第五单元 专题01：几何小实践（计算专项）数学沪教版五年级上册

数学沪教版五年级上册第五单元：几何小实践 专题01：几何小实践（计算专项） 知识点01：平行四边形的面积 1、面积公式推导：通过“割补法”将平行四边形沿高剪开，平移后拼成一个等底等高的长方形，长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高，因此平行四边形面积=底×高。 2、面积公式：平行四边形面积=底×高 用字母表示为S=a×h（S表示面积，a表示底，h表示对应底的高）。 3、高的定义与画法：从平行四边形一条边（底）上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足之间的线段就是平行四边形的高，一个平行四边形有无数条高，且对应不同的底，高的长度不同 【名师点拨】 （1）底与高必须“对应”：计算面积时，高必须是对应底边上的高，可通过“高与底垂直”的特征验证对应关系。 （2）公式逆用需准确： ①已知面积和底求高时，用h=S÷a； ②已知面积和高求底时，用a=S÷h。 知识点02：三角形的面积 1、面积公式推导：用两个完全相同的三角形可拼成一个等底等高的平行四边形，三角形的面 =拼成的平行四边形面积÷2，因此三角形面积=底×高÷2。 2、面积公式：三角形面积=底×高÷2 用字母表示为S=a×h÷2（a为底，h为对应底的高）。 3、高的特殊性：三角形有三条底，每条底对应一条高（从对应底的对角顶点向底作垂线，垂线段即为高），三条高的交点为三角形的垂心，直角三角形的两条直角边可分别作为底和对应高。 【名师点拨】 （1）公式中“÷2”不可遗漏：这是三角形面积与平行四边形面积的核心区别，若忘记除以 2，会导致结果为实际面积的2倍，可通过“两个三角形拼平行四边形”的推导过程强化记忆。 （2）三角形的高必须是 “对应底的对角顶点到该底的垂线段”，可通过画图辅助判断高的对应底。 （3）直角三角形的高需灵活识别：直角三角形的两条直角边互相垂直，因此若以一条直角边为底，另一条直角边就是对应高，无需额外画高。 （4）面积逆推时“先乘2”： ①已知面积和底求高，需先将面积乘2，再除以底（h=2S÷a）； ②已知面积和高求底，a=2S÷h。 知识点03：梯形的面积 1、面积公式推导：用两个完全相同的梯形可拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底= 梯形的上底+下底，高=梯形的高，梯形的面积=拼成的平行四边形面积÷2，因此梯形面积=（上底+下底）×高÷2。 2、面积公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2 用字母表示为S=(a+b)×h÷2（a为上底，b为下底，h为高）。 3、高的定义：梯形的高是上底和下底之间的垂线段长度，梯形有无数条高，且所有高的长度相等（上底和下底平行，平行线间距离处处相等）。 【名师点拨】 （1）区分“上底”与“下底”：上底和下底是梯形中平行的两条边，通常将较短的边叫上底、较长的边叫下底，但本质是“平行的两条边”，与位置无关（如倒置的梯形，原 “下底” 可能在上方），计算时只需确认两条平行边，无需严格区分“上下”，避免因位置混淆导致数据代入错误。 （2）高是“两底之间的垂线段”：高必须垂直于上底和下底，避免将腰长当作高，可通过“画垂线段”确认高的长度。 （3）直角梯形的一条腰与两底垂直，这条腰就是梯形的高，可直接用腰长作为高代入公式。 知识点04：组合图形的面积 1、定义：组合图形是由平行四边形、三角形、梯形等基本图形组合而成的图形。 2、计算面积的核心思路 ①拆分法：将组合图形拆成几个基本图形，分别计算面积后相加； ② 拼接法（补全法）：将组合图形补成一个完整的基本图形，用完整图形面积减去补全部分的面积。 3、常见组合类型：“基本图形叠加”（如三角形+平行四边形）、“基本图形挖空”（如长方形中挖去一个三角形）、“多图形拼接”（如梯形+三角形+平行四边形），需根据图形特征选择合适的计算思路。 【名师点拨】 （1）拆分时，基本图形之间不能有重叠部分（否则面积会重复计算），也不能遗漏组合图形的某一部分（否则面积会少算），可通过“标注拆分线条”确认拆分是否完整。 （2）拆分后，需为每个基本图形找到对应的底、高、边长等数据，避免数据混淆。 （3）优先选择“简便拆分方式”：同一组合图形可能有多种拆分方法，需选择计算步骤少、数据易获取的方式（如“长方形+三角形”比“梯形+平行四边形”更简便），避免复杂拆分导致计算错误（如拆分出多个图形，增加累加步骤）。 （4）补全法需“明确补全部分”：用补全法时，需清晰确定“补成的完整图形”和“补全的小图形”，计算时需准确求出补全部分的面积，避免漏减或错减。 题型01：平行四边形的面积 【典型例题1】计算下面平行四边形的面积。 【答案】12平方厘米；60平方厘米；90平方厘米 【分析】根据平行四边形面积公式：底×高，代入数据，即可解答。 【详解】4×3＝12（平方厘米） 15×4＝60（平方厘米） 5×18＝90（平方厘米） 【典型例题2】根据表中平行四边形的数据填空。（单位：厘米） 底 20 ( ) 4.5 1.8 高 14 12 ( ) 1.9 面积 ( ) 312 36 ( ) 【答案】 26 8 280 3.42 【分析】平行四边形的面积＝底×高，平行四边形的面积÷底＝高，平行四边形的面积÷高＝底，据此解答。 【详解】20×14＝280 312÷12＝26 36÷4.5＝8 1.8×1.9＝3.42 底 20 26 4.5 1.8 高 14 12 8 1.9 面积 280 312 36 3.42 【跟踪训练1】一个平行四边形的底是8.2分米，高是5分米，它的面积是( )平方分米。 【答案】41 【分析】根据平行四边形面积公式：底×高，代入数据，即可解答。 【详解】8.2×5＝41（平方厘米） 【跟踪训练2】一个平行四边形的面积是1.8平方米，高是0.6米，它的底是( )米。 【答案】3 【分析】平行四边形的面积＝底×高，据此用面积除以高即可求出它的底。 【详解】1.8÷0.6＝3（米） 【跟踪训练3】计算下面平行四边形的面积。（单位：厘米） 【答案】64.6平方厘米；16.1平方厘米 【分析】第一个图形，根据平行四边形的面积公式：底×高，底是7厘米；高是9.2厘米，代入数据，即可解答。 第二个图形，底是4.6，高是3.5厘米，根据平行四边形面积公式：底×高，代入数据，求出面积。 【详解】7×9.2＝64.4（平方厘米） 4.6×3.5＝16.1（平方厘米） 题型02：三角形的面积 【典型例题1】如图，求下面三角形的面积。（单位：cm） （1）        （2）        （3） 【答案】21cm2；30cm2；54cm2 【分析】根据“三角形的面积＝底×高÷2”进行解答即可。 【详解】（1）7×6÷2 ＝42÷2 ＝21（cm2）；         （2）12×5÷2 ＝60÷2 ＝30（cm2）     （3）12×9÷2 ＝108÷2 ＝54（cm2） 【典型例题2】填表。 底（cm） 18 ( ) 4.2 1.6 高（cm） ( ) 1.25 ( ) 2.5 三角形面积（） 135 2.5 16.8 ( ) 【答案】 4 15 8 2 【分析】根据三角形面积公式进行解答，三角形面积＝底×高÷2。 【详解】2.5×2÷1.25 ＝5÷1.25 ＝4（cm） 135×2÷18 ＝270÷18 ＝15（cm） 16.8×2÷4.2 ＝33.6÷4.2 ＝8（cm） 1.6×2.5÷2 ＝4÷2 ＝2（cm2） 【跟踪训练1】一个直角三角形的面积是36cm2，一条直角边长9cm，它的另一条直角边长( )cm。 【答案】8 【分析】因为直角三角形的两条直角边互为三角形的底和高，已知直角三角形的面积和其中一条直角边长，根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的高＝面积×2÷底，据此解答。 【详解】36×2÷9 ＝72÷9 ＝8（cm） 它的另一条直角边长8cm。 【跟踪训练2】一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边长5cm，这个直角三角形的面积是( )cm2，斜边上的高是( )cm。 【答案】 6 2.4 【分析】先依据直角三角形中斜边最长，确定出两条直角边的长度，再依据三角形的面积公式S＝ah÷2求出这个三角形的面积，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高。 【详解】三角形的面积：4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 6×2÷5 ＝12÷5 ＝2.4（cm） 这个三角形的面积是6cm2，斜边上的高是2.4cm。 【跟踪训练3】如图，求下面三角形的面积。（单位：cm） （1） （2） （3） 【答案】（1）20 cm2；（2）90 cm2；（3）6 cm2 【分析】根据三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高（底和高是对应的关系），把数据代入计算即可。 【详解】（1）8×5÷2 ＝40÷2 ＝20（cm2）； （2）15×12÷2 ＝180÷2 ＝90（cm2）； （3）4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 题型03：梯形的面积 【典型例题1】寻找合适的条件，求出下图中涂色梯形的面积。（单位：cm） 【答案】135平方厘米；13.09平方厘米；25.44平方厘米 【分析】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算即可。 【详解】（12＋18）×9÷2 ＝30×9÷2 ＝135（平方厘米） （5－2.3＋5）×3.4÷2 ＝7.7×3.4÷2 ＝13.09（平方厘米） （7.2－1.6－2.2＋7.2）×4.8÷2 ＝10.6×4.8÷2 ＝25.44（平方厘米） 【典型例题2】填表。 上底（cm） 2.4 4 3.32 1.9 下底（cm） 2.8 6 4.48 ( ) 高（cm） 3 ( ) 5 3.2 面积（cm2） ( ) 15 ( ) 7.36 【答案】 2.7 3 7.8 19.5 【分析】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2解答即可。 【详解】7.36×2÷3.2－1.9 ＝4.6－1.9 ＝2.7（厘米） 15×2÷（4＋6） ＝30÷10 ＝3（厘米） （2.4＋2.8）×3÷2 ＝5.4×3÷2 ＝7.8（平方厘米） （3.32＋4.48）×5÷2 ＝7.8×5÷2 ＝19.5（平方厘米） 【跟踪训练1】一个梯形的上底是8分米，下底是12分米，高是上底的一半，它的面积是( )。 【答案】40平方分米/40dm2 【分析】先求出梯形的高，再根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出梯形的面积，据此解答。 【详解】高：8÷2＝4（分米） （8＋12）×4÷2 ＝20×4÷2 ＝80÷2 ＝40（平方分米） 所以，梯形的面积是40平方分米。 【跟踪训练2】一个梯形的面积是，它的高是7m，上底是3m，下底是( )m。 【答案】5 【分析】根据梯形的面积公式，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数代入公式即可求出梯形的下底。 【详解】28×2÷7－3 ＝56÷7－3 ＝8－3 ＝5（m） 【跟踪训练3】一个梯形的面积是76平方厘米，下底是12厘米，上底是8厘米，梯形的高是( )厘米。 【答案】7.6 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，根据梯形的面积计算公式，用梯形面积乘2，再除以上底与下底相加之和，所得结果即为这个梯形的高。 【详解】 （厘米） 题型04：组合图形的面积 【典型例题1】计算阴影部分的面积。 ① ② 【答案】①302平方厘米；②11平方厘米 【分析】①阴影部分面积等于长是26cm，宽是15cm的长方形面积减去上底是10cm，下底是12cm，高是8cm的梯形面积；根据长方形面积公式：长×宽；梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答； ②阴影部分面积等于边长是4cm正方形面积与边长3cm正方形面积的和减去底是（4＋3）cm，高是4cm三角形面积；根据正方形面积公式：边长×边长；三角形面积公式：底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】①26×15﹣（10＋12）×8÷2 ＝390﹣22×8÷2 ＝390﹣88 ＝302（平方厘米） ②4×4＋3×3﹣（4＋3）×4÷2 ＝16＋9﹣7×4÷2 ＝25－28÷2 ＝25﹣14 ＝11（平方厘米） 【典型例题2】求下图中阴影部分的面积。（单位：dm） （1） （2） 【答案】（1）22平方分米； （2）32平方分米 【分析】（1）将阴影部分分成底为4分米、高3分米和底4分米、高8分米的两个三角形，分别计算面积，再相加即可； （2）根据等腰直角三角形的特点，分别求出梯形（阴影部分）的上底、下底和高，然后根据梯形的面积计算公式求解。 【详解】（1）4×3÷2＋4×（12－4）÷2 ＝6＋4×8÷2 ＝6＋16 ＝22（平方分米） （2）梯形的上底是6，根据直角三角形斜边上的高等于斜边的一半可得，梯形的下底： （14＋6）÷2 ＝20÷2 ＝10（分米） 梯形的高：14－10＝4（分米） 阴影部分的面积： （6＋10）×4÷2 ＝16×4÷2 ＝32（平方分米） 【跟踪训练1】计算下面图形阴影部分的面积。（长度单位：分米） 【答案】99平方分米 【分析】阴影面积＝梯形面积－三角形面积，代入数据计算即可。 【详解】（8＋15）×10÷2 ＝230÷2 ＝115（平方分米） 8×4÷2＝16（平方分米） 115－16＝99（平方分米） 答：阴影部分的面积是99平方分米。 【跟踪训练2】计算下面图形的面积。 【答案】100平方厘米 【分析】要求的图形面积可以看作是一个长为15厘米，宽为10厘米的长方形面积减去两个底为5厘米，高为5厘米的三角形面积和一个边长为5厘米的正方形的面积之和，再根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，代入相应数值计算，即可解答。 【详解】 （平方厘米） 【跟踪训练3】计算下面图形的面积。 【答案】75cm2 【分析】由图可知，图形的面积＝长为6cm，宽为5cm的长方形面积＋上底为5cm，下底为10cm，高为（12－6）cm的梯形面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详解】6×5＋（5＋10）×（12－6）÷2 ＝30＋15×6÷2 ＝30＋90÷2 ＝30＋45 ＝75（cm2） 图形的面积是75cm2。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学沪教版五年级上册第五单元：几何小实践 专题01：几何小实践（计算专项） 知识点01：平行四边形的面积 1、面积公式推导：通过“割补法”将平行四边形沿高剪开，平移后拼成一个等底等高的长方形，长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高，因此平行四边形面积=底×高。 2、面积公式：平行四边形面积=底×高 用字母表示为S=a×h（S表示面积，a表示底，h表示对应底的高）。 3、高的定义与画法：从平行四边形一条边（底）上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足之间的线段就是平行四边形的高，一个平行四边形有无数条高，且对应不同的底，高的长度不同 【名师点拨】 （1）底与高必须“对应”：计算面积时，高必须是对应底边上的高，可通过“高与底垂直”的特征验证对应关系。 （2）公式逆用需准确： ①已知面积和底求高时，用h=S÷a； ②已知面积和高求底时，用a=S÷h。 知识点02：三角形的面积 1、面积公式推导：用两个完全相同的三角形可拼成一个等底等高的平行四边形，三角形的面 =拼成的平行四边形面积÷2，因此三角形面积=底×高÷2。 2、面积公式：三角形面积=底×高÷2 用字母表示为S=a×h÷2（a为底，h为对应底的高）。 3、高的特殊性：三角形有三条底，每条底对应一条高（从对应底的对角顶点向底作垂线，垂线段即为高），三条高的交点为三角形的垂心，直角三角形的两条直角边可分别作为底和对应高。 【名师点拨】 （1）公式中“÷2”不可遗漏：这是三角形面积与平行四边形面积的核心区别，若忘记除以 2，会导致结果为实际面积的2倍，可通过“两个三角形拼平行四边形”的推导过程强化记忆。 （2）三角形的高必须是 “对应底的对角顶点到该底的垂线段”，可通过画图辅助判断高的对应底。 （3）直角三角形的高需灵活识别：直角三角形的两条直角边互相垂直，因此若以一条直角边为底，另一条直角边就是对应高，无需额外画高。 （4）面积逆推时“先乘2”： ①已知面积和底求高，需先将面积乘2，再除以底（h=2S÷a）； ②已知面积和高求底，a=2S÷h。 知识点03：梯形的面积 1、面积公式推导：用两个完全相同的梯形可拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底= 梯形的上底+下底，高=梯形的高，梯形的面积=拼成的平行四边形面积÷2，因此梯形面积=（上底+下底）×高÷2。 2、面积公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2 用字母表示为S=(a+b)×h÷2（a为上底，b为下底，h为高）。 3、高的定义：梯形的高是上底和下底之间的垂线段长度，梯形有无数条高，且所有高的长度相等（上底和下底平行，平行线间距离处处相等）。 【名师点拨】 （1）区分“上底”与“下底”：上底和下底是梯形中平行的两条边，通常将较短的边叫上底、较长的边叫下底，但本质是“平行的两条边”，与位置无关（如倒置的梯形，原 “下底” 可能在上方），计算时只需确认两条平行边，无需严格区分“上下”，避免因位置混淆导致数据代入错误。 （2）高是“两底之间的垂线段”：高必须垂直于上底和下底，避免将腰长当作高，可通过“画垂线段”确认高的长度。 （3）直角梯形的一条腰与两底垂直，这条腰就是梯形的高，可直接用腰长作为高代入公式。 知识点04：组合图形的面积 1、定义：组合图形是由平行四边形、三角形、梯形等基本图形组合而成的图形。 2、计算面积的核心思路 ①拆分法：将组合图形拆成几个基本图形，分别计算面积后相加； ② 拼接法（补全法）：将组合图形补成一个完整的基本图形，用完整图形面积减去补全部分的面积。 3、常见组合类型：“基本图形叠加”（如三角形+平行四边形）、“基本图形挖空”（如长方形中挖去一个三角形）、“多图形拼接”（如梯形+三角形+平行四边形），需根据图形特征选择合适的计算思路。 【名师点拨】 （1）拆分时，基本图形之间不能有重叠部分（否则面积会重复计算），也不能遗漏组合图形的某一部分（否则面积会少算），可通过“标注拆分线条”确认拆分是否完整。 （2）拆分后，需为每个基本图形找到对应的底、高、边长等数据，避免数据混淆。 （3）优先选择“简便拆分方式”：同一组合图形可能有多种拆分方法，需选择计算步骤少、数据易获取的方式（如“长方形+三角形”比“梯形+平行四边形”更简便），避免复杂拆分导致计算错误（如拆分出多个图形，增加累加步骤）。 （4）补全法需“明确补全部分”：用补全法时，需清晰确定“补成的完整图形”和“补全的小图形”，计算时需准确求出补全部分的面积，避免漏减或错减。 题型01：平行四边形的面积 【典型例题1】计算下面平行四边形的面积。 【典型例题2】根据表中平行四边形的数据填空。（单位：厘米） 底 20 ( ) 4.5 1.8 高 14 12 ( ) 1.9 面积 ( ) 312 36 ( ) 【跟踪训练1】一个平行四边形的底是8.2分米，高是5分米，它的面积是( )平方分米。 【跟踪训练2】一个平行四边形的面积是1.8平方米，高是0.6米，它的底是( )米。 【跟踪训练3】计算下面平行四边形的面积。（单位：厘米） 题型02：三角形的面积 【典型例题1】如图，求下面三角形的面积。（单位：cm） （1）        （2）        （3） 【典型例题2】填表。 底（cm） 18 ( ) 4.2 1.6 高（cm） ( ) 1.25 ( ) 2.5 三角形面积（） 135 2.5 16.8 ( ) 【跟踪训练1】一个直角三角形的面积是36cm2，一条直角边长9cm，它的另一条直角边长( )cm。 【跟踪训练2】一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边长5cm，这个直角三角形的面积是( )cm2，斜边上的高是( )cm。 【跟踪训练3】如图，求下面三角形的面积。（单位：cm） （1） （2） （3） 题型03：梯形的面积 【典型例题1】寻找合适的条件，求出下图中涂色梯形的面积。（单位：cm） 【典型例题2】填表。 上底（cm） 2.4 4 3.32 1.9 下底（cm） 2.8 6 4.48 ( ) 高（cm） 3 ( ) 5 3.2 面积（cm2） ( ) 15 ( ) 7.36 【跟踪训练1】一个梯形的上底是8分米，下底是12分米，高是上底的一半，它的面积是( )。 【跟踪训练2】一个梯形的面积是，它的高是7m，上底是3m，下底是( )m。 【跟踪训练3】一个梯形的面积是76平方厘米，下底是12厘米，上底是8厘米，梯形的高是( )厘米。 题型04：组合图形的面积 【典型例题1】计算阴影部分的面积。 ① ② 【典型例题2】求下图中阴影部分的面积。（单位：dm） （1） （2） 【跟踪训练1】计算下面图形阴影部分的面积。（长度单位：分米） 【跟踪训练2】计算下面图形的面积。 【跟踪训练3】计算下面图形的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $