第二十三章 旋转 期末基础知识复习讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义以“旋转”为核心，通过知识框架图系统梳理定义、性质、中心对称等内容，用对比表格区分中心对称与中心对称图形的异同，结合坐标特征构建知识脉络，突出旋转三要素、性质应用等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如“旋转构造全等”模型题（等腰直角三角形旋转证全等）培养推理能力，坐标旋转规律题强化数学语言表达。通过易错点避坑指南和复习口诀帮助学生突破难点，支持分层提升，助力教师精准教学。

九年级期末基础知识复习及习题汇编 第23章 旋转 本章是初中几何的重要变换章节，衔接全等三角形、四边形等知识，聚焦旋转的性质、中心对称及实际应用，重点考查 “旋转性质的灵活运用”“中心对称的判定与性质”“旋转作图与图案设计” 三大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破几何变换与综合应用难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：旋转的核心定义与基本性质 准确理解旋转的本质特征、区分易混淆概念，是运用变换思想解决问题的前提，需重点把握 “旋转三要素” 与 “不变性”。 1. 旋转的定义与相关概念 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点（旋转中心）按某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。 旋转三要素：旋转中心（定点）、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角度（转动的度数，0°＜旋转角＜360°）。 关键概念： 对应点：图形旋转后，原图形上的点与新图形上的点一一对应，称为对应点（如点 A 旋转后得到点 A'，A 与 A' 为对应点）。 对应线段：对应点所连的线段（如 AB 与 A'B'）。 对应角：对应线段的夹角（如∠A 与∠A'）。 旋转角：任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角（如∠AOA'、∠BOB'，所有旋转角相等）。 2. 旋转的性质（核心考点） 图形的形状和大小不变（旋转不改变图形的全等性）。 对应点到旋转中心的距离相等（如 OA＝OA'、OB＝OB'）。 对应线段相等（AB＝A'B'、BC＝B'C'）。 对应角相等（∠A＝∠A'、∠ABC＝∠A'B'C'）。 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠AOA'＝∠BOB'＝旋转角）。 3. 中心对称与中心对称图形 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。 两者区别与联系： 类别 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的关系 一个图形自身的性质 对称方式 绕对称中心旋转 180° 重合 绕对称中心旋转 180° 自重合 联系 中心对称的两个图形组成的整体是中心对称图形；中心对称图形的两部分关于对称中心成中心对称 4. 关于原点对称的点的坐标特征 若点 P (x, y) 关于原点 O 对称的点为 P'，则 P' 的坐标为 (-x, -y)（横、纵坐标均互为相反数）。 逆用：若两点坐标满足横、纵坐标互为相反数，则这两点关于原点对称。 5. 常见的中心对称图形 线段（对称中心为中点）、平行四边形（对称中心为对角线交点）、矩形、菱形、正方形、圆（对称中心为圆心）等。 易错提示：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形不是中心对称图形。 二、核心突破：旋转的性质应用与作图 旋转的核心应用是 “利用性质转化图形”“通过作图构造全等”，需熟练掌握性质的正向推导与逆向运用，规范作图步骤。 1. 旋转性质的应用（高频考点） 求角度：利用 “对应角相等”“旋转角相等” 推导未知角。 求线段长度：利用 “对应线段相等”“对应点到旋转中心距离相等” 求解。 求坐标：结合平面直角坐标系，利用旋转性质或原点对称坐标特征计算。 2. 旋转作图（核心技能） 作图步骤： 确定旋转三要素：明确旋转中心 O、旋转方向（顺 / 逆时针）、旋转角度 α。 找对应点：在原图形上找关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点），分别作出每个关键点的对应点： 连接关键点与旋转中心 O（如连接 OA）。 以 OA 为一边，按旋转方向作角∠AOA'＝α。 在射线 OA' 上截取 OA'＝OA，得到点 A 的对应点 A'。 连对应点：顺次连接所有关键点的对应点，得到旋转后的图形。 易错警示： 作图时遗漏旋转方向（顺时针与逆时针结果不同）。 截取对应点时长度不相等，导致图形变形。 未标注旋转中心、旋转角，作图不规范。 3. 中心对称的判定与性质应用 中心对称的判定方法： 定义法：将一个图形绕某点旋转 180°，若与另一个图形重合，则两图形关于该点成中心对称。 坐标法：若两点横、纵坐标互为相反数，则两点关于原点对称（适用于坐标系中的图形）。 性质法：若两图形的对应点连线都经过某点，且被该点平分，则两图形关于该点成中心对称。 中心对称的性质应用： 求对称中心：连接两组对应点，交点即为对称中心。 求对应点坐标：利用 “横、纵坐标互为相反数” 快速计算。 证明线段 / 角相等：利用中心对称的对应线段相等、对应角相等推导。 4. 图案设计与最短路径问题 图案设计：以旋转为基本变换，结合平移、轴对称，设计对称美观的图案（如花瓣、风车图案），关键是确定 “基本图形” 和 “旋转参数”（中心、方向、角度）。 最短路径：利用旋转将折线转化为直线，结合 “两点之间线段最短” 求解（如求四边形内一点到各顶点距离和最小的问题）。 三、核心技能：旋转与几何综合应用 旋转常与全等三角形、等腰三角形、四边形、圆等知识综合，核心是 “旋转构造全等”，通过变换将分散的条件集中，突破证明与计算难点。 1. 旋转与全等三角形综合 常见模型： 等腰直角三角形旋转模型：将等腰 Rt△ABC 绕直角顶点 C 旋转 90°，得到△DEC，可证△ACD≌△BCE。 等边三角形旋转模型：将等边△ABC 绕顶点 A 旋转 60°，得到△ADE，可证△ABD≌△ACE。 解题思路： 观察图形特征（等腰、等边、直角），确定旋转中心和旋转角。 利用旋转性质证明全等三角形，得到对应边相等、对应角相等。 结合全等结论推导所求线段或角度。 2. 旋转与四边形综合 常见题型： 平行四边形的中心对称性质应用（如对角线互相平分、对边相等）。 正方形的旋转综合（如将正方形绕顶点旋转，证明线段垂直且相等）。 解题关键： 利用中心对称图形的性质简化计算（如平行四边形对角线交点是对称中心，可求线段中点坐标）。 通过旋转构造全等，解决正方形中线段关系的证明（如旋转后得到等腰直角三角形）。 3. 旋转与坐标综合 常见考点： 平面直角坐标系中，图形绕原点或某定点旋转后的坐标计算。 利用旋转性质判断图形旋转后的形状与位置。 坐标旋转规律（绕原点）： 点 P (x, y) 顺时针旋转 90°→P'(y, -x)。 点 P (x, y) 逆时针旋转 90°→P'(-y, x)。 点 P (x, y) 旋转 180°→P'(-x, -y)。 四、易错点避坑指南 1. 概念混淆类： 易错表现：混淆 “旋转” 与 “中心对称”（中心对称是旋转的特殊情况，旋转角为 180°）；混淆 “中心对称” 与 “中心对称图形”（前者是两图形关系，后者是单图形性质）。 避坑技巧：用 “旋转角是否为 180°” 区分旋转与中心对称；用 “一个图形还是两个图形” 区分中心对称与中心对称图形。 2. 性质应用类： 易错表现：运用旋转性质时，忽略 “对应点到旋转中心距离相等”“旋转角相等”；求坐标时，记错旋转 90° 的坐标规律。 避坑技巧：解题前标注旋转三要素，画出对应点与旋转中心的连线，明确旋转角和对应关系；熟记坐标旋转口诀 “顺转 90 右翻负，逆转 90 左翻负，180 度横竖负”。 3. 作图规范类： 易错表现：旋转作图时未标注旋转中心、旋转角；截取对应点时长度不相等；方向错误（顺时针与逆时针混淆）。 避坑技巧：严格遵循 “定中心→找关键点→作对应点→连线段” 四步骤，作图后检查对应点到旋转中心的距离是否相等，旋转角是否符合要求。 4. 综合应用类： 易错表现：旋转综合题中，无法确定旋转中心和旋转角，难以构造全等三角形；忽略旋转后的图形与原图形的位置关系（如共线、垂直）。 避坑技巧：观察图形中的等腰、等边、直角等特征，优先以等腰三角形的顶点、正方形的顶点为旋转中心，旋转角等于等腰三角形的顶角或 90°。 五、备考策略 1. 夯实基础：梳理核心概念与性质： 用表格对比旋转、中心对称、中心对称图形的定义、性质、区别，强化记忆。 熟记旋转三要素、坐标旋转规律，结合简单例题巩固（如求点旋转后的坐标、判断中心对称图形）。 2. 突破难点：针对性训练综合题型： 重点练 “旋转构造全等” 题型（等腰直角三角形、等边三角形旋转模型），总结 “旋转中心→旋转角→全等证明” 的解题流程。 强化旋转作图训练，确保作图规范、准确，标注完整。 多练坐标与旋转的综合题，熟练运用坐标旋转规律计算。 3. 规范解题：避免逻辑与书写错误： 几何证明题中，每一步推理都要注明依据（如 “由旋转性质得”“由中心对称性质得”）。 作图题必须标注旋转中心、旋转方向、旋转角，保留作图痕迹（如射线、相等线段标记）。 综合题中，先分析旋转关系，再构造全等，最后推导结论，步骤清晰。 4. 错题复盘：聚焦高频错误： 整理 “概念混淆”“性质应用遗漏”“作图不规范” 三类错题，标注错误原因，重做时重点关注易错点，强化解题思路。 复习口诀 旋转三要素，中心方向角；图形不变形，对应全相等。对应点到中心距，相等勿忘记；旋转角要相等，角度计算靠它定。中心对称旋转百八，两图重合是关键；对称点坐标，横竖皆相反。作图先定中心角，再找关键对应点；综合题用全等，旋转构造是核心。 一、选择题汇编 1.（25-26·甘肃期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2.（25-26·浙江期中）下列图形中，通过翻折、旋转都能得到的图形是（    ） A. B. C. D. 3.（25-26·四川期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（    ） A.点 B.点 C.点 D.点 4.如图，在网格中与成轴对称的格点三角形最多有（      ）个． A.个 B.个 C.个 D.个 5.（23-24·天津期中）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（      ） A. B. C. D. 6.（25-26·北京期中）如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 7.（24-25·广东月考）如图，中，，，绕点旋转到的位置，，则所经过的旋转是（    ） A.顺时针旋转 B.逆时针旋转 C.顺时针旋转 D.逆时针旋转 8.如图,中,,将绕原点旋转,则旋转后点的对应点的坐标是 （      ） A.或 B.或 C.或 D.或 9.（25-26·河北期中）如图，将三角形绕点逆时针旋转一定的角度得到三角形，此时点在边上．若，，则的长为（   ） A. B. C. D. 10.如图,菱形的对角线、交于点,若与关于点成中心对称,,则菱形的边长是（      ） A. B. C. 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，坐标分别为，，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（      ） A. B. C. D. B. (第题图) 12.如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点，若，则的面积为（      ） A. B. C. D. 13.（25-26·广东期中）如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到．与交于点，设，当满足（    ）条件时，是等腰三角形． A. B. C.或 D.或 14.（25-26·黑龙江期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（    ） A. B. C. D.  15.（24-25·广东期末）如图，在中，，，将 边绕着点逆时针旋转 ，旋转后的对应线段与边交于点，连接，则的长为（    ） A. B. C. D. 16.（24-25·广东期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．一个电动玩具从原点出发，按照与点依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 17.（25-26·天津期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A. B. C. D. 18.（25-26·河北期中）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 19.（24-25·福建期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，于点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A. B. C. D. 20.（25-26·北京期中）如图，边长为的等边绕它的中心顺时针旋转得到分别与交于点．给出下面三个结论：①的长随的增大而增大；②的取值范围是；③当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题汇编 21.已知坐标系中点和点关于原点中心对称，则         ． 22.（22-23·陕西月考）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为      ． 23.（24-25·宁夏模拟）如图是由边长为的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论： ①点与点关于点中心对称； ②连接，，，则平分； ③连接，则点，到线段的距离相等． 其中正确结论的序号是____________． 24.（23-24·山东模拟）如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为___________． 25.（25-26·四川期中）（3分）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则___________． 26.如图，在中，，，点是的中点，以为直角边向外作等腰，连接，当取最大值时，则的度数是    ．   27.（25-26·广东期中）如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______________． 28.已知．在中，，，，将绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点．当点落在的角平分线上时，连接与的角平分线相交于点，则点到的距离为       ． 29.在中，，，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．如图，是运动中点恰好在上；当时，点是边中点，四边形是               （图形）． 30.如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，，则： （1）点的坐标为                            ； （2）落在轴正半轴上的点坐标是                      ． 31.（25-26·四川期中）如图，在和中，，，点在边上满足，将绕着点顺时针旋转，连接，记的中点为，则的最大值是_______________． 32.（25-26·江苏月考）如图所示，是以为公共端点的两条线段，且满足，，作线段的垂直平分线交于点．点为直线上一动点，连接，以为边构造等边，连接．当的周长最小时，，则周长的最小值为______________．（用含有、的式子表示） 33.如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…．若点，，则点的坐标为             ． 34.（25-26·全国期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与的距离为；②；③；④；⑤．其中正确的结论是_______ ． 35.如图，在中为边上任意一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段为边的中点，连接．如图交于点若线段的长度是      ；为的中点，连接点为直线上一动点（不与点重合），连接将沿翻折至所在平面内，得到连接若当取得最小值时，线段的长度的最小值是      ． 三、解答题汇编 36.（25-26·贵州期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕原点逆时针旋转得到，画出，并写出点的对应点的坐标． 37.（25-26·湖北期中）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；已知． （1）作出以为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形） （2）作出关于原点成中对心称的，（只画出图形），写出和的坐标． （3）请在轴上找一点，使的值最小，并直接写出点的坐标． 38.如图，中，． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的三角形； （2）若，，点旋转后的对应点为，求的长． 39.（25-26·四川期中）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到， （1）求证：； （2）求的度数． 40.（25-26·甘肃期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）当点是的中点时，求的长． 41.（25-26·四川期中）如图， 在中， ， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， 连接， ， 作于点， 分别交， 于点，． （1）求的度数； （2）求证： 42.（25-26·辽宁模拟）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． （1）如图，当经过点时，求证：； （2）如图，当，交于点，交于点，求证：． 43.（25-26·辽宁期中）如图，已知是等边三角形，点在线段上，点在直线上，且，将绕点顺时针旋转至，连接． （1）证明：是等边三角形； （2）证明：； （3）如图，如果点在线段的延长线上，其它条件不变，线段，，之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 44.（25-26·河北期中）如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 45.（25-26·湖北月考）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，连接，交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，将图中的绕点顺时针旋转一个角度（旋转角小于），连接，探究线段、、之间的数量关系并说明理由． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末基础知识复习及习题汇编 第23章 旋转 本章是初中几何的重要变换章节，衔接全等三角形、四边形等知识，聚焦旋转的性质、中心对称及实际应用，重点考查 “旋转性质的灵活运用”“中心对称的判定与性质”“旋转作图与图案设计” 三大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破几何变换与综合应用难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：旋转的核心定义与基本性质 准确理解旋转的本质特征、区分易混淆概念，是运用变换思想解决问题的前提，需重点把握 “旋转三要素” 与 “不变性”。 1. 旋转的定义与相关概念 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点（旋转中心）按某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。 旋转三要素：旋转中心（定点）、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角度（转动的度数，0°＜旋转角＜360°）。 关键概念： 对应点：图形旋转后，原图形上的点与新图形上的点一一对应，称为对应点（如点 A 旋转后得到点 A'，A 与 A' 为对应点）。 对应线段：对应点所连的线段（如 AB 与 A'B'）。 对应角：对应线段的夹角（如∠A 与∠A'）。 旋转角：任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角（如∠AOA'、∠BOB'，所有旋转角相等）。 2. 旋转的性质（核心考点） 图形的形状和大小不变（旋转不改变图形的全等性）。 对应点到旋转中心的距离相等（如 OA＝OA'、OB＝OB'）。 对应线段相等（AB＝A'B'、BC＝B'C'）。 对应角相等（∠A＝∠A'、∠ABC＝∠A'B'C'）。 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠AOA'＝∠BOB'＝旋转角）。 3. 中心对称与中心对称图形 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。 两者区别与联系： 类别 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的关系 一个图形自身的性质 对称方式 绕对称中心旋转 180° 重合 绕对称中心旋转 180° 自重合 联系 中心对称的两个图形组成的整体是中心对称图形；中心对称图形的两部分关于对称中心成中心对称 4. 关于原点对称的点的坐标特征 若点 P (x, y) 关于原点 O 对称的点为 P'，则 P' 的坐标为 (-x, -y)（横、纵坐标均互为相反数）。 逆用：若两点坐标满足横、纵坐标互为相反数，则这两点关于原点对称。 5. 常见的中心对称图形 线段（对称中心为中点）、平行四边形（对称中心为对角线交点）、矩形、菱形、正方形、圆（对称中心为圆心）等。 易错提示：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形不是中心对称图形。 二、核心突破：旋转的性质应用与作图 旋转的核心应用是 “利用性质转化图形”“通过作图构造全等”，需熟练掌握性质的正向推导与逆向运用，规范作图步骤。 1. 旋转性质的应用（高频考点） 求角度：利用 “对应角相等”“旋转角相等” 推导未知角。 求线段长度：利用 “对应线段相等”“对应点到旋转中心距离相等” 求解。 求坐标：结合平面直角坐标系，利用旋转性质或原点对称坐标特征计算。 2. 旋转作图（核心技能） 作图步骤： 确定旋转三要素：明确旋转中心 O、旋转方向（顺 / 逆时针）、旋转角度 α。 找对应点：在原图形上找关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点），分别作出每个关键点的对应点： 连接关键点与旋转中心 O（如连接 OA）。 以 OA 为一边，按旋转方向作角∠AOA'＝α。 在射线 OA' 上截取 OA'＝OA，得到点 A 的对应点 A'。 连对应点：顺次连接所有关键点的对应点，得到旋转后的图形。 易错警示： 作图时遗漏旋转方向（顺时针与逆时针结果不同）。 截取对应点时长度不相等，导致图形变形。 未标注旋转中心、旋转角，作图不规范。 3. 中心对称的判定与性质应用 中心对称的判定方法： 定义法：将一个图形绕某点旋转 180°，若与另一个图形重合，则两图形关于该点成中心对称。 坐标法：若两点横、纵坐标互为相反数，则两点关于原点对称（适用于坐标系中的图形）。 性质法：若两图形的对应点连线都经过某点，且被该点平分，则两图形关于该点成中心对称。 中心对称的性质应用： 求对称中心：连接两组对应点，交点即为对称中心。 求对应点坐标：利用 “横、纵坐标互为相反数” 快速计算。 证明线段 / 角相等：利用中心对称的对应线段相等、对应角相等推导。 4. 图案设计与最短路径问题 图案设计：以旋转为基本变换，结合平移、轴对称，设计对称美观的图案（如花瓣、风车图案），关键是确定 “基本图形” 和 “旋转参数”（中心、方向、角度）。 最短路径：利用旋转将折线转化为直线，结合 “两点之间线段最短” 求解（如求四边形内一点到各顶点距离和最小的问题）。 三、核心技能：旋转与几何综合应用 旋转常与全等三角形、等腰三角形、四边形、圆等知识综合，核心是 “旋转构造全等”，通过变换将分散的条件集中，突破证明与计算难点。 1. 旋转与全等三角形综合 常见模型： 等腰直角三角形旋转模型：将等腰 Rt△ABC 绕直角顶点 C 旋转 90°，得到△DEC，可证△ACD≌△BCE。 等边三角形旋转模型：将等边△ABC 绕顶点 A 旋转 60°，得到△ADE，可证△ABD≌△ACE。 解题思路： 观察图形特征（等腰、等边、直角），确定旋转中心和旋转角。 利用旋转性质证明全等三角形，得到对应边相等、对应角相等。 结合全等结论推导所求线段或角度。 2. 旋转与四边形综合 常见题型： 平行四边形的中心对称性质应用（如对角线互相平分、对边相等）。 正方形的旋转综合（如将正方形绕顶点旋转，证明线段垂直且相等）。 解题关键： 利用中心对称图形的性质简化计算（如平行四边形对角线交点是对称中心，可求线段中点坐标）。 通过旋转构造全等，解决正方形中线段关系的证明（如旋转后得到等腰直角三角形）。 3. 旋转与坐标综合 常见考点： 平面直角坐标系中，图形绕原点或某定点旋转后的坐标计算。 利用旋转性质判断图形旋转后的形状与位置。 坐标旋转规律（绕原点）： 点 P (x, y) 顺时针旋转 90°→P'(y, -x)。 点 P (x, y) 逆时针旋转 90°→P'(-y, x)。 点 P (x, y) 旋转 180°→P'(-x, -y)。 四、易错点避坑指南 1. 概念混淆类： 易错表现：混淆 “旋转” 与 “中心对称”（中心对称是旋转的特殊情况，旋转角为 180°）；混淆 “中心对称” 与 “中心对称图形”（前者是两图形关系，后者是单图形性质）。 避坑技巧：用 “旋转角是否为 180°” 区分旋转与中心对称；用 “一个图形还是两个图形” 区分中心对称与中心对称图形。 2. 性质应用类： 易错表现：运用旋转性质时，忽略 “对应点到旋转中心距离相等”“旋转角相等”；求坐标时，记错旋转 90° 的坐标规律。 避坑技巧：解题前标注旋转三要素，画出对应点与旋转中心的连线，明确旋转角和对应关系；熟记坐标旋转口诀 “顺转 90 右翻负，逆转 90 左翻负，180 度横竖负”。 3. 作图规范类： 易错表现：旋转作图时未标注旋转中心、旋转角；截取对应点时长度不相等；方向错误（顺时针与逆时针混淆）。 避坑技巧：严格遵循 “定中心→找关键点→作对应点→连线段” 四步骤，作图后检查对应点到旋转中心的距离是否相等，旋转角是否符合要求。 4. 综合应用类： 易错表现：旋转综合题中，无法确定旋转中心和旋转角，难以构造全等三角形；忽略旋转后的图形与原图形的位置关系（如共线、垂直）。 避坑技巧：观察图形中的等腰、等边、直角等特征，优先以等腰三角形的顶点、正方形的顶点为旋转中心，旋转角等于等腰三角形的顶角或 90°。 五、备考策略 1. 夯实基础：梳理核心概念与性质： 用表格对比旋转、中心对称、中心对称图形的定义、性质、区别，强化记忆。 熟记旋转三要素、坐标旋转规律，结合简单例题巩固（如求点旋转后的坐标、判断中心对称图形）。 2. 突破难点：针对性训练综合题型： 重点练 “旋转构造全等” 题型（等腰直角三角形、等边三角形旋转模型），总结 “旋转中心→旋转角→全等证明” 的解题流程。 强化旋转作图训练，确保作图规范、准确，标注完整。 多练坐标与旋转的综合题，熟练运用坐标旋转规律计算。 3. 规范解题：避免逻辑与书写错误： 几何证明题中，每一步推理都要注明依据（如 “由旋转性质得”“由中心对称性质得”）。 作图题必须标注旋转中心、旋转方向、旋转角，保留作图痕迹（如射线、相等线段标记）。 综合题中，先分析旋转关系，再构造全等，最后推导结论，步骤清晰。 4. 错题复盘：聚焦高频错误： 整理 “概念混淆”“性质应用遗漏”“作图不规范” 三类错题，标注错误原因，重做时重点关注易错点，强化解题思路。 复习口诀 旋转三要素，中心方向角；图形不变形，对应全相等。对应点到中心距，相等勿忘记；旋转角要相等，角度计算靠它定。中心对称旋转百八，两图重合是关键；对称点坐标，横竖皆相反。作图先定中心角，再找关键对应点；综合题用全等，旋转构造是核心。 一、选择题汇编 1.（25-26·甘肃期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D.  【答案】B 【解析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：．选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； ．选项中的图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； ．选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； ．选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：． 2.（25-26·浙江期中）下列图形中，通过翻折、旋转都能得到的图形是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了轴对称的性质、旋转的性质，根据翻折及旋转的定义即可求解． 【解答】解：、图形只能通过旋转变换得到，所以选项不符合题意； 、图形只能通过旋转变换得到，所以选项不符合题意； 、图形可以通过上下翻折、左右翻折得到，也可以通过旋转变换得到，所以选项符合题意； 、图形可以通过左右翻折得到，但不能通过旋转变换得到，所以选项不符合题意． 故选：． 3.（25-26·四川期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（    ） A.点 B.点 C.点 D.点 【答案】D 【解析】连接，，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【解答】解：连接，， 分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示： 则交点即为旋转中心， 故答案选：． 4.如图，在网格中与成轴对称的格点三角形最多有（      ）个． A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】利用两个图形成轴对称的性质结合题意即可得解． 【解答】解：如图所示： 故选． 5.（23-24·天津期中）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据绕点按顺时针方向旋转逐项分析即可． 【解答】、是由关于过点与垂直的直线对称得到，故选项不符合题意；、是由绕点按顺时针方向旋转后得到，故选项符合题意； 、与对应点发生了变化，故选项不符合题意； 、是由绕点按逆时针方向旋转后得到，故选项不符合题意． 故选：． 6.（25-26·北京期中）如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查图形的旋转变换．利用网格特点，作和的垂直平分线，它们相交于点，然后写出点坐标即可． 【解答】解：如图，可由绕点顺时针旋转得到，所以旋转中心的坐标为． 故选：． 7.（24-25·广东月考）如图，中，，，绕点旋转到的位置，，则所经过的旋转是（    ） A.顺时针旋转 B.逆时针旋转 C.顺时针旋转 D.逆时针旋转 【答案】D 【解析】利用旋转性质即可解题。 【解答】根据旋转的性质可知,旋转角等于旋转前后对应边的夹角,因为中,,所以,所以所经过的旋是逆时针旋转,故选 8.如图,中,,将绕原点旋转,则旋转后点的对应点的坐标是 （      ） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】C 【解析】利用旋转性质即可解题。 【解答】 如图, 过点作于,在中,．①设将绕原点逆时针旋转时,转到了的位置,如图,过点作轴于点,易知的坐标是．②设将绕原点顺时针旋转时,转到了″的位置,易得″的坐标为．故选． 9.（25-26·河北期中）如图，将三角形绕点逆时针旋转一定的角度得到三角形，此时点在边上．若，，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了图形的旋转，线段的和差，根据图形旋转的性质可得，即可求解．熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 【解答】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此点在边上， ， ， ． 故选：． 10.如图,菱形的对角线、交于点,若与关于点成中心对称,,则菱形的边长是（      ） A. B. C. 【答案】D 【解析】利用中心对称相关性质即可解题。 【解答】四边形是菱形,且与关于点成中心对称,,, ,即菱形的边长是．故选． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，坐标分别为，，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（      ） A. B. C. D. B. (第题图) 【答案】A 【解析】利用中心对称相关性质即可解题。 【解答】 点，的坐标分别为，，，，是等腰直角三角形，．设直线的解析式为，则解得直线的解析式为令，则，．又点与点关于点成中心对称，点为的中点．设，则，，，，． 12.如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点，若，则的面积为（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用旋转性质即可解题。 【解答】解：旋转后的中点恰好与点重合，即，在中，， 即， ， ， ， ， 在中，设， 则，·， 根据勾股定理得：， 解得：， ， 则． 故选：． 13.（25-26·广东期中）如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到．与交于点，设，当满足（    ）条件时，是等腰三角形． A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．根据旋转性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，，再分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【解答】解：连接， 将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 当时， 则， ， ， ； 当时， 则， ， ， ； 当时，点在的延长线上，不符合题意； 综上分析可知，当或时，是等腰三角形． 故选：． 14.（25-26·黑龙江期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【解答】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ，， ，， ， 又， ， ， 故选：．  15.（24-25·广东期末）如图，在中，，，将 边绕着点逆时针旋转 ，旋转后的对应线段与边交于点，连接，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过点作于点，作于点，在中，，，可得，再证，可得是等腰直角三角形，即可求解. 【解答】解：过点 作于点，作于点， ，，根据等腰三角形三线合一性质， 在中，，， ，， 由旋转性质可知，，，， ，， ，，， ， ，， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 综上，的长为 故选： 16.（24-25·广东期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．一个电动玩具从原点出发，按照与点依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了中心对称，点的坐标的规律，解题关键是理解中心对称的概念．先求出、、、、、、的坐标，从中得出规律，再利用规律求点的坐标． 【解答】解：点，，的坐标分别为，，，一个电动玩具从原点出发，按照与点，，依次成中心对称跳跃，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， 点， 第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第五次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第六次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 第七次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ， …… 点的坐标的变化规律是次一个循环， ， 点的坐标与相同为． 故选：． 17.（25-26·天津期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 则， 根据旋转可知，，， ， ， ， ， ，， ， ， 点在直线上， 为定值， 当最小时，的周长最小， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 根据轴对称可知：， ， 两点之间线段最短， 当在点处时，最小，且最小值为的长度， 最小值为：， 的周长最小值为． 故选：． 18.（25-26·河北期中）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：作轴于点，轴于，   设， ， 则，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 故选：． 19.（24-25·福建期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，于点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由点的运动确定的运动轨迹，继而确定当时，取得最小值，即可解答． 【解答】解：将绕点顺时针旋转到，如图 有，， 当时，， 点， 当时，， 点， ，即， 为等腰直角三角形，， 点在上， ， ，， ，， 当点在点上运动时，点在上运动， 当时，取得最小值． ， ，即是等腰直角三角形， ，， 即， 解得：（负数已舍去）． 故选：． 20.（25-26·北京期中）如图，边长为的等边绕它的中心顺时针旋转得到分别与交于点．给出下面三个结论：①的长随的增大而增大；②的取值范围是；③当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】A 【解析】如图，连接，过点作，在等边三角形中得，，，从而得出，，，勾股定理求出，如图，连接，过点作，则，根据旋转可得，是等边三角形，，证明，得出，，连接，再证明，得出，当增大时，逐渐减小，此时，从而得出在逐渐变小，根据是定值，得出逐渐减小，逐渐增大，即可判断①；当旋转到时，，即点与点重合，点与点重合，此时，则，即可判断②；当时，，则，，，得出为等腰直角三角形，从而得，即可求出，从而判断③． 【解答】解：如图，连接，过点作， 是等边三角形， ， 点是的中心， ， ，，， ， 如图，连接，过点作， ， 根据旋转可得，是等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， 连接， ， ， ， 当增大时，逐渐减小， 此时， 在逐渐变小， 在逐渐变小， 是定值， 逐渐减小， ， 逐渐增大，故①正确； 当旋转到时，， 即点与点重合，点与点重合， 此时， ，②正确； 当时，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，③错误， 故选： ． 二、填空题汇编 21.已知坐标系中点和点关于原点中心对称，则         ． 【答案】 【解析】直接利用关于原点对称点的性质，得出，的值，即可得出答案． 【解答】解：坐标系中点和点关于原点中心对称，，， 则． 故答案为：． 22.（22-23·陕西月考）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为      ． 【答案】 【解析】根据与关于点成中心对称，推出，，，得到，根据勾股定理得到． 【解答】与关于点成中心对称，，，， ， ， 故此题答案为：． 23.（24-25·宁夏模拟）如图是由边长为的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论： ①点与点关于点中心对称； ②连接，，，则平分； ③连接，则点，到线段的距离相等． 其中正确结论的序号是_____①②③_________． 【答案】①②③ 【解析】根据描述，作图，逐一进行判断即可； 【解答】解：①如图： 点与点关于点中心对称；故①正确； ②如图： 由图可知：， 为等腰三角形， 经过的中点， 平分，故②正确； ③如图，点到的距离为，点到的距离为， ， 点，到线段的距离相等，故③正确； 综上，正确的有①②③； 故答案为：①②③．  24.（23-24·山东模拟）如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为______________． 【答案】 【解析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握中点坐标，中心对称图形的特点是解题的关键． 如图所示，连接，交于点，可得对称中心，根据中心坐标公式即可求解． 【解答】解：如图所示，连接，交于点， 关于点的中心对称图形为， 上的点的坐标为， 根据中点坐标可得，对应点的横坐标为，纵坐标为，即 故答案为：． 25.（25-26·四川期中）（3分）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则__度__________． 【答案】度 【解析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【解答】解：， ， ， 将绕点按逆时针方向旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 26.如图，在中，，，点是的中点，以为直角边向外作等腰，连接，当取最大值时，则的度数是    ． 【答案】 【解析】由旋转的性质可得，，，，由三角形三边关系可得，即当点在上时，有最大值，即取最大值，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，， 将绕点逆时针旋转，得到， ，，， 当点在上时，有最大值，即取最大值， ， 点是中点， ， 故答案为：   27.（25-26·广东期中）如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为________________． 【答案】 【解析】连接，延长交于点，求出，证明是等边三角形． 垂直平分，得，，由，得，即得． 【解答】解：如图，连接，延长交于点， ，． ． 由旋转知，，， 是等边三角形． ． 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分． ． ． ， ． ． ． ． 故答案为：． 28.已知．在中，，，，将绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点．当点落在的角平分线上时，连接与的角平分线相交于点，则点到的距离为     3   ． 【答案】3 【解析】延长交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则点到的距离为的长，由旋转的性质以及勾股定理可得：，从而得到均为等腰直角三角形，进而得到，再证得为等腰直角三角形，可得，从而得到为等腰直角三角形，然后根据，可得，从而得到，再根据，可得，然后根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【解答】解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则点到的距离为的长， 平分， ， 在中，，，， ， 由旋转的性质得：， 均为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 29.在中，，，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．如图，是运动中点恰好在上；当时，点是边中点，四边形是     平行四边形           （图形）． 【答案】平行四边形 【解析】利用直角三角形斜边上的中线性质得到,则,再根据旋转的性质得到，，从而得到，接下来证明即可得到答案． 【解答】 解：如图所示， 点是边中点， ， ， ， ， 绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，，，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形．  30.如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，，则： （1）点的坐标为                            ； （2）落在轴正半轴上的点坐标是                      ． 【答案】 【解析】（1）易得在第三象限的角平分线上，先得到的长度，进而判断的坐标即可； （2）易得轴正半轴上的点横坐标与底数为的幂相关． 【解答】（1）解：由图可得在第三象限的角平分线上，，， ，作轴，轴， ， 点的坐标为． （2）通过旋转最后落在轴正半轴上，而每次旋转，需要旋转次才能落在轴正半轴上，并且每旋转一次扩大一倍， ， 旋转到点的坐标为，其中满足的条件是（，，的整数）． 31.（25-26·四川期中）如图，在和中，，，点在边上满足，将绕着点顺时针旋转，连接，记的中点为，则的最大值是________________． 【答案】 【解析】取中点，连接，，过点作于点，利用三角形中位线定理可求，根据判出断当 、、三点共线，且在的延长线上时，取最大值为，利用等腰三角形的判定和勾股定理可求，在中利用勾股定理可求，即可求解． 【解答】解：取中点，连接，，过点作于点， 点是的中点，， ， ， 当 、、三点共线，且在的延长线上时，取最大值为 ，， ，，， 又， ， ， 由勾股定理得，即， ， ，， ， ， ， ， 取最大值为． 故答案为：． 32.（25-26·江苏月考）如图所示，是以为公共端点的两条线段，且满足，，作线段的垂直平分线交于点．点为直线上一动点，连接，以为边构造等边，连接．当的周长最小时，，则周长的最小值为_____ __________．（用含有、的式子表示） 【答案】 【解析】 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，证明得到，接着证明，连接，取的中点，则，可证明点和点重合，进一步证明点在上，作关于直线的对称点，连接，则，可以推出当最小时，的周长最小，则当三点共线时，有最小值，此时点恰好在直线上，据此求解即可． 【解答】 解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，即是的角平分线， 又， ， 连接，取的中点，则， ，即点和点重合， 又， 点在上， 作关于直线的对称点，连接，则， 的周长， 当最小时，的周长最小， ， 当三点共线时，有最小值，此时点恰好在直线上， 此时，则， ， 的周长最小值， 故答案为：． 33.如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…．若点，，则点的坐标为              ． 【答案】 【解析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、…每偶数之间的相差个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标． 【解答】解：点，，，， ， ， 的横坐标为：，且， 的横坐标为：， 点的横坐标为：． 点的纵坐标为：． 故点的坐标为． 故答案为：． 34.（25-26·全国期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与的距离为；②；③；④；⑤．其中正确的结论是___①②④⑤_______ ． 【答案】①②④⑤ 【解析】由题意可得，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形，可判断，由，可判定， 【解答】解：连接， 由旋转性质得，， 是等边三角形， ，故①正确，符合题意； ， ， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，， 是等边三角形， ， ，故②正确，符合题意； 过点作，交的延长线于点，则， ， ， ，故③错误，不符合题意； 过点作于点， 是等边三角形， ， ， ， 故④正确，符合题意； 将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点， 则，， 是边长为的等边三角形，是边长为、、的直角三角形， ，故⑤正确，符合题意； 正确的结论有①②④⑤， 答案：①②④⑤． 35.如图，在中为边上任意一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段为边的中点，连接．如图交于点若线段的长度是      ；为的中点，连接点为直线上一动点（不与点重合），连接将沿翻折至所在平面内，得到连接若当取得最小值时，线段的长度的最小值是      ． 【答案】, 【解析】先证明是等边三角形，得到推导出根据锐角三角函数的定义计算可得的长，由此即得答案；过点作交于点连结先证明得到由此当时取最小值，求出这个最小值为；由轴对称的性质可知，点在以点为圆心的长为半径的弧上运动，所以当三点共线时，线段的长度取得最小值，求出这个最小值，即得答案． 【解答】解：是等边三角形， 为边的中点， ； 将线段绕点逆时针旋转得到线段 射线与的夹角为定值， 即射线的方向固定， 当时取最小值， 在中 沿翻折至所在平面内，得到 点在以点为圆心的长为半径的弧上运动， 当三点共线时，线段的长度取得最小值，如图， 在中 线段的长度的最小值为． 三、解答题汇编 36.（25-26·贵州期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕原点逆时针旋转得到，画出，并写出点的对应点的坐标． 【答案】图见解答 图见解答， 【解析】（1）根据关于原点对称的点的特征，找点，描点，连线画出即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可． 【解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 由图可知：． 37.（25-26·湖北期中）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；已知． （1）作出以为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形） （2）作出关于原点成中对心称的，（只画出图形），写出和的坐标． （3）请在轴上找一点，使的值最小，并直接写出点的坐标． 【答案】见解答见解答见解答，． 【解析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、，从而得到； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （3）先找到关于轴的对称点’，再求出’的解析式，故可求出点坐标． 【解答】（1）解：如图，为所作； （2）如图，为所作． （3）如图，关于轴的对称点’，又， 设’的解析式为 把、代入得 解得 ’的解析式为 令，得 ． 38.如图，中，． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的三角形； （2）若，，点旋转后的对应点为，求的长． 【答案】见解答 【解析】（1）将、绕点逆时针旋转，得到、，连接、、，即为所求； （2）连接，根据“，，”、勾股定理，计算，根据旋转，，，勾股定理计算即可． 【解答】（1）如下图，将、绕点逆时针旋转，得到、，连接、、，即为所求； （2）如下图，连接， ，，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ． 39.（25-26·四川期中）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到， （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】见解答 【解析】（1）根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明即可； （2）根据旋转的性质可以求出，然后利用三角形内角和定理求出，由此即可解决问题． 【解答】（1）解：证明：绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ； （2）解：， 又 又 40.（25-26·甘肃期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）当点是的中点时，求的长． 【答案】证明见解析； ． 【解析】（1）本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由为等边三角形，则，，由旋转性质可知，，，证明，所以，再由平行线的判定即可求证； 由是边长为的等边三角形，点是的中点，则，，，所以，然后通过勾股定理求出即可． 【解答】（1）解：证明：为等边三角形， ，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：是边长为的等边三角形，点是的中点， ，，， ， 在中，， ． 41.（25-26·四川期中）如图， 在中， ， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， 连接， ， 作于点， 分别交， 于点，． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】 见解答 【解析】（1）根据旋转的性质可得，，结合已知可得，进而可得，根据三角形的外角的性质得出； （2）过点作交的延长线于点，根据的结论得出，，进而证明，得出，即可得证． 【解答】（1）解：将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作交的延长线于点， 又， ， ， ，即是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ． 42.（25-26·辽宁模拟）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． （1）如图，当经过点时，求证：； （2）如图，当，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）根据旋转，得到，得到，推出是等边三角形，得到，平角求出，三角形的内角和定理推出，即可得证； （2）过点作，垂足为，旋转得到，等积法求出，进而得到是的角平分线，平行加上角平分线的定义，推出，即可得证． 【解答】（1）解：证明：是旋转得到的图形， ，， 是等边三角形． ． ， ， ． ， ． （2）证明：过点作，垂足为． ， ， ． 是旋转得到的图形， ，． ． ． ． 是的角平分线， ． ， 是等腰三角形， ． 43.（25-26·辽宁期中）如图，已知是等边三角形，点在线段上，点在直线上，且，将绕点顺时针旋转至，连接． （1）证明：是等边三角形； （2）证明：； （3）如图，如果点在线段的延长线上，其它条件不变，线段，，之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】见解答 见解答 ，理由见解析 【解析】 （1）由旋转可得，可得是等边三角形； （2）由可得，进而得，根据是等边三角形，可得，即可证，得，，而，故； （3）由绕点顺时针旋转至，可得是等边三角形，即可得，又是等边三角形，可得；而，可推得，从而，可得． 【解答】（1）解：证明：绕点顺时针旋转至， ，， ，， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：，理由如下： 绕点顺时针旋转至， ，， 是等边三角形， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 44.（25-26·河北期中）如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 【答案】见解答； 见解析； ． 【解析】（1）根据旋转的性质可得：，，根据是等边三角形，可得，，所以可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； ①首先设，把和分别用含的代数式表示出来，可得，根据同旁内角互补两直线平行可证中结论成立； ②由可知，根据可得，可以得到角之间的关系，根据角之间的关系列方程，解方程求出的度数． 【解答】（1）解：证明：根据旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 点与点关于直线对称， ，， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ； 如下图所示，连接 点与点关于直线对称， ， ， 由知， ，， 由可知， ， ， ， 由知， ， ， 解得：， 45.（25-26·湖北月考）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，连接，交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，将图中的绕点顺时针旋转一个角度（旋转角小于），连接，探究线段、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】见解答 见解答 ，理由见解答 【解析】（1）先证，结合和均为等边三角形可证即可求解； （2）根据题意可证，得到，结合，可得即可证明； （3）在上截取，连接，可证，得到，继而得到为等边三角形，然后可得． 【解答】（1）解：证明：和均为等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）由知， ，即， ， ，即， 在和中， ， ， 又， ， （内错角相等，两直线平行）． （3），理由如下： 在上截取，连接， 同可证， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ，即， 为等边三角形， ， ， 即． 真题汇编 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $