精品解析：江苏省扬州市江都区邵樊片2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷

八年级数学试卷 2025.11 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0的个数依次加1）、、中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 以下列数组为边长中，能构成直角三角形的（ ） A. 1，1， B. ，， C. D. ，， 4. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于( ) A. B. C. D. 5. 的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ） A. 13 B. 29 C. 47 D. 94 8. 如图，在中，，的平分线交于．过点作于，交于．过点作于．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 的算术平方根是______． 10. 若，则______ ． 11. 若a、b为连续整数a＜＜b，则a+b的值为____． 12. 比较大小： ______． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 14. 如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 15. 某同学想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度是_____． 16. 如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则________． 17. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 18. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边向外侧作正方形ABDE、ACFG、BCHI，连接CE，如果正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25，则△ACE的面积为_____． 三、解答题（共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； 20. 已知某数的平方根是和，的立方根是，求的平方根． 21. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）在直线上找一点，使；（要求在直线上标出点的位置） （2）连接、，则四边形的面积为______． （3）在直线上找一点，使最小（要求在直线上标出点的位置）；最小值为______． 22. 如图，在四边形中，，，，，垂足为E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 24. 已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝8． （1）求证：EF⊥BD； （2）求EF的长． 25. 如图，四边形与都是正方形，相交于点O，相交于点M，相交于点N． （1）求证：； （2）求证：； 26. 在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 27. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． （1）则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； （2）当点C在上运动时，求的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 28. 定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”． （1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 　 　（只填写序号）． ①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形． （2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数； （3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 2025.11 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2. 在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0的个数依次加1）、、中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0，是整数，不是无理数； ，，，是小数或分数，不是无理数； ，（每两个1之间依次增加一个0），是无理数， 故无理数一共有3个， 故选：C． 3. 以下列数组为边长中，能构成直角三角形的（ ） A. 1，1， B. ，， C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解： A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 4. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据中，，求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出，即即可解答． 【详解】解：等腰中，，， ， 是线段垂直平分线的交点， ，， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 5. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的定义，明确算术平方根的非负性是解题的关键．根据算术平方根的定义，表示的非负平方根，进而确定的唯一非负结果． 【详解】是的算术平方根，且，， ． 故选：． 6. 正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明，进而得到，根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 7. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ） A. 13 B. 29 C. 47 D. 94 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图 根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 8. 如图，在中，，的平分线交于．过点作于，交于．过点作于．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由∠C=90°，CG⊥AB，得∠ACE=∠B，再由外角的性质，得∠CED=∠CDE，得CE=CD；根据角平分线的性质，得CD=DF，则S△AEC：S△AEG=AC:AG，得CE=DF，从而得出答案． 【详解】∵∠ACB=90°，CG⊥AB， ∴∠ACE+∠BCG=90°，∠B+∠BCG=90°， ∴∠ACE=∠B， ∵∠CED=∠CAE+∠ACE，∠CDE=∠B+∠DAB，AE平分∠CAB， ∴∠CED=∠CDE，①正确； ∴CE=CD， 又AE平分∠CAB，∠ACB=90°，DF⊥AB于F， ∴CD=DF， ∵E到AC与AG的距离相等， ∴S△AEC：S△AEG=AC:AG，②正确； ∵CE=CD，CD=DF， ∴CE=DF，⑤正确； 无法证明∠ADF=2∠FDB以及， 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，直角三角形的性质和三角形的面积计算，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质以及应用是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 10. 若，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ，， 解得，， ∴， 故答案为：． 11. 若a、b为连续整数a＜＜b，则a+b的值为____． 【答案】5． 【解析】 【详解】试题分析：由题意得：∵6=＜＜=7，∴a=2＜m数a＜＜b=3，∴a、b的值分别为2和3．∴a+b=5．故答案为5． 考点：估算无理数的大小． 12. 比较大小： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，通过将二次根式平方来比较大小是解题的关键．先求出无理数的平方，再将其与有理数的平方进行数值对比，进而得出两者的大小关系． 【详解】计算 ，， 由于 ，所以 ． 故答案为：． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 14. 如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 【答案】13 【解析】 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 15. 某同学想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度是_____． 【答案】12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆高度为米，则绳子长度为米，根据勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设旗杆高度为米，则绳子长度为米， 根据题意，得， 解得． 故旗杆的高度为12米， 故答案为：12米． 16. 如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．连接，，根据角平分线的性质可得，，，得到，即可得，然后根据垂直平分线的性质可得，则可通过证明，得到，然后即可得到答案. 【详解】解：连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 17. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 18. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边向外侧作正方形ABDE、ACFG、BCHI，连接CE，如果正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25，则△ACE的面积为_____． 【答案】5.5 【解析】 【分析】连接BG,容易证明≌根据正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25，得到正方形ACFG的面积为11，即可求出的面积. 【详解】连接BG, 四边形ABDE、ACFG都是正方形， , 在和中 证明≌ 正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25， 则 即正方形ACFG的面积为11， S正方形ACFG 故答案为5.5. 【点睛】考查勾股定理以及三角形全等的判定与性质，三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 三、解答题（共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解答本题的关键． （1）先移项，然后系数化1，再方程两边同时开方即可； （2）方程移项后，两边同除以2，再开立方得一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 解： ∴ 20. 已知某数的平方根是和，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． 根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此可得a的值，再根据立方根的定义可得b的值，然后代入求解，再求解平方根． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴的平方根是． 21. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）在直线上找一点，使；（要求在直线上标出点的位置） （2）连接、，则四边形的面积为______． （3）在直线上找一点，使最小（要求在直线上标出点的位置）；最小值为______． 【答案】（1）如图， （2） （3） 如图，点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理，割补法求面积，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据勾股定理可得，故此时的点P即为所求； （2）根据割补法直接求解即可得到答案； （3）过点C作直线l的对称点，连接与直线交点即为点，则，再根据两点之间线段最短即可说理此时最小，最小值为． 【小问1详解】 解：点即为所求，此时； 【小问2详解】 解：如图， ； 【小问3详解】 解：过点C作直线l的对称点，连接与直线交点即为点，则，再根据两点之间线段最短即可得到最小，最小值为． 故答案为：． 22. 如图，在四边形中，，，，，垂足为E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）由可证； （2）由全等三角形的在得，再求出，然后由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明三角形全等． 23. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 【答案】（1） 作图如下： （2） 证明：是等边三角形，是的中点 平分（三线合一） 又 又 又 ． 【解析】 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得是正确解答本题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图； （2）要证可证，根据三线合一得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝8． （1）求证：EF⊥BD； （2）求EF的长． 【答案】（1） 证明：连接BE，DE． ∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点， ∴， ∴BE=DE． ∵点F是BD的中点，BE=DE， ∴EF⊥BD． （2）3 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求BE=DE=AC，根据等腰三角形的性质，可得结论； （2）根据题意可得BE=5，BF=4，根据勾股定理可求EF的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴BE=5． ∵点F是BD的中点， ∴． 在 中， ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是本题的关键． 25. 如图，四边形与都是正方形，相交于点O，相交于点M，相交于点N． （1）求证：； （2）求证：； 【答案】（1） 证明：∵四边形，均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据正方形的定义，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）由，得到，再利用三角形的外角性质可证明，据此可得到结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ，， 由（1）得，， ； ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，再由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 27. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． （1）则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； （2）当点C在上运动时，求的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】（1）； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． 【小问4详解】 解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 28. 定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”． （1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 　 　（只填写序号）． ①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形． （2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数； （3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值． 【答案】（1）①；（2）满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；（3）8 【解析】 【分析】（1）根据“友好分割线”的定义判断即可； （2）分三种情形：当“友好分割线”经过点C，当“友好分割线”经过点A，当“友好分割线”经过点B，分别画出图形求解即可； （3）证明△DNE≌△AGE（ASA），推出DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°推出CM≤CF，AG≤AF，推出CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，由此可得结论． 【详解】解：（1）根据“友好分割线”的定义可知， 如图，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”． 等边三角形不存在“友好分割线”． 故答案为：①； （2） 如图， 当EC＝EA时，∠AEC＝60°， 当FC＝FB时，∠BFC＝100°， 当BC＝BG时，∠B＝40°． 如图， 当AC＝AR时，∠CAR＝20°， 当CA＝CW时，∠C＝80°， 如图， 当BC＝BQ时，∠CBQ＝20°， 综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°； （3）解：如图2中，作AG⊥l于点G． ∵CD为AB边上的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°． ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°． ∴△CDA不是等腰三角形． ∵CD为△ABC的“友好分割线”， ∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形． ∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝4． ∵∠BAC＝30°， ∴AC＝2CD＝8． ∵DN⊥l于N， ∴∠DNE＝∠AGE＝90°． ∵E为AD的中点， ∴DE＝AE． 在△DNE和△AGE中， ∴△DNE≌△AGE（ASA）， ∴DN＝AG． 在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°， ∴CM≤CF，AG≤AF， ∴CM+AG≤CF+AF， 即CM+AG≤AC， ∴CM+DN≤8， ∴CM+DN的最大值为8． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $