精品解析：江西省九江市永修县第三中学2025-2026学年九年级上学期阶段（二）质量检测卷数学

2025-2026学年度上学期阶段（二）质量评估试卷九年级数学 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟；2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名． 3．请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ） A. 4，5，6，7 B. 3，4，6，9 C. 8，4，4，2 D. 5，10，10，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 2. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：从正面看整体是一个长方形，但是长方形上方有一部分没有封闭，故A、B不符合题意，而从正面看立体图形中的小长方形的棱是能看见的，故不能是虚线，故D不符合题意， 故选：C． 3. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，， A、∵O为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定， 故此选项符合题意； 故选：D． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 5. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 6. 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则，证明，可得，从而得到第一个阴影部分的面积为，再由两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和，即可求解． 【详解】解：如图，设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则， ∵点是正方形的中心， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第一个阴影部分的面积为， 同理其它的阴影部分的面积为， 根据题意得：两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和， ∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为，由此根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴估计摸到红球的概率为， ∴红球有（个）， ∴白球有（个）； 故答案为：． 8. 若，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．根据等式用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：7 9. 已知，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程()的两根，则，． 10. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 11. 如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 12. 已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当或为时，的长为______． 【答案】或2或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理以及图形的旋转，解题的关键是根据或为分情况讨论，利用直角三角形的边的关系求解． 先根据已知的条件求出的长度，再分和分情况讨论，利用勾股定理等知识求出的长度． 【详解】在中，． ． ， ①当AD与AC重合时，，如答图1， ， ； ②如答图2，，； ③如答图3，， ， ． 三、（本大题共5题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，求这棵树的高度的长 ？ 【答案】这棵树的高度的长为米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线的性质，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作的水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作的水平线交于点，交于点，如图， ∵，， ∴， ∴四边形、是矩形，， ∴， ∵米，米，米，米， ∴米，米，米， ∴（米）， 根据题意得，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴米， 答：这棵树的高度的长为米． 15. 如图是的正方形网格，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作线段，点D，E分别在上且； （2）如图2，在的边上找一点F，使． 【答案】（1） 线段即为所求． （2） 点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质“对角线相互平分”，结合三角形中位线定理，分别取的中点E，D，连接即可． （2）取的中点D，连接，取的中点E，连接并延长，交于点F，则点F即为所求． 本题考查作图—应用与设计作图、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示，根据矩形的性质，分别取到的中点E，D，连接，则线段即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，取的中点D，连接，取的中点E，连接并延长，交于点F， 此时，则， ∴， ∴，即， 则点F即为所求． 16. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解： 第一次 第二次 A B C D A B C D 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 17. 设，是关于的方程的两根．当时，求及m的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把代入方程，求得，然后再解方程，即可得出另一个解． 【详解】解：把代入方程， ∴ ∴， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN． （1）若BM=BN，求t的值； （2）若△MBN与△ABC相似，求t的值． 【答案】（1）t=10﹣15；（2）当t=或t=时，△MBN与△ABC相似． 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出AB＝10，BC＝5．由题意知：BM＝2t，CN＝t，BN＝5−t，由BM＝BN得出方程2t＝5−t，解方程即可； （2）分两种情况： ①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值； ②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值； 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC=10，BC=5 ． 由题意知：BM=2t，CN=t， ∴BN=5﹣t， ∵BM=BN， ∴2t=5﹣t， 解得：t==10﹣15； （2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时， 则，即， 解得：t=． ②当△NBM∽△ABC时， 则，即， 解得：t=． 综上所述：当t=或t=时，△MBN与△ABC相似． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；综合性较强，证明三角形相似是解决问题的关键． 19. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：根据题意可知，平分，则， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由尺规作图得角平分线，结合平行四边形对边平行得出等角，通过等量代换得出，再根据等角对等边证； （2）如图，过点作，先证明相似三角形求出，然后算出等腰的腰长，利用含角的直角三角形的性质求出高，再用底乘高算出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作， 据（1）可知，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： （1）； （2）四边形为平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：由（）知，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明； （）由（）得，，即可得到，，进而即可求证； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五．（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 22. 爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理． （1）小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍； （2）小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式． 【答案】（1）①倒立，放大，实像；②2倍 （2） 由光路图可得：，，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的跨学科应用，解题的关键是： （1）①根据图像直接回答；②根据图像得到，，可得，，得到，，等量代换可得，整理得：，继而得到，可得结果； （2）由光路图得到，，，，，同（1）②可得，则，代入数据得到，变形整理可得结果． 【小问1详解】 解：①当时，物体经凸透镜折射后成倒立，放大的实像； ②由图可知：，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即物体成像时放大了2倍； 【小问2详解】 略 六．（本大题共12分） 23. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期阶段（二）质量评估试卷九年级数学 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟；2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名． 3．请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ） A. 4，5，6，7 B. 3，4，6，9 C. 8，4，4，2 D. 5，10，10，15 2. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则白球有______个． 8. 若，则的值为______． 9. 已知，是一元二次方程的两根，则______． 10. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 11. 如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 12. 已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当或为时，的长为______． 三、（本大题共5题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，求这棵树的高度的长 ？ 15. 如图是的正方形网格，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作线段，点D，E分别在上且； （2）如图2，在的边上找一点F，使． 16. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 17. 设，是关于的方程的两根．当时，求及m的值． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN． （1）若BM=BN，求t的值； （2）若△MBN与△ABC相似，求t的值． 19. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 20. 如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： （1）； （2）四边形为平行四边形． 五．（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 22. 爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理． （1）小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍； （2）小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式． 六．（本大题共12分） 23. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $