精品解析：浙江省绍兴市上虞区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

上虞区2024学年第一学期九年级期中教学质量调测数学试题卷 考生注意： 1．全卷分试题卷和答题卡两部分．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，答题卡共6页． 2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号． 3．答题时，将选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，非选择题部分中填空题的答案写在答题卡对应的横线上，解答题的答案或解答过程直接做在答题卡上． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下面的调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某款新能源汽车电池的使用寿命 B. 了解某校七（1）班学生的体重情况 C. 了解某市全体初中生每周参加家务劳动的时长情况 D. 了解巢湖中鱼的种类 2. 若点在抛物线上，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. -1 3. 下列各个命题，是假命题的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 圆周角是钝角，则其所对的弦比直径大 D. 在同一圆中，直径是半径的2倍 4. 为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( ) A. B. C. D. a，b大小无法比较 9. 臭豆腐是我们绍兴的一道特色名吃．臭豆腐虽小，但制作流程比较复杂，其中在加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间(单位：分钟)近似满足的函数关系为：(是常数)．如图记录了某次加工煎炸过程中收集到的三组数据．根据上述函数关系和收集到的数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )分钟． A. B. C. D. 10. 已知均为非负数，且满足．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到___________球的可能性最小． 12. 若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________． 13. 如图，在中，，，则的度数为___________． 14. 如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为 ___________________m． 15. 经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为___________． 16. 在平面直角坐标系中，已知点是轴上一动点，当时，点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图是5张背面完全相同的卡片，其正面分别写有，，，，，现将这5张卡片洗匀，从中任意抽取3张．求所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率． 18. 在的方格中，已知三点A，B，C都在格点上． （1）如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．找出经过A，B，C三点的圆的圆心O； （2）若每个小方格的边长为1，试求的半径． 19. 如图，是的两条直径，是劣弧的中点，连接．交于点，若． （1）求的度数． （2）求证：． 20. 已知某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件． （1）当每件的定价为80元时，求在该时间段内可获得的利润． （2）每件定价为多少元时利润最大？ 21. 如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的解析式． （2）若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点． （1）求证：． （2）连接，记的度数为，的度数为．探究与的数量关系． 23. 已知函数（为常数）的图象经过点，． （1）填空：___________，___________． （2）当时，求函数的最小值． （3）当时，求函数的最大值与最小值的差． 24. 如图，已知是的外接圆，点是半圆的中点，交的延长线于点，连接，，设交于点． （1）求证：． （2）若点是半圆的三等分点，求的度数． （3）若，设，试求，两点间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上虞区2024学年第一学期九年级期中教学质量调测数学试题卷 考生注意： 1．全卷分试题卷和答题卡两部分．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，答题卡共6页． 2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号． 3．答题时，将选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，非选择题部分中填空题的答案写在答题卡对应的横线上，解答题的答案或解答过程直接做在答题卡上． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下面的调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某款新能源汽车电池的使用寿命 B. 了解某校七（1）班学生的体重情况 C. 了解某市全体初中生每周参加家务劳动的时长情况 D. 了解巢湖中鱼的种类 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全面调查的选择．全面调查只在产品销售范围很窄或用户很少的情况下可以采用，根据题意利用全面调查定义即可得到本题答案． 【详解】解：A选项适用抽样调查，故不选； B选项适用全面调查，故选； C选项适用抽样调查，故不选； D选项适用抽样调查，故不选； 故选：B． 2. 若点在抛物线上，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将代入求a的值即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：． 故选：A． 3. 下列各个命题，是假命题的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 圆周角是钝角，则其所对的弦比直径大 D. 在同一圆中，直径是半径的2倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角等知识． 根据直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角，直径与半径的关系逐项分析即可． 【详解】解：直径是圆中最长的弦，正确，故A不符合要求； 直径所对的圆周角是直角，正确，故B不符合要求； 直径是圆中最长的弦，不存在比直径更长的弦，错误，故C符合要求； 在同一圆中，直径是半径的2倍，正确，故D不符合要求； 故选：C． 4. 为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是通过列表列出所有抽取两名学生的可能情况，再找出恰好抽到一男一女的情况数，进而计算概率； 先给学生编号，用列表法枚举所有抽取情况，统计总情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】解：将3名男生记为A、B、名女生记为D、E，列出所有抽取两名学生的所有情况： A B C D E A —— B —— C —— D —— E —— 共(种)情况； 其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有：共(种)； 则概率为． 故选：B． 5. 已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数值的计算与比较，关键是根据函数解析式求值并排序． 通过计算各函数在给定x值处的y值，并比较大小，判断是否满足． 【详解】解：选项A：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项B：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项C：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项D：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，满足； ∴这个函数可能是． 故选：D． 6. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理证得，根据圆内接四边形的性质，证得，进而求出的度数即可． 【详解】解： 四边形内接于 故选：B． 7. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题． 【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； 综上所述：正确的个数为4个； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 8. 如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( ) A. B. C. D. a，b大小无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接， ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 9. 臭豆腐是我们绍兴的一道特色名吃．臭豆腐虽小，但制作流程比较复杂，其中在加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间(单位：分钟)近似满足的函数关系为：(是常数)．如图记录了某次加工煎炸过程中收集到的三组数据．根据上述函数关系和收集到的数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )分钟． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 将图象中的三个点、代入函数关系中，可得函数关系式为：，再代入验证解析式正确，根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论． 【详解】解：将图象中的三个点、代入函数关系中， 则， 解得， 所以函数关系式为：， 验证：当时，，符合题意， 由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： (分钟)， 则最佳时间为分钟． 故选：C． 10. 已知均为非负数，且满足．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握二次函数的图象与性质、不等式组的解法及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由可知：， 解得：， ∵均为非负数， ∴， 解得：， ∴ ； ∵，即开口向上，当时，u随x的增大而减小， ∴当时，u随x的增大而减小， ∴当时，有最小值为； 故选A． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到___________球的可能性最小． 【答案】白 【解析】 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 通过比较各种颜色球的数量，数量最少的球被摸到的概率最小，据此计算即可． 【详解】解；布袋中总球数为个， 红球的概率为，黄球的概率为，白球的概率为，蓝球的概率为， 其中白球的概率最小， 因此摸到白球的可能性最小。 故答案为：白． 12. 若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标 通过求解一元二次方程得到抛物线与x轴的交点坐标，再计算两点之间的距离． 【详解】解：令，得方程， 因式分解得， 解得，， 即抛物线与x轴的交点为和， ∴弦长为：． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，则的度数为___________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 连接，证得，由垂径定理证得，进而证得． 【详解】解：连接，如下图， ，， ， ， ， ． 故答案为：60． 14. 如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为 ___________________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵M是中弦的中点， ∴， 又∵， ∴， 设圆的半径是x米，， 在中，有，即：，解得： ， 所以圆的半径长是． 故答案为：． 15. 经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数的最值，关键是用待定系数法求出函数解析式． 先用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上， 当时，， ∴该抛物线的顶点坐标是， 设该抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点是轴上一动点，当时，点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，数形结合画出点的位置，是解题的关键．作的中垂线，构造等腰直角三角形，和等腰直角三角形，分别以为圆心，的长为半径画圆，以为圆心，的长为半径画圆，两圆与轴的交点即为所求，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，的中点为，即， 作的中垂线，在的左侧构造等腰直角三角形，使，以为圆心，的长为半径画圆，交轴于点，连接，，作轴于点，如图，则：，满足题意，，，，， ∴， ∴， ∴； 在的右侧构造等腰直角三角形，使，以为圆心，的长为半径画圆，交轴于点，连接，，作轴于点，如图，则，满足题意， 同理可得：； 综上：点的坐标为或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图是5张背面完全相同的卡片，其正面分别写有，，，，，现将这5张卡片洗匀，从中任意抽取3张．求所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 先列出从5张卡片中任意抽取3张的所有可能情况数，再确定所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的可能情况数，据此计算概率即可． 【详解】解：从5张卡片中任意抽取3张，共有10种情况， 、、、、、、、、、 其中所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的有2种情况， 因此，所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率是， 故答案为：． 18. 在的方格中，已知三点A，B，C都在格点上． （1）如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．找出经过A，B，C三点的圆的圆心O； （2）若每个小方格的边长为1，试求的半径． 【答案】（1） 作图如下 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作图﹣复杂作图，解题的关键是利用网格的特点作图． （1）利用网格的特点作出线段与线段的垂直平分线交于点O，则点O即为外接圆的圆心O； （2）利用勾股定理求得直径的长度，进而得到半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，为圆的直径， ∵， ∴的半径为． 19. 如图，是的两条直径，是劣弧的中点，连接．交于点，若． （1）求的度数． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， 直径平分弦所对的弧， ． 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合，圆周角定理，圆心角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，正确理解圆的相关性质是解题的关键． （1）连结， 由是劣弧的中点，得， 而， 则， 所以，则， 所以 （2）由，得， 则， 所以． 【小问1详解】 解：连接， 是劣弧的中点， 是的两条直径， 的度数是. 【小问2详解】 略 20. 已知某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件． （1）当每件的定价为80元时，求在该时间段内可获得的利润． （2）每件定价为多少元时利润最大？ 【答案】（1）元 （2）65元 【解析】 【分析】本题是营销问题类型的题目，解决本题的关键是掌握二次函数的性质； （1）根据利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价，计算即可 （2） 设最大利润为元，求出与x的函数关系式； 接下来，再根据二次函数最值的求法，即可得到题目的结论. 【小问1详解】 当时，可卖出件，每件获利元， 所以该时间段内可获得的利润为元． 【小问2详解】 设利润为元，则， 即 ， 有最大值． 当时，的最大值为1225元． 答：每件定价为65元时利润最大． 21. 如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的解析式． （2）若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【小问1详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点． （1）求证：． （2）连接，记的度数为，的度数为．探究与的数量关系． 【答案】（1） 证明：连接，如图： 为的直径 ，即 又 ； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据为的直径证得，由等腰三角形的“三线合一”证得； （2）连接、，根据的度数为证得，进而证得，根据为直径，证得和，进而证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，如图： 的度数为 为直径 即 与的数量关系为． 23. 已知函数（为常数）的图象经过点，． （1）填空：___________，___________． （2）当时，求函数的最小值． （3）当时，求函数的最大值与最小值的差． 【答案】（1）； （2） （3）16 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将点，代入，进行计算求解即可； （2）由（1）知函数为，化为顶点式为，利用二次函数的增减性可得，当时，函数取到最小值，代入计算即可； （3）根据二次函数解析式可知，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，据此计算最大值与最小值的差即可． 【小问1详解】 解：根据函数（为常数）的图象经过点，得， 解得 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知函数为，即， 在对称轴直线的右侧，随的增大而减小， 在范围内，当时，函数取到最小值． 当时，函数的最小值为； 【小问3详解】 解：， 当时，函数的最大值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最大值与最小值的差为． 24. 如图，已知是的外接圆，点是半圆的中点，交的延长线于点，连接，，设交于点． （1）求证：． （2）若点是半圆的三等分点，求的度数． （3）若，设，试求，两点间的距离． 【答案】（1） 证明： 又 ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，结合圆周角定理进行证明即可； （2）根据题意易得和，根据三角形内角和定理求解的度数即可； （3）过点作交延长线于点，于点，证得，根据全等三角形的性质证得，由证得，进而计算，两点间的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点是半圆的中点， ， 点是半圆的三等分点， ， ； 【小问3详解】 解：过点作交延长线于点，于点， 点是半圆的中点 、 、 、 则在中， 、两点间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $