湖北襄阳部分学校2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试卷

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择題和非选择題两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚。 3.考生作答时，请将答聚答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答策标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的签題区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章一第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.点(1，一2，一1)关于xOy平面的对称点的坐标为 A(1,2,-1) B.(-1,-2,-1) C.(1,-2,1) D.(-1,2,-1) 2椭圆若+号-1的焦点坐标为 A(±√7,0) B.(0,土√7) C.(士5,0) D.(0,土5) 3.在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，AC与BD的交点为M,设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则B 等于 Aa-号b叶e C.-2a-2叶 D.-a+2叶c 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上，MF|=5,则点M到直线x=一4的距离为 A.7 B.6 C.5 D.4 5.已知圆M:(x一a)2十y2=2与圆N:x2+(y一a)2=8相交，则a的取值范围为 A(-√2，-1)U(1,2) B.(-2,-1)U(1,2) C.(-3,-1)U(1,3) D.(-22,-√2)U(W2,22) 6.已知点P到直线1：x十√5y=0和2：x一√3y=0的距离之积为3，记P的轨迹为曲线C,则 AC是两条互相垂直的直线 B.C是焦点在x轴上的椭圆 C.C是离心率为2的双曲线 D.C上的点与原点之间的距离不小于2 【高二12月质量检测·数学第1页（共4页）】 JX ?,已知椭圆需+苦=1(m>0且m≠4)与直线y=2x一3相交于A,B两点，且线段AB的中点的枚坐标 为1，则m= Al B.2 C.3 D.5 &,已知四面体0ABC中，OA=1,0B=2,0C-2,∠AOB=∠A0C=∠B0C-=号，空间-点M满足成= -Oi+Oi+m0心，若AB,C,M四点共面，则1O= A 吗 C.√2 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线1过点P(0,1),且与圆C:(x十2)2+y2=4相切，则直线l的方程可能为 A.x=0 B.y=1 C.3x+4y-4=0 D.2x+y-1=0 10.已知椭圆C后+芳=1(a>6>0)的长轴长为4，短轴长为2，R,R分别是C的左右焦点，过点R 的直线与C交于A,B两点（异于C的左、右顶点），则 AC的方程为号+y=1 B.△ABF2的周长为8 C.|AF|·IAF2|的最大值为6 D.当A为C的上顶点时，AB到=9 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,CD1中，点P是底面正方形ABCD内的动点（包括边 界)，则 A当P,B,C不共线时，三棱锥D,~PBC体积的最大值为1 D B.AB与PD1所成角的最小值为 C.当D,P与底面ABCD所成的角为T时，BP的最小值为2V瓦-2 D当BP=PD,时，点P的轨迹长度为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(1,1,2),b=(2,2,m),若a∥b,则m= 13.已知直线l:z十y-1=0和点A(一2,1)，B(-1,一2)，P是L上一点，则|PA|+|PB|的最小值 为 1.如图，双曲线C芳-芳-1(Q>0,6>0)的左焦点为R,过原点0的 直线与C交于A,B两点（点A位于第二象限），M为BF的中点，直 线OM为C的一条渐近线，且|BF|=3|AF|,则直线OM的方程为 【高二12月质量检测·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说阴、证明过程或演尊步康 15.(本小题满分13分) 已知双曲线C,￡-巴 mm-=1. (1)求实数m的取值范围： (2)若C的高心率为 ,求实数m的值： 16.(本小题满分15分) 已知圆M经过三点A(一1,0)，B(1,2),C(0√3)，O为坐标原点 (1)求圆M的标准方程： (2)过原点O的直线L被圆M截得的弦长为√14，求直线1的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=1,AD=2、点 M满足PM=2M心 (1)证明：AP∥平面MBD; (2)求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小， (3)求点A到平面PCD的距离. 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F的直线11与C交于A,B两点，且OA·O克=-3， O为坐标原点。 (1)求C的方程； (2)若直线1与C的准线交于点P,过点P作直线2交C于M,N两点，且直线4与2的倾斜角 互补 (1)求直线2所过定点的坐标； (I)证明：A,B,M,N四点共圆 19.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A:B1C中，AC⊥BC,AB=AA,=2√2，点M,N分别是A,C,AA,的中点， 点P是线段BM上的点. (1)证明：BC⊥CN; (2)求三棱柱ABC-A1B,C体积的最大值； (3)当三棱柱ABC-A1B,C,的体积取得最大值时，求直线AP与C,N所成角的 余弦值的取值范围. 【高二12月质量检测·数学第4页（共4页）】 JX 高二数学参考答案、提示及评分细则 1.C点(x,y,)关于Oy平面的对称点是(x,y,一)，所以点(1.一2，一1)关于2Oy平面的对称点的坐标为(1，一2,1) 故选C 2.B椭圆若+亏=1的焦点在y轴上6-可=万，故焦点坐标为(0，士厅).枚选k 3.DB新=BB+=-丽+励=-AA+是（市-A成）=-AA+之A市-A店=AA+A-号AB =-a+合bte故选D 4.A因为点M在C上，|MF|=5,所以点M到C的谁线x=一2的距离为5，所以点M到直线x=一4的距离为7.故 选A 5.C由题知圆M的圆心为(a,0),半径为2，圆N的圆心为(0，a),半径为22，|MN|=√2Ia.若圆M和圆N相交，则 22-√2<2a<22+2,解得-3<a<-1或1<a<3.故选C 6.D设点P由题知+×山一B=3,脚-普引=1.故点P的维迹为后一苦-1和片-益 2 2 1,这两个方程分州表示焦点在轴和y轴上的双曲线，离心率分别为2和2，放AB.C均错误：因为双前线上的点到 原点的距离不小于双曲线的顶点到原点的距离，两个双曲线的顶点坐标分别为（士25,0）和(0，士2)，所以C上的点与 原点之间的距离不小于2，D正确.故选D +4=1. 4 7.B设A,B两点的坐标分别为(y),(2,),则 x1十x2=2. 又 两式作羞得+)二十 十y2=-2. 丝+=1, 士=0放产=品所以2=器解得=2放选B &.B由A=-之+o成+m,得0i-O=-oi+o+m元所以Oi=号oi+O+m由A. B.CM四点共面，知号++m=1,解得m=子.又0i.0市=0i.0=2c0s苓=1,0市.0花=4cos受=2.0i= 号i+上o成+=是(2ōi+o+).所以10成1=}√20i+0+= √410+10+1心+40i.0丽+40i.衣+20亦.0元=4什4+4+4+4中-.故选B 9.AC由题知圆C的圆心为C(一2,0)，半径为2.①当直线1的斜￥不存在时，直线x=0与圆C相切，满足题意：②当直 线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=kx十1，则二2尖=2解得k=一子，所以直线1的方程为3x+4一4=0.综 +司 上直线1的方程为x=0或3.x+4y一4=0.故选AC 10.AD由题2a=4,2办=2.即a=2,b=1,所以C的方程为号+F=1,A正确：△ABF:的周长为1AB1+AR1+ 1BF2|=|AF|+IBF1+IAF:1+IBF:I=4a=8,B正确：由题知1AFI+|AF|=4,所以|AF|·|AF2|≤ 子AF|+AF:)P=4(当且仅当1AF=AF:=2时取签号).C错误：当A为椭圆的上顶点时，AF,=AR:= 2,设BF,=m则1B那，=4一m,在△ABF:巾，∠RAF=号由余弦定理，得(4-m尸=4+(m+2)°+2(m+2).解 得m=号，所以ABl=2+号=与，DE确放选AD 11.BC如图，以D为坐标原点，直线DA,DC,DD分别为x,y,~轴建立空间直角坐标系， D 则D0,0.0),A(2,0.0).C(0,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C(0,2,2).D(0.0,2),AB= (0,2,0),设.点P的坐标为(m,1,0)(0≤1≤2,0≤≤2)，则D1P=(m,,一2).当点P在 A B AD上时，△PBC的面积最大，为子×2X2=2,所以三棱锥D-PBC体积的最大值为 号×2×2-寺A错误：w(成.D1=2n示你示义 A B m++4≥0+n+4=m+4,所以1cos(AB,DP)≤”==- 1 √+4 V1+ =之，当m=0,n=2时取等 号，所以AB与PD所成角的最小值为牙，B正确：连接DP,由DD,⊥平面ABCD,知∠D,PD为D,P与底面ABCD 所成的角.由∠D,PD=至，得DP=2,所以点P在以点D为圆心，2为半径的圆上，所以BP的最小值为BD-2= 2√2一2，C正确：由PD=BP,得√m十㎡+4=√(m一2)+(1-27，整理得m十n=1,所以点P的轨迹长度为2， D错误.枚选BC 124由a/6,知子=子=受，所以m=4 13.√2⑥设点A关于直线l的对称点为M(x,),则 解得/西二0， 即M(0,3),则|PA+ -2+也十1-1=0 为=3， 2 2 |PB引=IPM+IPB≥|BM|=√2， 14.y=√2x设C的右焦点为F'(c,0),连接AF,BF,因为O,M分别是AB,BF的 中点，所以OM/AR.又直线OM是C的一条渐近线，所以1an∠AP0=台， cos∠AFO=4.由双曲线的对称性，得IBF1=|AFL.由|BF1=3|AFI,得 |AFI=3IAF.义|AF|-IAF=2a.所以|AF|=3a,|AF=a.在△FAF中， 由余弦定理得9c2=a2+42-2a×2c×是，整理得3r=c2,所以3a2=a2+6, =√2，所以直线OM的方程为y=2.x 15.解：(1)由双曲线的定义，知(m一1)>0，解得m>1或m<0.…5分 (2)①当m>1时.e=/ 十m=解得m=2,…m …8分 ②当0时，双线C的标准方程为二二1，测e√-.解得m=-1 12分 枚实数的值为一1或2。… …13分 16.解：(1)设圆M的一般方程为x2+3y2+D.x+y+F=0, …1分 (1-D+F=0, 代入A.B,C三点的坐标，得5+D+2E+F=0, …3分 (3+√5E+F=0, (D=-2, 解得E=0, …6分 F=-3. 所以圆M的一般方程为x2+y2一2x一3=0，放圆M的标准方程为(.x一1)十y=4.…7分 (2)若直线1的斜￥不存在，令x=0,得y=土5， 侧直线1被圆M截得的弦长为2.不合题意： 9分 直线1的斜率存在，设直线l的方程为y=k.x, 由直线1被圆M截得的弦长为√4，得圆心M到直线1的距离为 …12分 即三一号解进k=1· 14分 故直线I的方程为y=x或y=一x.… 15分 17.(1)i证明：如图，连接AC,交BD于点E,连接ME.…1分 因为AD∥BC,AD=2BC,所以AE=2CE.…2分 义PM=2M花，所以EM∥AP.… 3分 因为APt平面MBD,EMC平面MBD.所以AP∥平面MB). 4分 (2)解：由题知AB,AD,AP两两垂直，故以A为原点，直线AB.AD,AP分别为 x轴，y轴，：轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0).D(0,2,0),C1,1,0).P(0,0,1), C=(0,1,0).B=(-1.01).CD=(-1,1.0).DP=(0.-2.1). …5分 Bt·m=y=0, 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,),则 B亦.m=一x十2=0， 取x=1,得y=0,g=1.故m=(1,0,1),…7分 (CD.n=-a+6-0, 设平面PCD的一个法向量为n=(a,b,c),则 D币.n=-2b+c=0, 取a=1.得b=1,c=2,n=(1,1,2),…9分 喝sm01=识之元号所以mm=音 故平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小为答· 12分 (3)解：由(2)知AD=(0.2,0),平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2), 故点A到平面PCD的离为A花·=二= n63 15分 18(1)解：由题知F(台0），设A.B两点的坐标分捌为.().设直线山的方程为m=x一号 、…1分 y=2px, 联立方程 my=r消去x整理得y一2N一P=0 则△=（一2pm)2+4p2>0,y1+y=2p1y12=一p, 所以x=-二E)=E」 4p2 4， …3分 所以0.0成=+为=号-=3华=-3解得p=2. 4 4分 所以C的方程为y=4x.… 5分 (2)(i)解：由(1)知C的准线方程为x=一1，直线AB的方程为y=x一1(1≠0)，… 6分 令=-1得y=一品即点P的坐标为(-1，品）： …7分 由直线，的斜中为直线私与直线4的倾斜角互补，知直线4的斜率为一 8分 放直线6的方程为y一（一号)=一动一（一D].甲+m心y十3=0，… 9分 故直线2过定点（一3,0）. 10分 （iⅱ)证明：设点M的坐标为(，必)。 1y=4x, 联立方程 消去x后整理得y十4my十12=0，枚y十4%十12=0，…11分 x+my+3=0, 由(1)知y1十边=41y必=一4，…12分 直线AM的斜米为岩贵一兰造一为十同理可得直线M的斜华为 为十2 …14分 44 又44 16 16 16 家为+y为十为万+(w+)w+为龙=+4my=4--12=4=-1, 所以直线AM与直线BM互相垂直，故点M在以线段AB为直径的圆上，…16分 同理可得点V在以线段AB为直径的圆上， 枚A,B,M,N四点共圆.… 17分 19.(1)证明：在直三棱柱ABC-A:B,C巾，(CC⊥平面ABC,BCC平面A, 所以BC⊥CC。 1分 又AC⊥BC,AC∩CC,=C,AC,CCC平面ACC1A,, 所以BC⊥平面ACCA.… 3分 因为CVC平面ACCA,所以BC⊥CN.…4分 (2)解：设AC=x,BC=y,则AC+BC=(2√2)2≥2AC·BC 则AC·BC=xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立.…6分 则三棱柱ABC-AB1C的休积V=之yX22≤4E. 所以三棱柱ABC-A,B,C,的体积的最大值为4V2. 8分 (3)解：由(2)知当三棱柱ABC-ABC的休积取得最大值时，AC=C=2,以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线 分别为x轴，y轴，~轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0).C(0,0,2√2)，B(0,2,0),M1,0.22),V(2,02) 则AB=(-2,2,0),Bi=(1,-2,22).C=(2,0,-2),…10分 设B=入Bi(0≤≤1)，则Ap=A+成=(a-2,2-2,22),…11分 所以co〈A市.C衣1=A.C 2a+4 2+1 1 APIICN√a-2)2+(2-2a)2+(22x)×/6 (0≤A≤1). 3/13x-12x+8 …13分 令2+λ=1∈[2,3]， 2+1 E 132-12以+83√/131-2-12(1-2)+83√13-641+84 …14分 V4()+7 因为1∈[2,31.所以∈[片号]所以=得)=叠.0m=2- …16分 所以直线AP与C,N所成角的余弦值的取值范俐 [] …17分