第二十三章 旋转（知识归纳与题型突破，12题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十三章 旋转知识归纳与题型突破（12题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、旋转及其性质 1、旋转 把一个平面图形绕着平面内的一点O转动一个角度。（旋转中心：O点，旋转角：转动的角度） 2、性质 ①对应点到旋转中心的距离相等 ②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等 二、中心对称与中心对称图形的性质 名称 中心对称 中心对称图形 定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 性质 ①两个图形完全重合． ②对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 区别 ①两个图形的关系． ②对称点在两个图形上. ①具有某种性质的一个图形． ②对称点在一个图形上． 联系 若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称；若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形． 三、关于原点对称的坐标 两个点关于原点对称时，他们的坐标符号相反（或互为相反数），即点P（x，y）关于原点O的对称点P′的坐标是（-x，-y）. 03 题型归纳 题型一　判断生活中的旋转现象 例：（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）下列运动：①钟表指针的转动；②钟摆的摆动；③汽车方向盘的转动；④汽车在笔直的公路上行驶，其中属于旋转的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的判断，根据旋转的概念解答即可．解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的概念，可知： ①钟表指针的转动属于旋转；②钟摆的摆动属于旋转；③汽车方向盘的转动属于旋转； ④汽车在笔直的公路上行驶属于平移． 故其中属于旋转的是①②③，有3个． 故选：C． 2．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（　　） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的概念，根据旋转的概念求解即可． 【详解】属于旋转的现象是用钥匙开锁． 故选：B． 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）嘉嘉和爸爸非常自律，每天晚饭后都要从7点钟开始进行半个小时的体育锻炼，在锻炼期间，钟表上的分针（   ） A．顺时针旋转了 B．逆时针旋转了 C．逆时针旋转了 D．顺时针旋转了 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解决本题的关键在于知道分针走一大格是． 钟面上指针转动的方向就是顺时针，分针走一大格是，从7点钟到7点半走了6大格，据此即能求解． 【详解】解：顺时针旋转了， 故选：D． 题型二　图形旋转的判定 例：（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 5．（2023·湖北荆州·一模）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应图形即可． 【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是： ． 故选：D 6．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到． 故选：C 7．（23-24九年级上·河南周口·期末）观察如图所示的图案，它可以看做图案的 通过_____（方式）得到的（    ） A．三分之一，平移 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转和平移，在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，在同一平面内，将一个 图形 上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故选：D. 8．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是学生对旋转和平移的掌握程度，根据平移后的图形与原图形完全相同，旋转后的图形与原图形方向不同，形状大小相同逐项判断即可． 【详解】解：A．顺时针旋转即可得到该选项的图形，故不符合题意； B．逆时针旋转即可得到该选项的图形，故不符合题意； C．不能由图形M经过一次平移或旋转得到，故符合题意； D．顺时针旋转即可得到该选项的图形，故不符合题意． 故选：C． 题型三　旋转三元素的判定 例：（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在等边中，点D是边上的点，以为边作等边，连结． (1)填空：可以看成△________以点________为旋转中心，________时针旋转________度得到； (2)若，求的度数． 【答案】(1),,逆，(2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及选择的相关知识点，证是解题关键． （1）由题意可证，即可求解； （2）根据，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： ∴ 即： ∴ 故：可以看成以点为旋转中心，逆时针旋转度得到， 故答案为：，，逆， （2）解：∵ ∴， ∴ 10．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为点P， 旋转中心是点P， 故选：A． 11．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 12．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查旋转的性质，正确得出旋转角为是解题关键．根据旋转的性质旋转角为，结合，，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到， ∴旋转角为， ∵，， ∴，即旋转角的度数是， 故答案为： 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题重点考查正多边形内角度数的求法、旋转的性质等知识，求得是解题的关键． 由五边形是正五边形，求得，若点在的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 点在的延长线上， ， ， 旋转的最小度数为， 故答案为：． 题型四　利用旋转的性质求解 例：（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，摆动臂可绕点D旋转，． （1）在旋转过程中，当时，则的长为 ． （2）若摆动臂顺时针旋转，点D的位置由外的点转到其内的点处，连接，如图②，此时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接，由旋转的性质可得，，从而得到，进而得到，再由勾股定理可得，再证明，可得． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）如图，连接， 由旋转的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：. 15．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在方格纸中的经过变换得到，正确的变换是（     ）    A．把 向右平移格 B．把 向右平移格，再向上平移格 C．把 绕着点 顺时针旋转，再向右平移格 D．把 绕着点 逆时针旋转，再向右平移格 【答案】D 【分析】本题用到了旋转变换与平移变换，观察图象可知，先把绕着点逆时针方向旋转，然后再向右平移即可得到． 【详解】解：根据图象，绕着点逆时针方向旋转与形状相同，向右平移格就可以与重合． 故选D． 16．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，当点B的对应点落在边上时，的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握这些性质是解题的关键． 利用旋转得出，，再利用等边对等角即可求解． 【详解】由旋转可得，，， ∴， 即的度数为． 故选：D． 17．（2024·陕西西安·二模）如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时的度数等于 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转可得，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵将逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五　利用旋转的性质证明 例：（2024·广东湛江·一模）综合与实践 主题：研究旋转的奥妙． 素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍． 步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点A的对应点为，连接． 猜想与证明： (1)直接写出线段与线段的数量关系． (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识． （1）通过观察，测量，猜想等方式即可得到； （2）连接，先证明是等边三角形，进而证明，问题得证． 【详解】（1）解：； （2） 证明：如图，连接． 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， ， 即． 在和中， ， ， ． 19．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）已知是等腰三角形，．阅读下列过程，回答第2、3两问． (1)特殊情形：如图1，E是上一点，当时，有 (2)发现探究：如图2，E是三角形内一点，当，且时，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展运用：如图3，E是三角形内一点，，且，，，则 度． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3)150 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，进而利用等式的性质解答即可； （2）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； （3）由旋转构造出，进而得出，然后用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，在简单计算即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，， ， ， 即； （2）解：，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ， ； （3）解：将绕点旋转得，连接， ， ，，， 是等边三角形， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， ， ， 又， ； 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点． 21．（23-24八年级下·山东聊城·期末）综合与实践 【问题情景】 数学活动课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动 （1）小红将任意三角形绕点C旋转，得到（如图1），连接，，得到四边形，则四边形的形状是______． 【探究与实践】 （2）小亮受到此问题的启发，继续进行探究，当满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【拓展应用】 （3）大刚深入研究，并提出新的探究点， 如图2，将正方形与一个直角的顶点重合并旋转直角，使得直角的一边与交于点E，另一边与的延长线交于点F，作的平分线交于点G，连接，试判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了图形的旋转结合四边形的判定与性质，涉及了三角形的判定与性质，熟练掌握四边形的判定方法及三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）利用旋转得对角线互相平分即可判定； （2）利用对角线相等的平行四边形是矩形判定即可； （3）先证，再证即可判定． 【详解】（1）四边形的形状是平行四边形，理由如下： 由旋转得：，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （3），理由如下： ∵正方形中，， ∵， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型六　平面直角坐标系中图形旋转 例：（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到（点、、分别与点、、对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点、、分别与点、、对应），请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图形见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——平移和旋转： （1）先找到点A，B，C平移后的对应点、、，再顺次连接，即可求解； （2）先找到点A，B，C平移后的对应点、、，再顺次连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求；点的坐标为． 23．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转变换的性质，平移的性质，掌握旋转变换的性质，平移的性质是解本题关键． 将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标，向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， 将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标， 向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为． 故选：D． 24．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，已知，，将线段绕点按顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的旋转变换、三角形全等的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．如图（见解析），证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 25．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，将点P绕着原点O顺时针旋转后的坐标为 ． 【答案】 【分析】 本题综合考查全等三角形与一次函数，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，即可得到，可求出点坐标和直线解析式，最后根据求出点坐标即可． 【详解】 如图，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，    由题意可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴直线直线解析式为， ∴设， ∵在第一象限， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（2024·辽宁锦州·二模）如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．根据成中心对称的图形的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，由绕原点旋转得到， 所以与关于坐标原点成中心对称， 则点与其对应点关于坐标原点对称． 又因为点坐标为， 所以点坐标为． 故答案为：． 27．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）已知点的坐标为，将点绕着坐标原点顺时针旋转后，点恰好落在直线上，那么点的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、旋转的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，将点绕着坐标原点顺时针旋转后得到，作轴于，则，由旋转的性质可得：，，再由含角的直角三角形的性质并结合勾股定理得出，将代入一次函数解析式即可得出的值． 【详解】解：如图，将点绕着坐标原点顺时针旋转后得到，作轴于，则， ，点的坐标为， ， 由旋转的性质可得：，， ， ，， ， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 28．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如，，都是格点． (1)将绕点B逆时针旋转得到，在网格中画出； (2)在（1）的变换中，若中有点，则点P的对应点的坐标是＿＿＿＿． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，解题关键是熟练掌握相关知识． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：观察图象可知，点P的对应点的坐标， 故答案为：． 题型七　图形旋转的规律问题 例：（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的规律探究．熟练掌握旋转的性质，所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理，是解题的关键． 过点作轴于，求出的长，进于求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每6次一个循环，进而求出第2024次旋转后，点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， ∴逆时针旋转后，得，以此类推，6次一个循环， ， ∴第2024次旋转后，点的坐标为， 故选：A． 30．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查了点的坐标变化规律．每旋转4次则回到原位置，根据点C的坐标为，可得图形旋转次，即可求解． 【详解】解：如图， 由题可知，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵点C的坐标为， ∴旋转后点C在第二象限内， ∴图形旋转次点C的坐标为， ∵，，，， ∴最后点C的坐标为，则旋转次数可以是2025． 故选：C 31．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，点O为平面直角坐标系的原点，是等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，其中点B的坐标为，若以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2024次后，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律，等边三角形的性质，勾股定理，能根据所给旋转方式发现每旋转六次，点的位置重复出现及熟知勾股定理是解题的关键． 根据所给旋转方式发现每旋转六次，点的位置重复出现，再结合是等边三角形及旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以每旋转六次，点的位置重复出现． 又因为余2， 所以旋转2024次后点的位置与旋转2次后点的位置相同． 如图所示， 过点作轴的垂线，垂足为， 是等边三角形，且点坐标为， ． 由旋转可知， ，， ， ． 在中， ， ． 点的坐标为． 则旋转2024次后点的坐标为． 故选：B ． 32．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果． 本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B 33．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，的顶点坐标分别为、、，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化-旋转，规律型-点的坐标，根据旋转找到规律是解题的关键． 观察图形可知与重合，6次一个循环利用规律即可得出答案． 【详解】解：画图可知： ，，，，， 6次一个循环， 故选C． 34．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律， ∴每4次循环一周，． ， ∴点与同在一个象限内， 故答案为：． 35．（2024·广东汕头·一模）已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旅转；再绕点C顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用含角的直角三角形的性质求、，再根据勾股定理求得，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得，即可得解． 【详解】解：经历六次旋转后点落在点处，过作于点，设点为正六边形的中心，连接，如图： ∵在中，，， ∴， ∴，， ∵点是正六边形的中心， ∴， ∴， ∴点的坐标是：． 故答案为： 题型八　中心对称 例：（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，放入三个小正方形后形成一个中心对称图形，则放入的三个小正方形的面积之和为 ． 【答案】1 【分析】此题考查中心对称图形，正方形的性质、全等三角形的判定和性质，设以A为顶点的正方形为正方形，延长交于点O，证明，则，，由中心对称可知，设，则，由题意可知，，由，则，解得，则，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解： 如图，设以A为顶点的正方形为正方形，延长交于点O，则， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 由题意可知， ， 设，则， 由中心对称可知，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴三个小正方形的面积之和为：， 故答案为：1 37．（22-23八年级下·宁夏银川·期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D．若，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】此题考查了中心对称的性质、矩形的判定和性质等知识，过点作于点F，过点A作于点E，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，则，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点F，过点A作于点E， ∵于点D． ， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴ ∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点， ∴，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形的面积． 故答案为：12． 38．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，由阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 故答案为： 39．（23-24七年级下·福建泉州·期末）在中，为边上的中线． (1)用刻度尺画出关于点的中心对称图形； (2)若，求线段的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画中心对称图形，中心对称图形的性质，三角形的三边关系： （1）根据题意，画出即可； （2）根据成中心对称图形的性质，结合三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】（1）延长至点，使，连接， 如图，即为所求； （2）与关于点中心对称， ， 在中，，即， ， ． 40．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)①；；；② 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）设，利用中点坐标公式分别计算出x和y的值即可； （2）①利用中心对称的性质画图可得到点，从而得到它们的坐标． ②观察点坐标的递变规律，可得出点与点的坐标相同． 【详解】（1）设， ∵点的对称中心是点A， ∴A点坐标为， 故答案为：； （2）①点的坐标分别为．（见下图） 故答案为：． ②点关于点C的对称点，与点重合，依次类推，点与点重合，点与点重合……， 探索规律可知：设n为正整数，则点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴点与点的坐标相同，即， 故答案为： 41．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)四边形为___________四边形； (3)点（在格点上）为平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)平行 (3)3 【分析】本题属于四边形综合题，考查作图旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，的对应点，，即可． （2）根据平行四边形的判定即为判定． （3）画出符合条件的平行四边形即可解决问题． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：连接，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行． （3）解：如图所示，满足条件的点的坐标为，，,共有3个． 故答案为：3. 题型九　中心对称图形 例：（2024·山东临沂·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，难度较小，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 中心对称图形是绕某一点旋转后的图形与原来的图形重合，轴对称图形是被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 43．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两张相同的长方形纸片如图叠放，关于新的组合图形的对称性（     ） A．既是轴对称，也是中心对称 B．是轴对称，不是中心对称 C．不是轴对称，是中心对称 D．既不是轴对称，也不是中心对称 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形，根据沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形；绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形进行判断即可． 【详解】解：如图可得，新的组合图形是轴对称，也是中心对称， 故选：A． 44．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．此题考查了轴对称图形和中心对称图形，将一个图形沿着某条直线翻折，直线两侧能完全重合的图形叫轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键． 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C.该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D.该图形不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 45．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，中，是上一点，交于，交于． (1)求证：四边形是中心对称图形； (2)若平分，求证：点，关于直线对称． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，即可得证； （2）由角平分线的定义得．进而利用平行线的性质得从而得．四边形是菱形，根据菱形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是中心对称图形． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴点，关于直线对称． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 题型十　关于原点的中心对称 例：（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点旋转后的图形； (2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的平移，中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质可得到、、关于原点中心对称点、、的坐标，然后依次连接即可； （2）利用点与的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点、、的对应点、、的坐标，然后依次连接即可； （3）同（2）得到点、、的坐标，再由中心对称的性质，知道点点为和的中点，即可得到的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可知和关于原点中心对称， 则可得到，， 关于原点中心对称的对应点分别为、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： （2）解：根据题意可知，点向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点，则向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ， 分别将，，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： （3）解：根据题意可知，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，则向右平移个单位，向上平移个单位得到 ， 分别将，，向右平移个单位，向上平移个单位得到对应点、、， 平移后的和关于点成中心对称，且、、， 设对称中心，由题意可知，点为和的中点 那么， ， ． 故答案为：． 47．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）已知点向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点，则点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平移法则求出和的值，再根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．本题考查了坐标与图形变化平移和关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握平移法则和关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， ，， ，， 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 48．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行于轴的直线的特点，熟练掌握平行于轴的直线的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线的特点以及得出坐标； （2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系． 【详解】（1）解：轴，，， 点B，D的纵坐标分别是1，． ， ． （2）解：，的横、纵坐标互为相反数， 关于原点对称． 同理，关于原点对称． 49．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， 【分析】（1）关于x轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （2）关于轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （3）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （4）与轴平行的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同，据此结合，两点的坐标可求出，； （5）在第二、四象限两条坐标轴夹角的平行线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，． 【详解】（1）解： ∵、关于x轴对称，则这两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （2）解： ∵、关于轴对称，则这两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （3）解：、关于原点对称，则这两点的横、纵坐标均互为相反数， ∵， ∴，． （4）解：直线轴，则、两点的横坐标相等，纵坐标不相等， ∵， ∴，． （5）解：、在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上，则点、点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∵， ∴，． 【点睛】本题考查了关于x轴、轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，熟记关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的纵坐标相等，横纵标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题关键． 题型十一　图案设计 例：（24-25九年级上·全国·课后作业）以图①（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，其中不能得到图②的是 ．（填序号） ①只向右平移1个单位长度； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度； ③先绕着点O旋转，再向右平移1个单位长度； ④绕着的中点旋转． 【答案】① 【分析】本题考查旋转变换的性质、轴对称变换的性质、平移变换的性质，根据旋转变换的性质、轴对称变换的性质、平移变换的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：如图，将图1只向右平移1个单位长度不能得到图2，故①符合题意； 将图1先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度能得到图2，故②不符合题意； 将图1先绕着点O旋转，再向右平移1个单位长度能得到图2，故③不符合题意； 将图1绕着的中点旋转能得到图2，故④不符合题意； 故答案为：①． 51．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分．    【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的性质和中心对称，由于平行四边形和圆都是中心对称图形，于是连接平行四边形的对角线的交点和圆心的直线可把纸片分成分成面积相等的两部分，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，    直线即为所求． 52．（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用旋转或者轴对称设计方案的知识．根据轴对称图形及中心对称图形的概念，设计图案即可． 【详解】解：所画图形如图所示． ． 53．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）； （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）； 【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示， （2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示， 题型十二　图形旋转的综合问题 例：（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 55．（23-24八年级下·北京海淀·期末）已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点为线段的中点，连接．直接写出和的数量关系． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和含30度角的直角三角形的性质是解题关键． （1）根据旋转的定义画图即可，再证出是等边三角形，然后证出四边形是矩形，由此即可得出结论； （2）以为边作等边三角形，连接，根据等边三角形及全等三角形的判定和性质得出，，再由旋转的性质得出点H、P、Q三点共线，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：画图如下：   和的数量及位置关系为，，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）， ∴，． （2），理由如下： 以为边作等边三角形，连接，如图所示： ∵和都是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∵将线段逆时针旋转得线段， ∴， ∵， ∴点H、P、Q三点共线， ∵， ∴， ∴． 56．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1)图2成立，，证明见解析 (2)图3不成立，、、的关系是，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 57．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； (3)． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 58．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 试卷第2页，共60页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转知识归纳与题型突破（12题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、旋转及其性质 1、旋转 把一个平面图形绕着平面内的一点O转动一个角度。（旋转中心：O点，旋转角：转动的角度） 2、性质 ①对应点到旋转中心的距离相等 ②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等 二、中心对称与中心对称图形的性质 名称 中心对称 中心对称图形 定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 性质 ①两个图形完全重合． ②对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 区别 ①两个图形的关系． ②对称点在两个图形上. ①具有某种性质的一个图形． ②对称点在一个图形上． 联系 若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称；若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形． 三、关于原点对称的坐标 两个点关于原点对称时，他们的坐标符号相反（或互为相反数），即点P（x，y）关于原点O的对称点P′的坐标是（-x，-y）. 03 题型归纳 题型一　判断生活中的旋转现象 例：（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）下列运动：①钟表指针的转动；②钟摆的摆动；③汽车方向盘的转动；④汽车在笔直的公路上行驶，其中属于旋转的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（　　） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）嘉嘉和爸爸非常自律，每天晚饭后都要从7点钟开始进行半个小时的体育锻炼，在锻炼期间，钟表上的分针（   ） A．顺时针旋转了 B．逆时针旋转了 C．逆时针旋转了 D．顺时针旋转了 题型二　图形旋转的判定 例：（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 5．（2023·湖北荆州·一模）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·河南周口·期末）观察如图所示的图案，它可以看做图案的 通过_____（方式）得到的（    ） A．三分之一，平移 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 8．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（　　） A．   B．   C．   D．   题型三　旋转三元素的判定 例：（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在等边中，点D是边上的点，以为边作等边，连结． (1)填空：可以看成△________以点________为旋转中心，________时针旋转________度得到； (2)若，求的度数． 10．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 11．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 12．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为 ． 题型四　利用旋转的性质求解 例：（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，摆动臂可绕点D旋转，． （1）在旋转过程中，当时，则的长为 ． （2）若摆动臂顺时针旋转，点D的位置由外的点转到其内的点处，连接，如图②，此时，则的长为 ． 15．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在方格纸中的经过变换得到，正确的变换是（     ）    A．把 向右平移格 B．把 向右平移格，再向上平移格 C．把 绕着点 顺时针旋转，再向右平移格 D．把 绕着点 逆时针旋转，再向右平移格 16．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，当点B的对应点落在边上时，的度数为（　　）    A． B． C． D． 17．（2024·陕西西安·二模）如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时的度数等于 ． 题型五　利用旋转的性质证明 例：（2024·广东湛江·一模）综合与实践 主题：研究旋转的奥妙． 素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍． 步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点A的对应点为，连接． 猜想与证明： (1)直接写出线段与线段的数量关系． (2)证明（1）中你发现的结论． 19．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求．         20．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）已知是等腰三角形，．阅读下列过程，回答第2、3两问． (1)特殊情形：如图1，E是上一点，当时，有 (2)发现探究：如图2，E是三角形内一点，当，且时，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展运用：如图3，E是三角形内一点，，且，，，则 度． 21．（23-24八年级下·山东聊城·期末）综合与实践 【问题情景】 数学活动课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动 （1）小红将任意三角形绕点C旋转，得到（如图1），连接，，得到四边形，则四边形的形状是______． 【探究与实践】 （2）小亮受到此问题的启发，继续进行探究，当满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【拓展应用】 （3）大刚深入研究，并提出新的探究点， 如图2，将正方形与一个直角的顶点重合并旋转直角，使得直角的一边与交于点E，另一边与的延长线交于点F，作的平分线交于点G，连接，试判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 题型六　平面直角坐标系中图形旋转 例：（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到（点、、分别与点、、对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点、、分别与点、、对应），请在图中画出，并写出点的坐标． 23．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，已知，，将线段绕点按顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标是 ． 25．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，将点P绕着原点O顺时针旋转后的坐标为 ． 本题综合考查全等三角形与一次函数，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，即可得到，可求出点坐标和直线解析式，最后根据求出点坐标即可． 如图，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，    26．（2024·辽宁锦州·二模）如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ．    27．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）已知点的坐标为，将点绕着坐标原点顺时针旋转后，点恰好落在直线上，那么点的值为 ． 28．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如，，都是格点． (1)将绕点B逆时针旋转得到，在网格中画出； (2)在（1）的变换中，若中有点，则点P的对应点的坐标是＿＿＿＿． 题型七　图形旋转的规律问题 例：（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 30．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 31．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，点O为平面直角坐标系的原点，是等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，其中点B的坐标为，若以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2024次后，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，的顶点坐标分别为、、，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为 ． 35．（2024·广东汕头·一模）已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旅转；再绕点C顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是 ． 题型八　中心对称 例：（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，放入三个小正方形后形成一个中心对称图形，则放入的三个小正方形的面积之和为 ． 37．（22-23八年级下·宁夏银川·期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D．若，则阴影部分的面积之和为 ． 38．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 39．（23-24七年级下·福建泉州·期末）在中，为边上的中线． (1)用刻度尺画出关于点的中心对称图形； (2)若，求线段的取值范围． 40．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 41．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)四边形为___________四边形； (3)点（在格点上）为平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点有___________个． 题型九　中心对称图形 例：（2024·山东临沂·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两张相同的长方形纸片如图叠放，关于新的组合图形的对称性（     ） A．既是轴对称，也是中心对称 B．是轴对称，不是中心对称 C．不是轴对称，是中心对称 D．既不是轴对称，也不是中心对称 44．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B．C． D． 45．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，中，是上一点，交于，交于． (1)求证：四边形是中心对称图形； (2)若平分，求证：点，关于直线对称． 题型十　关于原点的中心对称 例：（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点旋转后的图形； (2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 47．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）已知点向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点，则点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 49．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 题型十一　图案设计 例：（24-25九年级上·全国·课后作业）以图①（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，其中不能得到图②的是 ．（填序号） ①只向右平移1个单位长度； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度； ③先绕着点O旋转，再向右平移1个单位长度； ④绕着的中点旋转． 51．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分．    52．（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 53．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 题型十二　图形旋转的综合问题 例：（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 55．（23-24八年级下·北京海淀·期末）已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点为线段的中点，连接．直接写出和的数量关系． 56．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 57．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 58．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 试卷第2页，共60页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$