆115.2克。 考点2：三角形 【典型例题】一块三角形草地的面积是60平方米，它的一条边长15米，这条边相应的高是多少米？ 【答案】8米 【分析】由三角形的面积S＝ah可得：h＝2S÷a，据此代入数据即可求解。 【详解】60×2÷15 ＝120÷15 ＝8（米） 答：这条边相应的高是8米。 【练习1】一块长2米，宽1.5米的长方形纸，能裁出多少个两条直角边分别为4分米和3分米的直角三角形？ 【答案】50个 【分析】一张长2米，宽1.5米的长方形纸，要剪成两条直角边分别为4分米和3分米的直角三角形，可先求出能剪成多少个长4分米，宽3分米的长方形，然后再求可剪多少个三角形；据此解答。 【详解】2米＝20分米，1.5米＝15分米 （20÷4）×（15÷3）×2 ＝5×5×2 ＝25×2 ＝50（个） 答：能裁出50个两条直角边分别为4分米和3分米的直角三角形。 【练习2】一块三角形菜地，底是24m，高是16m，如果底增加6m，高增加3m，那么三角形菜地的面积将增加多少平方米？ 【答案】93平方米 【分析】变化后三角形的底为（24＋6）米，高为（16＋3）米，再根据“三角形的面积＝底×高÷2”分别求出变化前后的面积，再进一步解答即可。 【详解】（24＋6）×（16＋3）÷2－24×16÷2 ＝285－192 ＝93（m2） 答：三角形菜地的面积将增加93平方米。 考点3：梯形 【典型例题】一堆钢管堆成截面为梯形的形状，最上层12根，最下层28根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共有（ ）根。 【答案】340 【分析】相邻两层相差1根，那么用最下层的28根减去最上层的12根再加1，可以求出这堆钢管有几层，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式求出这堆钢管一共多少根。 【详解】28－12＋1 ＝16＋1 ＝17（层） （12＋28）×17÷2 ＝40×17÷2 ＝680÷2 ＝340（根） 一堆钢管堆成截面为梯形的形状，最上层12根，最下层28根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共有340根。 【练习1】如图，王大妈用20m长的栅栏在墙边围出一块梯形的地用来养鸡，这块养鸡的地方面积有多大？ 【答案】42平方米 【分析】观察图形可知，养鸡地有一面靠墙，梯形的高是6米，用20m减去6米，剩下的就是梯形的上底与下底的和，根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2。代入数据，即可解答。 【详解】（20－6）×6÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42（m2） 答：这块养鸡地方面积有42平方米。 【练习2】一条水渠的横截面是一个梯形，它的面积是1.52m2，深是0.8m，下底宽1.4m，那么上底宽是多少米？ 【答案】2.4m 【分析】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答即可。 【详解】1.52×2÷0.8－1.4 ＝3.8－1.4 ＝2.4（m） 答：上底宽是2.4米。 考点4：组合图形的面积 【典型例题】一个零件的横切面如下图。需要在这个零件的横切面上按照每平方厘米5克的标准涂颜料，共需要多少千克颜料？ 【答案】0.58千克 【分析】看图，这个零件的面积等于大长方形的面积减去缺口处梯形的面积。长方形面积＝长×宽，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数据代入公式，分别求出长方形和梯形的面积，再利用减法求出零件的面积。将零件的面积乘5，求出需要多少克的颜料，合多少千克的颜料。 【详解】15－4×2 ＝15－8 ＝7（厘米） 15×10－（7＋10）×4÷2 ＝150－17×2 ＝150－34 ＝116（平方厘米） 116×5＝580（克）＝0.58（千克） 答：共需要0.58千克颜料。 【练习1】如图，一块形状不规则的草坪（图色部分），如果每平方米的草坪需要施肥0.4千克，这块草坪需要施肥多少千克？（单位是：米） 【答案】1920千克 【分析】观察图形可知，草坪的面积等于长是100米，宽是72米的长方形面积，减去底是60米，高是80米的三角形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出这块草坪的面积，再乘0.4，即可解答。 【详解】100×72－60×80÷2 ＝7200－4800÷2 ＝7200－2400 ＝4800（平方米） 4800×0.4＝1920（千克） 答：这块草坪需要施肥1920千克。 【练习2】欣欣用积木搭成的组合图形如图，求这个组合图形的面积是（     ）。 A．8平方厘米 B．9平方厘米 C．14平方厘米 D．15平方厘米 【答案】D 【分析】把这个组合图形分割成三角形和平行四边形，根据三角形的面积公式S＝ah÷2和平行四边形的面积公式S＝ah，将相关数据代入求解即可。 【详解】三角形的面积：6×1÷2 ＝6÷2 ＝3（平方厘米） 平行四边形的面积：6×2＝12（平方厘米） 组合图形的面积：3＋12＝15（平方厘米） 故答案为：D 夯实基础 1．用四根硬纸条钉成一个长方形，然后用两手捏住长方形的两个对角向相反方向拉，就变成了一个平行四边形（如下图）。那么这个平行四边形的高与原长方形的宽相比（     ）。 A．变长了 B．变短了 C．相等 【答案】B 【分析】根据题意可知，把这个长方形拉成平行四边形，四个边的长度没变；但是它的高变短了，由此解答即可。 【详解】由分析可知，这个平行四边形的高与原长方形的宽相比，变短了。 故答案为：B。 2．把一张长方形纸片任意分割成两个梯形，得到的两个梯形中（     ）总是相等。 A．面积 B．高 C．上底 【答案】B 【分析】长方形有4条边，对边平行且相等，4个角，都是直角；把一个长方形任意分割成两个梯形后，两个梯形的高还等于原长方形的长或宽；据此可知，把一个长方形分成两个梯形，无论怎样分割成两个梯形，它们的高都是相等的，可能都等于原长方形的长，也可能都等于原长方形的宽，由此可选出正确答案。 【详解】根据分析可知，把一张长方形纸片任意分割成两个梯形，得到的两个梯形中高总是相等的。 故答案为：B 3．在钉子板上围一个多边形，如果多边形边上的钉子共12枚。多边形中间的钉子是一枚，围成的多边形面积是（     ）平方厘米。（每相邻两枚钉子之间都是1厘米） A．5 B．6 C．7 【答案】B 【分析】钉子板上的多边形的面积＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数，以此代数解答。 【详解】12÷2＋（1－1） ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 在钉子板上围一个多边形，如果多边形边上的钉子共12枚。多边形中间的钉子是一枚，围成的多边形面积是6平方厘米。 故答案为：B 4．下面是一块长方形草地，草地中间铺了一条平行四边形的石子路，种草部分的面积是（     ）平方米。 A．32 B．128 C．140 【答案】B 【分析】种草部分的面积＝长方形面积－平行四边形的面积，据此列式计算。 【详解】16×10－16×2 ＝160－32 ＝128（平方米） 故答案为：B 5．一块平行四边形草地，如图（单位：米），这块草地的面积是（ ）平方米。 【答案】42 【分析】从图中可知，这个平行四边形草地的底6米对应的高是7米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，求出这个草地的面积。 【详解】6×7＝42（平方米） 这块草地的面积是42平方米。 6．伸缩门做成平行四边形是利用了平行四边形的（ ），把自行车的车架做成三角形是利用了三角形的（ ）。 【答案】 不稳定性 稳定性 【分析】平行四边形易变形，具有不稳定性，三角形不易变形，具有稳定性，这两种特性在人们的生产生活中有很多应用，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，伸缩门做成平行四边形是利用了平行四边形的不稳定性，把自行车的车架做成三角形是利用了三角形的稳定性。 7．一个梯形，如果上底增加3厘米，下底减少3厘米，就成为一个边长是6厘米的正方形。这个梯形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】36 【分析】如图所示，梯形的上底为（6－3＝3）厘米，下底为（6＋3＝9）厘米，高为6厘米，利用梯形的面积公式即可求解。 【详解】梯形的上底：6－3＝3（厘米） 梯形的下底：6＋3＝9（厘米） 梯形的面积： （3＋9）×6÷2 ＝12×6÷2 ＝72÷2 ＝36（平方厘米） 这个梯形的面积是36平方厘米。 8．有两个完全相同的直角三角形，三条边长分别为6cm、8cm和10cm，用它们可以拼出（ ）种不同的平行四边形，这个三角形斜边上的高是（ ）cm。 【答案】 3 4.8 【分析】由于两个完全相同的直角三角形三条边分别是6cm、8cm、10cm，即三条边长度不同，因此可以分别用三条边作公共边来拼，这样可以拼出3种不同的平行四边形； 根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，用直角三角形两条直角边做为底和高，求出这个三角形的面积，再利用高＝面积×2÷底，即可求出斜边商的高的长度。 【详解】根据分析可知，可以拼出3种不同的平行四边形； 6×8÷2×2÷10 ＝48÷2×2÷10 ＝24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（cm） 有两个完全相同的直角三角形，三条边长分别为6cm、8cm和10cm，用它们可以拼出3种不同的平行四边形，这个三角形斜边上的高是4.8cm。 9．一个梯形的面积是150平方分米，上、下底之和是60分米，那么梯形的高是（ ）分米。 【答案】5 【分析】根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，高＝面积×2÷（上底＋下底），代入数据，即可解答。 【详解】150×2÷60 ＝300÷60 ＝5（分米） 一个梯形的面积是150平方分米，上、下底之和是60分米，那么梯形的高是5分米。 10．一个三角形的底长4.8分米，对应的高是5分米，面积是（ ）平方分米；一个三角形的面积是0.32平方米，底边上的高是5分米，这条底边的长是（ ）分米。 【答案】 12 12.8 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，底＝面积×2÷高，1平方米＝100平方分米，高级单位转化成低级单位乘进率，据此解答即可。 【详解】4.8×5÷2 ＝24÷2 ＝12（平方分米） 0.32平方米＝32平方分米 32×2÷5 ＝64÷5 ＝12.8（分米） 则一个三角形的底长4.8分米，对应的高是5分米，面积是12平方分米；一个三角形的面积是0.32平方米，底边上的高是5分米，这条底边的长是12.8分米。 11．一个直角梯形的一个底是5厘米，如果把它的另一个底减少2厘米，这个梯形就变成了一个正方形，这个梯形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】30 【分析】直角梯形中，如果把它的另一个底减少2厘米，这个梯形就变成了一个正方形，可得出它的上底比下底少2厘米，且梯形的高是上底长，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此可得出答案。 【详解】直角梯形的另一个底减少2厘米，这个梯形就变成了一个正方形，则这个梯形的下底为7厘米，高也为5厘米，上底为5厘米，则面积为： （平方厘米） 12．梯形的上底是6米，下底是10米，高是9米，如果从梯形中剪去一个尽可能大的平行四边形，剩下的图形是一个（ ），面积是（ ）平方米。 【答案】 三角形 18 【分析】要想在这个梯形中剪去一个最大的平行四边形，必须把梯形的上底作为平行四边形的底进行剪切，剩下的部分是一个底为（10－6）米，高是9米的三角形，再根据三角形面积公式：底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】（10－6）×9÷2 ＝4×9÷2 ＝36÷2 ＝18（平方米） 梯形的上底是6米，下底是10米，如果从梯形中剪去一个尽可能大的平行四边形，剩下的图形是一个三角形，面积是18平方米。 13．一个三角形与一个平行四边形面积相等，高也相等，如果平行四边形的底是10dm，那么三角形的底是（ ）dm。 【答案】20 【分析】等面积等高时，三角形的底是平行四边形的2倍，据此解答即可。 【详解】10×2＝20（分米） 14．三角形的底扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则面积扩大到原来的（ ）倍。 【答案】6 【分析】假设三角形的底为2a，高为b，根据“三角形的面积＝底×高÷2”分别求出变化前后的面积，再进一步解答即可。 【详解】假设三角形的底为2a，高为b； 原来面积：2a×b÷2＝ab； （2a×2）×（b×3）÷2 ＝4a×3b÷2 ＝6ab； 6ab÷ab＝6。 15．用两条宽是6cm的长方形透明色带叠成一个四条边都相等的平行四边形，且周长是30cm，那么这个平行四边形的面积是（ ）cm²。 【答案】45 【分析】由于平行四边形的周长是30厘米，由此即可求出平行四边形的底和斜边的和：30÷2＝15厘米，由于这个平行四边形的高是长方形的宽，如图所示，则平行四边形的高是6厘米，根据平行四边形的面积公式：底×高，由于平行四边形的底乘底边上的高是平行四边形的面积，平行四边形的斜边乘斜边上的高也是平行四边形的面积，即底×高＋斜边×斜边上的高＝2倍平行四边形的面积，求出之后再除以2即可求出一个平行四边形的面积。 【详解】如图所示： 30÷2＝15（厘米） 15×6÷2 ＝90÷2 ＝45（平方厘米） 16．小红用细木条钉一个平行四边形框，相邻两条边的长度分别是20厘米和12厘米。拉动平四边形的框架，使平行四边形的一条高为15厘米时，此时，平行四边形的面积是（ ）平方厘米。拉成长方形框时，长方形的周长是（ ）厘米，长方形框的面积比原来平行四边形框的面积（ ）。（填“大”或“小”） 【答案】 180 64 大 【分析】使平行四边形的一条高为15厘米时，此时，平行四边形的底只能是12厘米。根据平行四边形的面积＝底×高，计算即可。 平行四边拉成长方形后的周长是不变的； 长方形的长就是平行四边形的底，而长方形的宽大于平行四边形的高，所以面积变大。 【详解】15×12＝180（平方厘米） （20＋12）×2 ＝32×2 ＝64（平方厘米） 平行四边形的面积是180平方厘米。拉成长方形框时，长方形的周长是64厘米，长方形框的面积比原来平行四边形框的面积大。 培优拔高 17．有一块平行四边形的花圃，底是40.5米，高是18米，一平方米花圃每个月需要养护费80元，这块花圃一个月需要多少元养护费？ 【答案】58320元 【分析】根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出这个花圃的面积，再乘80，即可求出这块花圃一个月需要的养护费。 【详解】40.5×18×80 ＝729×80 ＝58320（元） 答：这个花圃一个月需要58320元养护费。 18．如图，用45米长的护栏围出一块梯形绿化带，求这个梯形的面积。 【答案】148平方米 【分析】根据题意，利用梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2计算梯形绿化带的面积，可用护栏的全长减去8米就是这个梯形绿化带的上底与下底的和，然后再用上底与下底的和乘高再除以2即可得到答案。 【详解】（45－8）×8÷2 ＝37×8÷2 ＝296÷2 ＝148（平方米） 答：这个梯形的面积是148平方米。 19．学校阶梯教室共14排，第一排9个座位，以后逐排增加一个座位，这个阶梯教室共有多少个座位？ 【答案】217个 【分析】本题中，要求这个教室一共设置了多少个座位，需要先求得最后一排有多少个座位．由题意知，第14排的座位数是：9＋（14－1）×1＝22，那么剧场一共设置的座位数是：（9＋22）×14÷2；即可得解。 【详解】第14排有座位： 9＋（14－1）×1 ＝9＋13 ＝22（个） 这个教室共有座位： （9＋22）×14÷2 ＝31×14÷2 ＝434÷2 ＝217（个） 答：这个阶梯教室共有217个座位。 20．一块梯形铁板，面积750平方厘米，上底长15厘米，下底长35厘米，高是多少厘米？ 【答案】30厘米 【分析】根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，高＝面积×2÷（上底＋下底），代入数据，即可解答。 【详解】750×2÷（15＋35） ＝1500÷50 ＝30（厘米） 答：高是30厘米。 21．如图，一个平行四边形被分成一个三角形和一个梯形，梯形的上底是12分米，三角形的底是8分米。 （1）如果梯形的面积为48平方分米，求梯形的高。 （2）如果梯形的面积比三角形的面积大48平方分米，求平行四边形的面积。 【答案】（1）6分米（2）144平方分米 【分析】（1）平行四边形的对边相等，则图中梯形的下底是12－8＝4（分米）。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此用梯形的面积乘2，再除以上底、下底之和即可求出梯形的高。 （2）如下图所示，阴影三角形和空白三角形等底等高，面积相等，则梯形的面积比三角形大的部分是一个底为4分米的小平行四边形，面积是48平方分米。平行四边形的面积＝底×高，则小平行四边形的高＝面积÷底，据此代入数据求出它的高，也是大平行四边形的高，再根据公式求出平行四边形的面积。 【详解】（1）12－8＝4（分米） 48×2÷（12＋4） ＝96÷16 ＝6（分米） 答：梯形的高是6分米。 （2）48÷4＝12（分米） 12×12＝144（平方分米） 答：平行四边形的面积是144平方分米。 22．下图是剧院的一面墙。如果砌这面墙每平方米用砖185块，一共需要多少块砖？   【答案】4255块 【分析】观察图形可知，这面墙的总面积为三角形的面积与长方形的面积之和，先利用三角形和长方形的面积公式代入数据求出这面墙的总面积，然后乘185，即可得解。 【详解】（5×1.2÷2＋5×4）×185 ＝（3＋20）×185 ＝23×185 ＝4255（块） 答：一共需要4255块砖。 思维拓展 23．下图是由一个大正方形和一个小正方形拼成的，已知小正方形的边长是2厘米，阴影部分的面积是12平方厘米，求空白部分的面积。 【答案】92平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分分成两个三角形，一个底等于小正方形边长，高等于小正方形边长的三角形面积和一个是底等于大正方形的边长，高等于小正方形边长的三角形面积；已知阴影部分是12平方厘米，进而求出大正方形的边长，再根据正方形面积公式：边长×边长，代入数据，求出大、小正方形的面积，再用大、小正方形的面积相加，减去阴影部分的面积，即可解答。 【详解】（12－2×2÷2）×2÷2 ＝（12－4÷2）×2÷2 ＝（12－2）×2÷2 ＝10×2÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 10×10＋2×2－12 ＝100＋4－12 ＝104－12 ＝92（平方厘米） 答：空白部分面积是92平方厘米。 24．一个直角梯形，如果把上底延长5cm，下底延长2cm，高不变，面积就增加了28cm2，而且变成一个正方形，求原来直角梯形的面积。 【答案】36cm2 【分析】一个直角梯形，如果把上底延长5cm，下底延长2cm，高不变，面积就增加了28cm2，而且变成一个正方形，说明增加部分是一个上底为2厘米，下底为5厘米，高不变的直角梯形，再根据高＝梯形面积×2÷（上底＋下底）求出高，也就是拼成正方形的边长，再根据梯形的面积公式，求原来的梯形面积。 【详解】28×2÷（5＋2） ＝56÷7 ＝8（cm） （8－5＋8－2）×8÷2 ＝72÷2 ＝36（cm2） 答：原来直角梯形的面积是36平方厘米。 25．如图，三角形ABC的面积是180cm2，BE＝2AE，CF＝2AF，三角形甲、乙、丙的面积各是多少平方厘米？ 【答案】甲20cm2；乙40cm2；丙120cm2 【分析】根据图可知，三角形甲和乙如果分别以AF和FC为底边，则这两个三角形的高相等，由于CF＝2AF，由此即可知道乙三角形是甲三角形的2倍，△AEC和三角形丙分别以AE和BE为三角形的底，这两个三角形的高相等，由于BE＝2AE，所以三角形丙的面积等于2倍三角AEC的面积，假设三角形AEC的面积是1份，则三角形丙的面积是2份，由此即可求出三角形AEC的面积：180÷（2＋1）＝60（平方厘米）；即丙的面积：60×2＝120平方厘米，由于甲＋乙＝60平方厘米，甲相当于1份，乙相当于2份，则甲的面积：60÷（2＋1）＝20平方厘米，乙的面积：20×2＝40平方厘米。 【详解】180÷（2＋1）＝60（cm2）， 甲：60÷（2＋1）＝20（cm2）， 乙：20×2＝40（cm2）， 丙：60×2＝120（cm2） 答：三角形甲的面积是20平方厘米，乙的面积是40平方厘米，丙的面积是120平方厘米。 26．如图，将一个面积是90cm2的直角梯形ABCD分成甲、乙两个三角形，使得乙的面积是甲面积的1.5倍。 （1）三角形甲的面积是多少？ （2）如果AB＝8cm，那么梯形的高BC和下底CD的长各是多少厘米？ 【答案】（1）36cm2 （2）BC长9cm；CD长12cm 【分析】（1）由题意知：以三角形甲为基准量，乙是甲的1.5倍，甲乙的面积和相当于甲的2.5倍，用90除以2.5，即可得三角形甲的面积。 （2）三角形甲的面积已求得，用面积乘2除以8，可得三角形的高，也就是梯形的高，再用梯形面积公式的推导公式，即梯形的下底等于面积乘2除以高减上底，即可求得下底。 【详解】（1）90÷（1＋1.5） ＝90÷2.5 ＝36（cm2） 答：三角形甲的面积是36平方厘米。 （2）BC＝36×2÷8 ＝72÷8 ＝9（cm） CD＝90×2÷9－8 ＝180÷9－8 ＝20－8 ＝12（cm） 答：梯形的高BC是9厘米，下底是12厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版五年级数学上册解决问题 专题05：几何小实践 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 知识点01：平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可用符号“▱”表示； 2、性质：其两组对边分别相等、两组对角分别相等，长方形和正方形是特殊的平行四边形。 底和高的定义与画法：从平行四边形一条边上的任意一点向对边引垂线，这点和垂足间的线段是高，垂足所在的边是底，平行四边形有无数条高: 3、面积公式及推导：通过割补法可将平行四边形转化为长方形，由此推导出面积公式为S=ah（S表示面积，a表示底，h表示高）。 知识点02：三角形 1、底和高的定义与画法：从三角形的任意一个顶点向对边（钝角三角形需延长对边）作垂线，顶点到垂足的线段是高，对应的对边是底，三角形有三条高。注意点： 2、面积公式及推导：两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形，基于此推导出面积公式为S=ah÷2。 3、面积变式计算：由面积公式可推导得出底a=2S÷h，高h=2S÷a。 知识点03：梯形 1、分类与定义：只有一组对边平行的四边形是梯形。其中两腰相等的是等腰梯形，有一个角是直角的是直角梯形。 2、梯形的底、高：梯形中平行的两条边是上底和下底，两底之间的距离是高，梯形有无数条高且所有高长度相等。 3、面积公式及推导：两个完全相同的梯形可拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，高与梯形的高相等，由此推导出面积公式S=(a+b)h÷2（a为上底，b为下底）。 4、面积变式计算：由面积公式可推出上底a=2S÷h−b、下底b=2S÷h−a、高h=2S÷(a+b)。 知识点04：组合图形的面积 1、计算方法：通常用分割法或补全法，将组合图形转化为平行四边形、三角形、梯形等基础图形，再通过计算基础图形面积的和或差得到组合图形面积。 2、实际应用：常结合铺地砖、刷油漆、种菜等场景出题，需先算组合图形面积，再结合单价或单位面积用量计算总用量。 【名师点拨】 （1）用分割法时，要确保分割后的每个图形都能直接套用公式计算面积，且避免重复计算某一部分。 （2）用补全法时，要明确补成的完整图形是什么，以及需要减去的多余部分的形状，防止算错多余部分的面积。 （3）遇到刷广告牌正反两面等场景，计算完单面面积后要乘2。 （4）解决“材料够不够”这类问题时，需算出实际所需量，再与已知量对比，不能凭估算下结论。 考点1：平行四边形 【典型例题】据测算，占地1平方千米的沙漠蝗虫群中，个体数有4000万之多，一天可以吃掉近3.5万人的口粮。某地区发生蝗虫灾害，计划采用机器喷药的方式消灭蝗虫，机器喷药的方式每小时能消灭2公顷农田里的蝗虫。下面是该地区的一块农田，消灭这块农田里的蝗虫要多长时间？ 【练习1】小胖用两根5cm和两根8cm的小棒，围成一个长方形后又拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底长8cm，这条底对应的高可能是（     ）。 A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 【练习2】某零件如图所示，它是由4个完全相同的平行四边形组成的，底是8厘米，高为3匣米，现需要在这个零件的两面都涂上油漆，如果每平方厘米用油漆0.6克，那么需要油漆多少克？ 考点2：三角形 【典型例题】一块三角形草地的面积是60平方米，它的一条边长15米，这条边相应的高是多少米？ 【练习1】一块长2米，宽1.5米的长方形纸，能裁出多少个两条直角边分别为4分米和3分米的直角三角形？ 【练习2】一块三角形菜地，底是24m，高是16m，如果底增加6m，高增加3m，那么三角形菜地的面积将增加多少平方米？ 考点3：梯形 【典型例题】一堆钢管堆成截面为梯形的形状，最上层12根，最下层28根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共有（ ）根。 【练习1】如图，王大妈用20m长的栅栏在墙边围出一块梯形的地用来养鸡，这块养鸡的地方面积有多大？ 【练习2】一条水渠的横截面是一个梯形，它的面积是1.52m2，深是0.8m，下底宽1.4m，那么上底宽是多少米？ 考点4：组合图形的面积 【典型例题】一个零件的横切面如下图。需要在这个零件的横切面上按照每平方厘米5克的标准涂颜料，共需要多少千克颜料？ 【练习1】如图，一块形状不规则的草坪（图色部分），如果每平方米的草坪需要施肥0.4千克，这块草坪需要施肥多少千克？（单位是：米） 【练习2】欣欣用积木搭成的组合图形如图，求这个组合图形的面积是（     ）。 A．8平方厘米 B．9平方厘米 C．14平方厘米 D．15平方厘米 夯实基础 1．用四根硬纸条钉成一个长方形，然后用两手捏住长方形的两个对角向相反方向拉，就变成了一个平行四边形（如下图）。那么这个平行四边形的高与原长方形的宽相比（     ）。 A．变长了 B．变短了 C．相等 2．把一张长方形纸片任意分割成两个梯形，得到的两个梯形中（     ）总是相等。 A．面积 B．高 C．上底 3．在钉子板上围一个多边形，如果多边形边上的钉子共12枚。多边形中间的钉子是一枚，围成的多边形面积是（     ）平方厘米。（每相邻两枚钉子之间都是1厘米） A．5 B．6 C．7 4．下面是一块长方形草地，草地中间铺了一条平行四边形的石子路，种草部分的面积是（     ）平方米。 A．32 B．128 C．140 5．一块平行四边形草地，如图（单位：米），这块草地的面积是（ ）平方米。 6．伸缩门做成平行四边形是利用了平行四边形的（ ），把自行车的车架做成三角形是利用了三角形的（ ）。 7．一个梯形，如果上底增加3厘米，下底减少3厘米，就成为一个边长是6厘米的正方形。这个梯形的面积是（ ）平方厘米。 8．有两个完全相同的直角三角形，三条边长分别为6cm、8cm和10cm，用它们可以拼出（ ）种不同的平行四边形，这个三角形斜边上的高是（ ）cm。 9．一个梯形的面积是150平方分米，上、下底之和是60分米，那么梯形的高是（ ）分米。 10．一个三角形的底长4.8分米，对应的高是5分米，面积是（ ）平方分米；一个三角形的面积是0.32平方米，底边上的高是5分米，这条底边的长是（ ）分米。 11．一个直角梯形的一个底是5厘米，如果把它的另一个底减少2厘米，这个梯形就变成了一个正方形，这个梯形的面积是（ ）平方厘米。 12．梯形的上底是6米，下底是10米，高是9米，如果从梯形中剪去一个尽可能大的平行四边形，剩下的图形是一个（ ），面积是（ ）平方米。 13．一个三角形与一个平行四边形面积相等，高也相等，如果平行四边形的底是10dm，那么三角形的底是（ ）dm。 14．三角形的底扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则面积扩大到原来的（ ）倍。 15．用两条宽是6cm的长方形透明色带叠成一个四条边都相等的平行四边形，且周长是30cm，那么这个平行四边形的面积是（ ）cm²。 16．小红用细木条钉一个平行四边形框，相邻两条边的长度分别是20厘米和12厘米。拉动平四边形的框架，使平行四边形的一条高为15厘米时，此时，平行四边形的面积是（ ）平方厘米。拉成长方形框时，长方形的周长是（ ）厘米，长方形框的面积比原来平行四边形框的面积（ ）。（填“大”或“小”） 培优拔高 17．有一块平行四边形的花圃，底是40.5米，高是18米，一平方米花圃每个月需要养护费80元，这块花圃一个月需要多少元养护费？ 18．如图，用45米长的护栏围出一块梯形绿化带，求这个梯形的面积。 19．学校阶梯教室共14排，第一排9个座位，以后逐排增加一个座位，这个阶梯教室共有多少个座位？ 20．一块梯形铁板，面积750平方厘米，上底长15厘米，下底长35厘米，高是多少厘米？ 21．如图，一个平行四边形被分成一个三角形和一个梯形，梯形的上底是12分米，三角形的底是8分米。 （1）如果梯形的面积为48平方分米，求梯形的高。 （2）如果梯形的面积比三角形的面积大48平方分米，求平行四边形的面积。 22．下图是剧院的一面墙。如果砌这面墙每平方米用砖185块，一共需要多少块砖？   思维拓展 23．下图是由一个大正方形和一个小正方形拼成的，已知小正方形的边长是2厘米，阴影部分的面积是12平方厘米，求空白部分的面积。 24．一个直角梯形，如果把上底延长5cm，下底延长2cm，高不变，面积就增加了28cm2，而且变成一个正方形，求原来直角梯形的面积。 25．如图，三角形ABC的面积是180cm2，BE＝2AE，CF＝2AF，三角形甲、乙、丙的面积各是多少平方厘米？ 26．如图，将一个面积是90cm2的直角梯形ABCD分成甲、乙两个三角形，使得乙的面积是甲面积的1.5倍。 （1）三角形甲的面积是多少？ （2）如果AB＝8cm，那么梯形的高BC和下底CD的长各是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $