5.3 一次函数的意义 教案 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 5.3一次函数的意义（第1课时） 教学目标 1.理解一次函数和正比例函数的定义，能判断一个函数是否为一次函数或正比例函数。 2.能根据实际问题建立一次函数模型，并求出函数表达式。 3.初步掌握待定系数法求一次函数表达式的方法。 教学重难点 教学重点： 一次函数概念、正比例函数的的概念和表达式。 教学难点： 例2情境问题的解决。 教学过程 知识回顾 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 函数是描述现实世界变化过程中数量关系的数学模型。 函数有三种表示方法：解析法、图象法及列表法。 设计意图：通过回顾对上一节课的学习，让学生感知函数是描述变化过程的模型，为本课学习做好准备。 新知引入 1.文具店销售某种圆珠笔3元每支，则每天售出该圆珠笔的数量a及相应的收入m如下表。 销售收入m随着销售数量a的变化而变化，变化是否均匀？ 请写出m关于a的函数表达式________________________。 2.甲、乙两地相距288千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶36千米，则这辆汽车到乙地所剩路程s与时间t的关系如下表： 请写出s关于t的函数表达式_____________________________。 3.国家大力发展风力发电等清洁能源。下表是某地区6年风力发电装机容量统计表。 该地区风力发电机装机容量每年的增长有什么规律？ 若将2017年记为第1年，第 年的装机容量为 ，你能写出 与 的关系式吗？ 设计意图：通过真实数据引导学生发现变量之间的线性关系，引出一次函数的概念，激发学习兴趣，对应目标1。 概念生成 观察下面的函数关系式 m=3a s= -36t+288 y=4x+14 根据上面3个函数表达式，并完成下面的表格： 观察上述表格这几个函数有哪些共同特征呢？ 设计意图：经历一次函数一般形式及概念的形成过程以及从特殊到一般的抽象过程，并在一定的追问中理解正比例函数的概念以及两类函数的关系以及认识一般形式中常量、变量的相对性。 概念识别 做一做：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数和常数项的值各是多少？ 设计意图：帮助学生进一步理解一次函数中常数、的意义，也为后续研究反比例函数和二次函数埋下伏笔。 学以致用 例1 求下列各题中变量x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数，是否为正比例函数？ （1）某农场种植玉米，每平方米种玉米6株。玉米的种植面积为x（平方米），株数为y（株）。 （2）正方形周长为x（cm），面积为y（cm2）。 （3）等腰三角形ABC的周长为16（cm），底边BC的长为y（cm），腰AB的长为x（cm）。 设计意图：及时巩固一次函数、正比例函数的概念，明确等量关系在解决此类问题中的重要性。 解决问题 例2 按国家2019年1月1日起实施的有关个人所得税的规定，个人全年所得收入中，年应纳税所得额不超过36000元的税率为3%，超过36000元至144000元的部分的税率为10%。 （1）设全年应纳税所得额为x元，且36000＜x≤144000，应纳个人所得税为y元，求y关于x的函数表达式。 （2）小聪妈妈去年应纳税所得额为60000元，则她去年应缴个人所得税多少元？ 设计意图：经历理解问题、解决问题的过程以及建模的过程，体验一次函数在生活问题解决中的应用价值，感悟数学的学习最终是服务于生活实际的。 梳理小结 通过本节课的学习你对一次函数有怎样的认识呢？ 教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 5.3一次函数的意义（第2课时） 教学目标 1.通过实例进一步加深对一次函数的认识，经历待定系数法以及其一般步骤的归纳过程，会用待定系数法求一次函数的表达式。 2.会通过已知自变量的值求相应一次函数的值，已知一次函数的值求相应自变量的值解决一些简单问题。 3.通过经历实际问题解决的过程以及建模的过程，特别是经历函数类型的判断过程，从而达成待定系数法更为广泛的运用，发展推能能力和模型观念。 教学重难点 教学重点： 待定系数法求一次函数的表达式。 教学难点： 例4情境复杂以及需判断函数的类型。 教学过程 知识回顾 1.一次函数的一般表达形式：________________________________； 正比例函数的一般表达形式：________________________________。 2.已知正比例函数y=kx(k≠0)，若比例系数为-5，则函数关系式为___________。 3.已知一次函数y=kx+b(k≠0)，若k=3,b=-2，则函数关系式为________________。 设计意图：通过简单的问题回顾一次函数的一般形式以及根据等量关系求得简单一次函数的过程，为提出本节课的研究对象作铺垫。 探索新知 已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=6，求比例系数k的值，并写出该正比例函数的表达式。 变式：已知一次函数y=kx+b，当x=3时，y=6，你能求出这个一次函数的表达式吗？若再添加当x=-1时，y=2呢？ 设计意图：通过比较探索发现提出待定系数法，以及待定系数的个数与x,y值对数之间的关系，抓住转化方程的必要条件，加深认识。 例3 已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=-2时，y=-14。求这个一次函数的表达式。 追问：你能解决下面几个问题吗？ （1）当x=1时，函数y的值。 （2）当y=-17时，自变量x的值。 （3）当y<10时，自变量x的取值范围。 设计意图：经历完整的用待定系数法求一次函数表达式的过程，归纳得出一般步骤，在追问问题中再次感知一次函数与方程、不等式等相关知识的关联，为后续的深入研究埋下伏笔。巩固练习 已知y是x的一次函数，且当x=-4时，y=9；当x=6时，y=-1，求: (1) 这个一次函数的表达式。 (2) 当x=-1/2 时，函数y的值。 (3) 当y=7时，自变量x的值。 (4) 当y<1时，自变量x的取值范围。 设计意图：及时巩固待定系数法求一次函数表达式的过程与方法。 实际应用 例4 “绿水青山就是金山银山”，为了改善生态环境，某地区大力开展植树造林活动.从2013年底开始，森林面积每年几乎以相同的增长量增长。据统计，到2021年底，该地区的森林面积已从2018年底的421万公顷扩展到538万公顷。 （1）可选用什么数学模型来描述该地区的森林面积的变化？ （2）如果该地区持续进行植树造林，森林面积每年都按相同的增长量增长，那么到2035年底，该地区的森林面积将增加到多少万公顷？ 设计意图：经历实际问题解决的过程以及建模的过程，特别是经历函数类型的判断过程，从而达成待定系数法更为广泛的运用。 巩固练习 某航空公司规定旅客可免费托运一定质量的行李，超过规定质量的行李需买行李票，行李票价格y(元)是行李质量x(kg)的一次函数。已知当行李质量分别为20kg，40kg时，需支付的行李票价格为15元和45元。求y关于x的函数表达式。 设计意图：进一步感受实际生活中的一次函数模型。 梳理小结 学科网（北京）股份有限公司 $