精品解析：河北省枣强中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度上学期高二年级期中考试数学学科试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（ ） A. 25 B. 50 C. 10 D. 20 2. 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 4. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若圆与直线相切，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，点P满足，则点P到x轴距离的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记直线，，则（ ） A. 过定点 B. 的倾斜角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知直线和椭圆，下列结论正确的有（    ） A. 当时，直线过椭圆C的焦点 B. 当时，直线与椭圆C相交 C. 当时，直线与椭圆C没有公共点 D. 当时，椭圆C上的点到直线距离的最小值为 11. 已知圆，椭圆为圆上的动点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，圆的圆心为，直线与轴交于点，若点到直线的距离分别为，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：（）与圆：（）外切，则______. 13. 某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为__________. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，是上位于第一象限内的一点，且.过原点作平行于的直线，与和的角平分线分别交于两点，且，则实数的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点. （1）试用向量，，表示向量； （2）求直线与所成角的余弦值. 16. 记圆，直线． （1）若圆心T在l上，求a； （2）若圆T与l相切，求a； （3）若圆T与l相交，求a的取值范围． 17. 已知椭圆E：离心率为，且过点， （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线与椭圆E相交于A､B两点，求面积的最大值. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点． （1）证明：． （2）点F在棱BC上，且直线AF与平面PAB所成角的正弦值为． （ⅰ）求线段BF的长； （ⅱ）M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离． 19. 如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． （1）写出的坐标； （2）证明：直线过定点； （3）、、、四点能否共圆？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期高二年级期中考试数学学科试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（ ） A. 25 B. 50 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆可得，得， 所以到的左､右焦点的距离之和为. 故选：D 2. 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】通过空间向量坐标运算计算，再代入空间向量数量积求解即可. 【详解】∵，， ∴ 故选：D 4. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】若，则即或.检验或时，故“”是“的必要不充分条件. 【详解】若，则即或. 当时，，，； 当时，，，； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选C 5. 若圆与直线相切，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和圆相切得出圆心到直线距离为半径得出参数. 【详解】圆的圆心为，半径为不为， 因为圆与直线相切， 则， 则. 故选：D. 6. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】 由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：， 故选：A. 7. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，点P满足，则点P到x轴距离的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设， 由得到，由到轴的距离为，又，得到在平面的投影为圆心，半径为的圆面，此圆面中的点到原点的最大距离为圆心到原点距离加上半径，从而得到到轴的距离的最大值. 【详解】设，，， ，， ， ， ， ， 表示以为球心，半径为的球， 到轴的距离为， ， 在平面的投影为圆心，半径为的圆面， 此圆面中的点到原点的最大距离为圆心到原点距离加上半径， 圆面中的点到原点的最大距离为， 到轴的距离的最大值为. 故答案为：. 8. 椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中点弦问题，利用 “点差法”求解即可. 【详解】设过点的直线与椭圆相交于，两点，则 ， 且，两式相减，整理得：， 所以，即直线的斜率为. 故所求直线方程为，即. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记直线，，则（ ） A. 过定点 B. 的倾斜角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对直线方程进行整理变形即可得出过定点，利用直线一般方程中的系数的关系即可得出直线关系和倾斜角的范围. 【详解】对于选项A，整理直线方程：，则，解得，即过定点，故A正确； 对于选项B，整理直线方程：，当，即时，的倾斜角为直角，故B错误； 对于选项C，代入，可得直线，，显然，故C正确； 对于选项D，若，则，解得，故D正确. 故选：ACD 10. 已知直线和椭圆，下列结论正确的有（    ） A. 当时，直线过椭圆C的焦点 B. 当时，直线与椭圆C相交 C. 当时，直线与椭圆C没有公共点 D. 当时，椭圆C上的点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析椭圆的性质，可判断A的真假；将直线方程与椭圆方程联立，利用，可判断BC的真假；利用平行线间的距离公式，可判断D的真假即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 对椭圆，，，， 且焦点在轴上，所以焦点坐标为或. 将直线的方程与椭圆的方程联立，可得， 消去，整理得：. 由. 对A：当时，直线：经过点，故A正确； 对B：当时，直线与椭圆相交，故B正确； 对C：当时，直线与椭圆相切，所以直线与椭圆有且只有1个公共点，故C错误； 对D：因为直线与的距离为， 所以椭圆C上的点到直线：距离的最小值为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知圆，椭圆为圆上的动点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，圆的圆心为，直线与轴交于点，若点到直线的距离分别为，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据两点间距离公式及椭圆的方程，可判断A；根据三角形相似的判定定理，判断B；对直线的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求得的值，判断C；利用特殊点，对的值进行分析，可判断D. 【详解】设. 对于A，由题可知，化简得. 所以，故A正确； 对于B，，，. 因为，且，所以.故B正确； 对于C，由A知，，同理， 所以 当直线的斜率不存在时，其方程为，，； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得. 所以，所以. 综上所述，.故C正确； 对于D，当为圆与轴的右交点，即时，，，此时，. 故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：（）与圆：（）外切，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由两圆外切进行求解． 【详解】圆：（）的圆心为，半径为， 圆：（）的圆心为，半径为， 因为圆外切，则. 故答案为：3 13. 某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由，得， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，是上位于第一象限内的一点，且.过原点作平行于的直线，与和的角平分线分别交于两点，且，则实数的值为________. 【答案】7 【解析】 【分析】先根据平行线、角平分线、中位线的性质求得，然后根据椭圆的定义和余弦定理列方程，由此求得的值. 【详解】如图所示，因为，且的角平分线为，所以， 所以，易知为的中位线，所以， 设，则，， 由椭圆的定义可知，， 则，所以， 在中，由余弦定理得： ， 由得，， 解得，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点. （1）试用向量，，表示向量； （2）求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角形法则和中点公式求解. （2）由线线角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 因为是的中点， 所以. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，. 因为， 所以直线与所成角的余弦值为. 16. 记圆，直线． （1）若圆心T在l上，求a； （2）若圆T与l相切，求a； （3）若圆T与l相交，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出圆心，再应用点在直线上计算求解； （2）根据直线与圆相切得出圆心到直线距离等于半径计算求参； （3）根据直线与圆相交得出圆心到直线距离小于半径计算求参； 【小问1详解】 圆的圆心为， 因为圆心T在l上，所以，所以； 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 又圆T与l相切，所以，所以或； 【小问3详解】 圆的圆心为，半径为， 又圆T与l相交，所以，所以； 17. 已知椭圆E：离心率为，且过点， （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线与椭圆E相交于A､B两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式求得，将代入椭圆方程，即可求得和的值，即可求得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过二次型函数求解最值即可． 【小问1详解】 由题可知，又因为，故. 又点在椭圆上，故有，解得，则， 故椭圆的标准方程：. 【小问2详解】 联立直线与椭圆方程，有，整理得： . 根据韦达定理，有： ，解得. 弦长 点到弦的距离 ，当且仅当时，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点． （1）证明：． （2）点F在棱BC上，且直线AF与平面PAB所成角的正弦值为． （ⅰ）求线段BF的长； （ⅱ）M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由底面ABCD为正方形，底面ABCD，先证明平面PAB，进而证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，设，由线面角的向量求法列方程解出即可； （ii）由点到平面的距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 因为底面ABCD，且底面ABCD，所以． 因为底面ABCD为正方形，所以， 又因为，且PA，平面PAB，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以． 【小问2详解】 如图，以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Axyz， 则，，，，，． （ⅰ）设，则，． 易知平面PAB的一个法向量为， 设直线AF与平面PAB所成的角为θ，则，解得， 即． （ⅱ），，设平面AEF的法向量为， 则 取， 又，所以点M到平面AEF的距离为． 19. 如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． （1）写出的坐标； （2）证明：直线过定点； （3）、、、四点能否共圆？请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）、、、四点不能共圆，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出、、的值，即可得出点的坐标； （2）由题可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，设点、，将该直线的方程与椭圆方程联立，由已知条件得出，结合韦达定理得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可求出直线所过定点的坐标； （3）求出线段、的中垂线的方程，将这两直线的方程联立，求出外心的横坐标，根据可得出结论. 【小问1详解】 在椭圆中，，， 则，故. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾， 故直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，设点、， 由，得， ， 由韦达定理可得，． 由，得， 又，故， 即， 则， 化简整理得，于是直线的方程为， 因此直线过点. 【小问3详解】 、、、四点不能共圆，事实上，总在的外接圆的内部．理由如下： 线段的垂直平分线方程为，即． 同理，线段的垂直平分线方程为． 联立上述两个方程，得的外心的横坐标为 ． 因，故， 所以，于是， 所以在的外接圆的内部，故、、、四点不能共圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $