第二十七章相似单元练习2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 单元练习 一、单选题 1．两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点D，E分别是边，上的点，连接，添加下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 8．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，已知的顶点，若点的坐标为的面积为2，则的面积为（　　）    A．1 B．2 C．4 D．8 9．如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛放在三倍焦距处，即，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，则 ． 12．如图，已知直线，直线，分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，，，，则的长为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，M为上一点，且．则点M的坐标为 ． 14．如图，已知平行四边形的面积为24，以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，连接、．则的面积为 ． 15．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过 秒后，的面积等于面积的；经过 秒与相似． 三、解答题 16．如图，在中，点D、E、F分别在、、上， ，，． (1)求证：； (2)若的面积是20，求的面积． 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． (1)以O为位似中心，在网格中画出的异侧位似图形，且满足与的位似比为； (2)若的面积为，求的面积． 18．已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 19．如图，在，，是斜边上的高． (1)请写出图中所有的相似三角形，并任选一组进行证明； (2)若，，求的面积． 20．中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十七章 相似 单元练习2025-2026学年人教版九年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D C D B D B C 1．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为，利用相似三角形的周长比等于对应边之比的性质，列方程求解即可． 【详解】解：设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应边分别是15和23， ∴对应边之比为， ∴ 周长之比也为， 即 ， 解得：， ∴小三角形周长为75，大三角形周长为． 故选：A 2．B 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握成比例线段并能运用求解． 根据成比例线段的顺序，得出比例式，再代入已知值求解． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 4．D 【分析】根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且在位似中心的异侧的两个位似图形，相似比为，则对应的坐标比也为，即可解得点的坐标． 本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是 ∴点的坐标为，即， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意； B、因为，，所以，故该选项不符合题意； C、因为，与不一定相等，所以不能判定和相似，故该选项符合题意； D、因为，，所以，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 7．B 【分析】此题考查平行线分线段成比例，即由平行线得到对应的线段成比例，得出正确的比例式是解此题的关键． 根据，得到，然后将已知条件代入即可完成求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．D 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握位似图形的性质，求出相似比是解题的关键． 先由得，，进而得，再利用位似三角形的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，根据比例性质得出即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，该选项错误，不符合题意； B．∵，∴，该选项错误，不符合题意； C．∵，∴，该选项正确，符合题意； D．∵，∴，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 11．1 【分析】本题考查了比例关系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据比例关系，设参数表示， ， 的值，然后代入表达式计算，即可求解； 【详解】解：由，设， ， ， 则， ， ∴ ， 故答案为：1； 12．12 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据平行线分线段成比例定理求出线段的长．根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，根据线段之间的关系，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：12． 13． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设点，则有，由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：设点，则有， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：． 14．4 【分析】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质．熟练掌握位似图形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 通过构造平行四边形，利用其面积与三角形面积的关系以及位似比与图形面积的关系进行计算． 【详解】解：延长交于点，如图， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 位似图形与原图的位似比为， ，即， ， ， 故答案为4． 15． 或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是审明题意找到相等关系； 设运动时间为秒①根据面积的关系列出方程即可；②分类讨论相似的两种情况列比例关系，解方程即可． 【详解】解：设运动时间是秒， ①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：（舍）， ②当时， ， ∴解得：； 当时， ， ∴解得：； 故答案为： ；或． 16．(1)见解析 (2)45 【分析】本题考查平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）利用平行线分线段成比例求解即可； （2）证明得到求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积是20， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了位似的作图和相似三角形的性质，正确作图是关键． （1）根据位似的作图方法作图即可； （2）根据位似图形的相似比进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：与的位似比为， 与的面积比为． 的面积为， 的面积为． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．(1)；；，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）共有，，三组相似三角形，按两角对应相等对每组相似三角形分别证明； （2）由，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【详解】（1）解：， ， ． 证明：选 ∵在中，，是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 选： ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 选： ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $