山东省泰安市高新区奥林匹克花园学校2025-2026学年八年级上学年12月份阶段性检测 数学试题

泰安市高新区奥林匹克花园学校2025学年12月份阶段性检测八年级上 一、单选题（共64分） 1．（本题4分）如图，将绕点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 3．（本题4分）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 4．（本题4分）下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 5．（本题4分）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（   ） A．众数是85分 B．中位数是95分 C．平均数是95分 D．方差是19 6．（本题4分）如图，正五边形中，点为边的中点，连接，为直线上一动点，连接，，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，已知线段，连接，，点E，F分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D． 8．（本题4分）在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点若平分，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（本题4分）如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（本题4分）某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班的20名男生进行了调查，结果如图所示． 据此判断下列说法错误的是（  ） A．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的平均数为39.1码； B．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的众数为40码； C．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的中位数为39码； D．在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是平均数． 11．（本题4分）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 12．（本题4分）关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 13．（本题4分）下列各式：①，②，③，④分解因式正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（本题4分）已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 15．（本题4分）四边形的对角线，垂足为，若，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 16．（本题4分）如图，将正方形、正方形、正方形放入长方形中，其中，，已知长方形的周长和中间正方形的边长，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（    ） ①乙的周长；②甲、乙的周长和；③丙、丁的周长差；④甲、乙、丙、丁的周长和 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（共24分） 17．（本题4分）若，则的值是 ． 18．（本题4分）如图，四边形是平行四边形，，，点是线段上一点，把沿折叠，点的对应点为，连接．若为等边三角形，则 ． 19．（本题4分）一组数据，，…，的平均数为10，方差为3，则，，…，的平均数为 ，方差为 ． 20．（本题4分）化简的结果是 ． 21．（本题4分）如图，在平行四边形中，，是的中点，连接，．下列结论：；；平分；若，，则平行四边形的面积为．其中正确的 ． 22．（本题4分）在平面直角坐标系中，点，．将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为 ． 三、解答题（共62分） 23．（本题8分）解分式方程： (1) (2) 24．（本题10分）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 25．（本题10分）先化简，再求值：，其中． 26．（本题11分）进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97． 九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 87 m 众数 n 86 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 27．（本题11分）在平行四边形纸片中，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ． (2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为，，求线段的长． 28．（本题12分）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市高新区奥林匹克花园学校2025学年12月份阶段性检测八年级上》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A D B C C C D 题号 11 12 13 14 15 16 答案 A C B D D C 1．C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据坐标系得出，根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：根据坐标系可得，将绕点旋转得到，则点的坐标为． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了分式的除法运算；设“□”中的式子为，把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案． 【详解】解：设“口”中的式子为， 原式 ， 所以当时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了因式分解的意义，求出x的值是解决问题的关键． 根据是的一个因式得出的值，再将的值代入原式求解m即可． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴， ∴， 将代入得， ， ∴． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查分式的化简与运算．选项A中分子与分母相等，故值为1；选项B、C、D通过取特殊值或运算规则可判断错误． 【详解】解：∵ ， ∴ ，故A正确． 不能约分，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选A． 5．D 【分析】本题考查了折线统计图、中位数、众数、方差、平均数等，读懂统计图，熟练掌握中位数、方差、众数、中位数的定义及求解方法是关键.根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一进行求解即可作出判断. 【详解】解：A．众数是90分，人数最多，故A选项错误； B．第5、6个数都是90，则中位数是分，故B选项错误； C．平均数是分，故C选项错误； D．方差是，故D选项正确， 故选：D． 6．B 【分析】连接，连接交于点，连接，根据正五边形的特点和两点之间线段最短，可推出的值最小时，点位于点处，再分别求出和的度数，即可求出的度数，进而解决问题． 【详解】解：连接，连接交于点，连接， 点为正五边形边的中点， 直线是正五边形的对称轴， ，， ， 的值最小时，点位于点处， 因此只要求出的度数即可． 五边形是正五边形， ，， ， ， ， ， 故当的值最小时，的度数为． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，正多边形的定义和性质，多边形的内角和公式，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，能够得到的值最小时，点位于点处是解题的关键． 7．C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解决此题的关键．连接，取中点，连接，，根据三角形中位线定理求得，的值，证得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，取中点，连接，， ∵E，G分别是，中点， ∴，， 同理可得，， ∵， ∴， 在中，． 故选：C． 8．C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行四边形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，进而求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，结合角平分线的性质、等腰三角形的判定求出，据此即可得解． 【详解】解：在中，，， ，， 点E是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据旋转的性质，平行线的性质计算即可． 【详解】∵， ． 由旋转，得，， ． ． ． 故选C． 10．D 【分析】本题考查了平均数、众数和中位数的运用，需要根据每个选项判断并计算平均数、中位数和众数，并理解鞋厂对这些统计量的兴趣即可． 【详解】解：A项：八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的平均数为码，故说法正确； B项：观察图表可知：有7人的鞋号为40码，人数最多，即众数是40码，故说法正确； C项：中位数是第10、11人的平均数，即39，∴中位数为39码，故说法正确； D项：在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是众数而不是平均数，故说法错误； 故选：D． 11．A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 12．C 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解的情况包括：解出的根使分母为零（增根），或化简后的整式方程无解（矛盾），由此计算即可得解，熟练掌握分式方程无解的情况是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 移项并合并同类项可得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴当，即时，原分式方程无解； 当时，， 当，即时，原分式方程无解； 综上所述，n的值为1或， 故选：C． 13．B 【分析】本题考查了因式分解，乘法公式． 根据平方差公式和完全平方公式逐一计算各式左、右两边的式子，比较即可． 【详解】解：①：右边展开为：，与左边不符，故①错误； ②：左边展开为：， 右边展开为：，与左边相等，故②正确； ③：右边展开为：，与左边不符，故③错误； ④：右边展开为：，与左边相等，故④正确； 综上，正确的有②和④，共2个， 故选B． 14．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练平行四边形的判定条件是解题的关键．根据题意，对题目中的条件任取两个组合，分类讨论所有情况，再结合平行四边形的判定条件，找出符合题意的情况即可． 【详解】解：如图， 当①②组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①③组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①④组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当①⑤组合时， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑦组合时， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②③组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当②④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑤组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑦组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑥组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑤⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑧组合时， ， 将绕点旋转，则点的对应点为点，点的对应点为点， 设点的对应点为点，则有， 、、在同一直线上， 由旋转的性质得，点可能落在线段上，落在延长线上，或者与点重合， 假设点落在线段上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 假设点落在延长线上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 综上所述，点只能与点重合，即， 四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑦组合时，同理⑤⑧组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑦⑧组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 综上所述，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有16种． 故选：D． 15．D 【分析】过点D作，过点C作，二线交于点O，则四边形是平行四边形，利用勾股定理，三角形三边关系定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：过点D作，过点C作，二线交于点O， 则四边形是平行四边形， ∴， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵， ∴， 故当C，O，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， 故选：D． 16．C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，平移的性质，设，，依题意，根据题意得出各线段的长，根据平移的性质分别求四块阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：设，，依题意， 乙的周长为：，故①正确； ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴丁的周长为： 丙的周长为： ∴丙、丁的周长差为，故③正确； ②甲、乙的周长和为，不是定值，故②不正确 根据平移可知，④甲、乙、丙、丁的周长和为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④ 故答案为：①③④． 17． 【分析】本题考查因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．原式变形为，提公因式合并同类项后得，再提公因式2得，将已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， 代入得： 原式， 故答案为：． 18． 【分析】先判断是菱形，根据菱形的性质可得：，，然后根据为等边三角形，可得，然后根据折叠的性质可得：，进而可得，然后过点E作，垂足为F，然后解直角三角形即可求出的值． 【详解】解：如图（1）所示， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ，， ，，， 为等边三角形， ， ， 沿折叠，得到， ， ， 过点E作，垂足为F，则， ， ， 在中，， ， 设，则，，由勾股定理可得：， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠问题，解直角三角形及等边三角形的性质等知识，解题的关键是：添加辅助线，构造两个特殊的直角三角形，然后解直角三角形即可． 19． 15 12 【分析】本题考查平均数和方差的计算，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变． 已知一组数据的平均数和方差，求这组数据变换后的平均数和方差，有这样的规律平均数只要和变换一致，而方差要乘以这个数字的平方，据此计算可得答案． 【详解】解：∵一组数据，，…，的平均数为10， ∴数据，，…，的平均数是； ∵数据，，…，的方差为3， ∴数据的方差是： ， ， ， ． 故答案为：15，12． 20． 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减法则． 将原式通分后合并，并利用平方差公式和提取公因式进行化简． 【详解】解： ． 21． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理．根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得：，可证正确；根据平行四边形对边相等，可证，从而可证成立；根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得：，根据平行线的性质可证，等量代换可得，可证正确， 由可知是直角三角形，可知，根据平行四边形的面积公式可得：，可知错误． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中点， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， , ， , 故正确； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故正确； 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 平分， 故正确； 由可知， ，， ， ， 故错误． 综上所述，正确的有． 故答案为： ． 22．或 【分析】分情况讨论：①线段绕点顺时针旋转得到线段，②线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，证明，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵点， ∴， ①线段绕点顺时针旋转得到线段， 如图，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②线段绕点逆时针旋转得到线段， 如图，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，能用分类讨论思想和添加常用辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 23．(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是掌握分式化简的法则． 先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 26．(1)，， (2)八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好，理由见解析 (3)名 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数、众数、中位数，样本估计总体，看懂题意是解题的关键． （）根据众数、中位数的定义可求出的值，根据组人数和扇形统计图可求出的值； （）根据平均数、众数、中位数判断即可； （）分别求出八年级和九年级竞赛成绩优秀的学生人数，再相加即可. 【详解】（1）解：由八年级名学生的竞赛成绩可知，分的人数最多， ∴众数， 由扇形统计图可知，九年级组成绩学生数为名， 又∵九年级组中的数据为：81，86，82，85，86，86，85， ∴中位数， ∵九年级组成绩学生数有名， ∴九年级组成绩的人数占比为， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好，理由如下：八、九年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于九年级的，所以八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好； （3）解：， 答：估计该校八、九年级参加此次垃圾分类知识竞赛成绩优秀的学生人数是名． 27．(1)平行四边形； (2)，理由见详解； (3) 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． （1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）（2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角性质可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）（3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴， ∵的面积为，，即：， ∴， 则， ∴． 28．(1) (2) (3)12 【分析】（1）原式常数项35化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ． （2） ， 当时，有最小值． （3）， ， 即， ， ， ， 的周长为12． 【点睛】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $