精品解析：广西壮族自治区来宾市武宣县中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2028届高一数学12月月考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再根据并集含义即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：D. 2. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 3. 已知函数则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式即可求得函数值. 【详解】因为， 所以． 故选：B. 4. 下面与角终边相同的角是（ ） A. 25° B. C. D. 225° 【答案】D 【解析】 【分析】由终边相同角的概念进行求解． 【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：D 5. 若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 6. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得答案. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：D. 7. 已知设，则函数的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果. 【详解】当，即时，在上单调递增，所以，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以； 综上：函数的最大值为1 故选：B 8. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 若角和角的终边相同，则 C. 钝角是第二象限角 D. 经过4小时，时针转了 【答案】CD 【解析】 【分析】根据角的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】小于的角还包括零角和负角，锐角是大于小于的角，故A错误； 若，，则角和角的终边相同，但，B错误； 因为大于且小于的角为钝角，所以钝角是第二象限角，C正确； 因为时针旋转为顺时针，所以形成的角为负角，故经过4小时，时针转了，D正确． 故选：CD 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 命题：“”的否定是“” C. 已知函数的定义域为，则定义域为 D. 若函数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数的性质令即可求解A，根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解B，根据求出，得到定义域可判断C，利用换元法即可求解D. 【详解】对于A， 令，则，则，故且的图象恒过定点，A正确， 对于B，命题：“”的否定是“” B错误， 对于C， 的定义域为，则定义域为满足， 解得，故定义域为，C错误， 对于D， 令，则， 故， 故，故D正确， 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 函数的定义域为____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据解析式有意义可得出关于实数的不等式组，进而可求得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 12. 若二次函数在区间有两个零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合区间零点个数列不等式求参数范围. 【详解】由的图象开口向上，且对称轴， 所以，则. 故答案为： 13. 已知函数，函数，则函数的零点个数为_____个． 【答案】2 【解析】 【分析】函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，求的表达式，作图数形结合即可得到结果. 【详解】由得，函数的零点个数为函数与直线的交点个数. 由题意得，，则， ∴. 如图，在坐标系中画出函数与的图象，观察图象可知，函数只有2个零点． 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质直接计算即可； （2）由对数的运算性质直接计算即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 . 15. 对于函数． （1）判断的单调性，并用定义法证明； （2）是否存在实数a使函数为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）在R上单调递增； （2）存在使得为奇函数. 【解析】 【分析】(1)利用函数单调性的定义证明； (2) 利用函数奇偶性的定义求参数 【小问1详解】 证明：任取且， 则 又 且， 即 在R上单调递增． 【小问2详解】 若为R上为奇函数，则对任意的 都有 16. 专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． （1）试求的函数关系式． （2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 【答案】（1） （2）和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节，理由：时，令， 解得， 时，，解得， 故和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节. 【解析】 【分析】（1）根据题目信息和图象，分和两种情况，代入点，求出解析式； （2）分和两种情况，得到不等式，解不等式求出解集，得到结论. 【小问1详解】 当时，设，将代入得， ，解得， 故， 将代入得， 解得， 故， 综上， 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）若在区间上单调，求实数的取值范围； （2）若在区间上的最大值为4，求实数的值； （3）求在区间上的最小值． 【答案】（1） （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得，计算即可； （2）分类讨论与的大小关系，求出最大值即可求出参数； （3）分类讨论，，，分别计算即可. 【小问1详解】 由题可知，函数的图像开口向上， 对称轴为直线，若使得函数在上单调递增 则满足，解得， 若使得函数在上单调递减，则满足，解得， 综上可得实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为函数是开口向上的抛物线，对称轴为直线 则自变量离对称轴越远，函数值越大， 因，则区间中点对应数值为 ①当，即时， 解得，符合题意， ②当，即时， 解得，符合题意， 综上可得，实数的值为或． 【小问3详解】 ①当即时，函数在区间单调递增， 所以函数的最小值为； ②当，即时， 函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为； ③当即时，函数在区间单调递减， 所以函数的最小值为， 综上可得，函数的最小值为 18. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 【答案】（1）是，理由如下： 对任意的，， 所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； （2） ①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故， 则与， 则， 令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，， 故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ② 【解析】 【分析】（1）根据定义，求出是否为幂函数即可得； （2）①结合“积幂函数”，计算即可得，再令，可得，再构造函数，结合零点的存在性定义及其单调性即可得证；②由题意计算可得，结合复合函数单调性，可得在上的单调性，再结合零点与方程的根的关系即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 由，则，又，， 若函数在上有两个零点， 则在上有两个不同根，故. 【点睛】关键点点睛：②中关键点在于利用对数运算，得到，即可由单调性，得到单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一数学12月月考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 3. 已知函数则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下面与角终边相同的角是（ ） A. 25° B. C. D. 225° 5. 若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 6. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知设，则函数的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 若角和角的终边相同，则 C. 钝角是第二象限角 D. 经过4小时，时针转了 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 命题：“”的否定是“” C. 已知函数的定义域为，则定义域为 D. 若函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 函数的定义域为____. 12. 若二次函数在区间有两个零点，则实数的取值范围是___________. 13. 已知函数，函数，则函数的零点个数为_____个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算 （1） （2） 15. 对于函数． （1）判断的单调性，并用定义法证明； （2）是否存在实数a使函数为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 16. 专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． （1）试求的函数关系式． （2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 17. 已知函数． （1）若在区间上单调，求实数的取值范围； （2）若在区间上的最大值为4，求实数的值； （3）求在区间上的最小值． 18. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $