精品解析：福建省龙岩市上杭县农村片区校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

上杭县2025——2026学年第一学农村片区校半期考 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，将绕点旋转，得到，点的对应点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 4. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 5. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（m，n），B （ 2，－1 ），C（－m，－n），则点D的坐标是（ ） A. （－2 ，1 ） B. （－2，－1） C. （－1，－2 ） D. （－1，2 ） 7. 如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将△绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）． A. B. 或 C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称，那么a+b＝___． 12. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______． 13. 若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为__________ ． 14. 如图，将绕点A 逆时针旋转得到，若点D在线段的延长线上，，则旋转角的度数为________． 15. 有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程：____________． 16. 如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； （2）是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 19. 已知抛物线的顶点，且过，与x轴交于B，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 20. 关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图， 在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D 恰好落在边上时． （1）作出；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) （2）求的长． 22. 某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量（件）与售价（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表： 售价（元/件） 100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 … （1）月销量是____________（请用含的式子表示）； （2）设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ （3）该公司决定每销售一件运动服，就捐赠元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元． 若月销售最大利润是8000元，求的值． 23. 2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练． （1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m … ①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式； ③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由； （2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）． 24. 如图，在等腰中，，，为的中点，将△绕点逆时针方向旋转，得到，点的对应点为，连接、并延长交于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，且，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C， 作直线， 点P 是抛物线上一个动点（点P不与点B，C 重合）， 连接，，以， 为边作平行四边形， 设平行四边形的面积为S，点P的横坐标为m． （1）求抛物线函数解析式； （2）当点P在第四象限，且时， 求点 P 坐标． （3）①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭县2025——2026学年第一学农村片区校半期考 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 3. 如图，在中，，将绕点旋转，得到，点的对应点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等．据此解答即可． 【详解】解：∵将绕点旋转，得到，点的对应点在的延长线上，， ∴， ∴旋转方向为顺时针，旋转角为． 故选：A． 4. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、解一元二次方程等知识点，根据题意列出关于k的方程是解题的关键． 根据一元二次方程的常数项为0，列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴，解得：． 故选D． 5. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 6. 平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（m，n），B （ 2，－1 ），C（－m，－n），则点D的坐标是（ ） A. （－2 ，1 ） B. （－2，－1） C. （－1，－2 ） D. （－1，2 ） 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，l ）．故选A． 考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质． 7. 如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得平行于住房墙的一条边的长为，结合题意即可得解． 【详解】解：由题意可得：平行于住房墙的一条边的长为， ∵， ∴★表示的代数式为， 故选：C． 8. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与不等式． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，即可解答． 【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴该二次函数的图象与x轴的另一交点坐标为， ∵由图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 故选：C 9. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将△绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，坐标与图形，过点作轴于，由可得，再由旋转的性质可得，，，，即得，得到，利用直角三角形的性质，进而求出即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，则， ∵，， ∴， 由旋转可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是， 故选：． 10. 已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）． A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意；当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，此时b无解． 【详解】解：∵二次函数的图象不经过第三象限， ∴当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意， ∴， 解得：， 当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意， ∴， 解得：， 当x=0时，， 解得：b＞1或b＜-1， 对称轴， 解得：b＞2， ∴b无解， 综上，， 故选A. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称，那么a+b＝___． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 12. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可； 【详解】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：， 故答案为：； 13. 若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟知方程解的概念、灵活应用整体思想是解题的关键． 把代入方程并整理可得，然后整体代入解答即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14. 如图，将绕点A 逆时针旋转得到，若点D在线段的延长线上，，则旋转角的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转的性质得到，等边对等角，得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴，即旋转角的度数为． 故答案为： 15. 有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“关系方程”是解题的关键．根据题中“关系方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“关系方程”的特征可知：形如和这样的一元二次方程互为“关系方程”，没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程． 故答案为：（答案不唯一） 16. 如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，由图象及二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断①；进而由函数图象可知，当时，图象位于轴下方，即可判断②；把代入函数解析式求出的值即可判断③；作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，可得△周长，此时△周长的最小，利用勾股定理求出得到△周长的最小值，即可判断④，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解是，，故①正确； 由函数图象可知，当时，图象位于轴下方， ∴当时，，故②正确； 把代入得，， 解得， ∴， 当时，， ∴点的坐标为，故③正确； 作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，则，， ∴△周长，此时△周长的最小， ∵，， ∴， ∴△周长的最小值，故④错误； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）利用配方法（或公式法）解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴，． 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； （2）是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） ∵点P向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点的坐标，然后描点即可； （3）连接，它们的交点为对称中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图象可知，连接、、后，它们交于点，且点的坐标为，所以和的对称中心的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 19. 已知抛物线的顶点，且过，与x轴交于B，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标，设抛物线解析式为，把代入解得：，即可得出抛物线函数表达式； （2）先求出点B和按C的坐标，再根据三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴． 20. 关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不存在实数k，使得和互为相反数，理由如下： ∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵和互为相反数， ∴， 解得， 又∵， ∴不存在实数k，使得和互为相反数． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，跟的判别式，解一元二次方程： （1）根据跟的判别式可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由相反数的定义得到，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图， 在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D 恰好落在边上时． （1）作出；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) （2）求的长． 【答案】（1） 如图：即为所作， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）以为圆心，为半径画弧交线段于，交线段于，以为圆心，为半径画弧交于点，作射线，以为圆心为半径交射线于，连接，则即为所作； （2）由旋转的性质可得，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 22. 某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量（件）与售价（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表： 售价（元/件） 100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 … （1）月销量是____________（请用含的式子表示）； （2）设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ （3）该公司决定每销售一件运动服，就捐赠元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元． 若月销售最大利润是8000元，求的值． 【答案】（1）； （2）售价为元时，当月的利润最大，最大利润是元； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的性质在实际生活中的应用， 设月销量与的关系式为,运用待定系数法求解即可； 根据月利润=每件的利润月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润； 根据题意得到函数关系式,可得对称轴,再根据二次函数的性质即可得到结论； 熟练掌握其性质并能确定变量，建立函数模型是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：设月销量与的关系式为,把,代入得 解得, , 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，, 售价为元时，当月的利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意得，, 对称轴为直线, 当时，此时时，的最大值，,解得， 当时，此时时的最大值， 此时,不符合题意，舍去， 综上：． 23. 2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练． （1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m … ①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式； ③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由； （2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）． 【答案】（1）①如图，即为所求； ；②；； ③成功，理由如下： 当时，， 解得：或1（舍去）， 即韩旭距篮筐中心的水平距离时，篮球运行的高度为， ∴韩旭第一次投篮练习是成功； （2） 【解析】 【分析】（1）①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足的函数解析式为，再把点代入，求出m的值，即可；③把代入②中函数解析式，即可； （2）把点代入，求出函数解析式，再把把代入，求出x，即可． 【小问1详解】 解：①略 ②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是； 设y与x满足的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴y与x满足的函数解析式为； ③略 【小问2详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴此时y与x满足的函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∵， ∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键． 24. 如图，在等腰中，，，为的中点，将△绕点逆时针方向旋转，得到，点的对应点为，连接、并延长交于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，且，求的值． 【答案】（1） 证明：由旋转可得，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2） （3）k的值为 【解析】 【分析】（）由旋转的性质可得，，，进而得，，即可由证明； （）利用等腰三角形的性质可得，，再根据平角定义即可求解； （）根据得，即得，得到，即得，得到，即得，又由得，进而可得，设，则，，在中，由勾股定理得，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，再结合（2） ∴， ∵， ∴同理可得， ∴， 即， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C， 作直线， 点P 是抛物线上一个动点（点P不与点B，C 重合）， 连接，，以， 为边作平行四边形， 设平行四边形的面积为S，点P的横坐标为m． （1）求抛物线函数解析式； （2）当点P在第四象限，且时， 求点 P 坐标． （3）①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2）或 （3）① ②当时，点P的个数有两个；当时，点P的个数有三个；当时，点P的个数有四个 【解析】 【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式； （2）作轴交直线于，如图， 利用待定系数法求出直线的解析式为设 则，然后求出长，根据求出，代入数值即可解方程求得点P的坐标； （3）根据（2）得到时的解析式，当或时， 如图， 同理可得 ； （4）画出关于x的函数图象，然后根据函数的图象分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 则； 【小问2详解】 作轴交直线于， 如图， 设直线的解析式为， 把代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 ， 设，则， 当时， 如图，， ， ∵， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 ①由（2）得当时，； 当 或时， 如图， ， ∴； 综上所述：； ②当时， ， 关于x的函数图象如图所示， ∴当时，点P的个数有两个； 当时，点P的个数有三个； 当时，点P的个数有四个． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质； 会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式； 理解坐标与图形的性质； 会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $