精品解析：内蒙古呼和浩特市玉泉区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期期中增值性评价数据采集 九年级数学试卷 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别一元二次方程，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：符合一元二次方程定义的需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A：含有分式，不是整式方程，故不符合题意； B：形式为，但可能为0，当时不是一元二次方程，故不符合题意； C：含有两个未知数和，不是一元二次方程，故不符合题意； D：只含未知数，且未知数的最高次数为2，是整式方程，故符合题意； 故选：D． 3. 若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为直线，根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，， ∴离对称轴最远，其次为，最近为， ∴， 故选：D． 4. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，，则，然后通过三角形内角和定理即可求解， 掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∴， ∴， 故选：． 5. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线对应的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，由二次函数图象的平移可得平移后解析式为，则有顶点坐标为，又，则平移后二次函数图象开口向上，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴平移后解析式为， ∴顶点坐标为， ∵， ∴平移后二次函数图象开口向上， 选项图象符合题意， 故选：． 6. 已知关于的方程有实数根，则实数满足的条件是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的定义、一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；熟记一元二次方程根的情况与判别式关系，得出不等式求解是解决问题的关键． 根据一元一次方程及一元二次方程的定义，分两种情况：当或，对于，由一元一次方程解的情况判断；当，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系可知，得，解不等式即可确定答案． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ①当时，方程为，解得，满足题意； ②当时，方程为一元二次方程， 则判别式， 解得， 故且； 综上所述，实数满足． 7. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，图象与轴的交点坐标为和，下列结论：；；；关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．其中正确的结论个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴左侧， ∴、同号，即， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，故正确； 由图象可知，当时，， ∵， ∴，故正确； ∵图象与轴的交点坐标为和， ∴关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，故正确； 综上所述，正确的有，共个， 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 10. 已知一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为1，则a﹣b的值是___． 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意可知，先将根代入方程求得a、b相关的代数式，再对代数式进行变形即可. 【详解】解：把x=1代入方程ax2+x﹣b=0，可得a+1﹣b=0，解得a﹣b=﹣1． 【点睛】本题考查一元二次方程，结合一元二次方程的相关性质，并对代入所得式子进行变形分析. 11. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可知汽车刹车后行驶的距离s关于时间t的函数是二次函数，二次函数的最大值对应汽车停下来时的前进距离，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当，即时，s有最大值，最大值为， ∴汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，则代数式a2﹣ab+b2的最小值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】由韦达定理得出a，b与m的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m的取值范围，再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b和ab整体代入化简，然后再配方，结合m的取值范围可得出答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b， ∴a+b＝2m+1，ab＝m2﹣1，△≥0， ∴△＝[﹣(2m+1)]2﹣4×1×(m2﹣1) ＝4m2+4m+1﹣4m2+4 ＝4m+5≥0， ∴m≥． ∴a2﹣ab+b2 ＝(a+b)2﹣3ab ＝(2m+1)2﹣3(m2﹣1) ＝4m2+4m+1﹣3m2+3 ＝m2+4m+4 ＝(m+2)2， ∴a2﹣ab+b2的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及利用二次函数的性质求解代数的最值，灵活利用韦达定理及根的判别式，是解决本题的关键，熟悉用函数的思想解决最值问题也是关键点． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； （3）由提公因式法因式分解解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 则； 【小问2详解】 解：， ， 则， 直接开平方得， ，； 【小问3详解】 解：， ， 则， 或， 则，． 14. 已知二次函数的解析式是 （1）将二次函数化成的形式，并求出该函数图象与x轴和y轴的交点坐标；同时在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象（不需要列表）； （2）结合函数图象，直接写出时x的取值范围； （3）当时，求y的取值范围； （4）若一次函数的图象经过和两点，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用二次函数图象与直线的交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用二次函数的性质求出图象与轴，轴的交点坐标即可，利用描点法画出函数图象． （2）结合函数图象，可得时x的取值范围． （3）结合二次函数图象可得当时，y的取值范围． （4）利用利用二次函数图象与直线的交点坐标确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：， 当时，， 解得：，， 当时，则， ∴与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为． 画图如下： ． 【小问2详解】 解：结合函数图象，时x的取值范围为：或． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线：，顶点坐标为， ∴函数最小值为， 当时，， 当时，y的取值范围为． 【小问4详解】 解：如图， ∴不等式的解集为：． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若是该方程的两个实数根，且，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明： ， ∴不论m取何值，方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、解不等式组等知识点，掌握根的判别式与根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得，再结合列不等式组求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∵ ∴且，解得：． ∴m的取值范围为：． 16. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，已知的顶点坐标分别为，请按要求解答下列问题： （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出并写出点，的坐标； （3）可由绕点旋转得到，请在图中作出点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； ； （2） 如图所示：即为所求， ， （3） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查旋转作图、找旋转中心等，熟记旋转作图的方法及旋转中心确定的方法是解决问题的关键． （1）将的三个顶点分别关于坐标原点成中心对称，得到，连接三个顶点即可得到； （2）以点为旋转中心，将的顶点分别绕点顺时针旋转得到，连接三个顶点即可得到，数形结合，在网格中求出点，的坐标即可得到答案； （3）连接与旋转前后的对应点，连成线段，利用尺规作图作出线段的垂直平分线，交点即是所求的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 泥塑，俗称“彩塑”，是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务． 素材1 该作坊9月份制作泥塑1000件，同年11月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元／件，销售数据显示，当泥塑售价为40元／件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊9月份到11月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元？ 任务3 若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元／件？最大月销售利润是多少元？ 【答案】任务1：9月份到11月份的月平均增长率为；任务2：该泥塑的售价应上涨10元；任务3：当售价定为55元时，月销售利润最大为6250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的实际应用，读懂题意，准确列出相应方程与函数是解决问题的关键 任务1：设9月份到11月份的月平均增长率为，由一元二次方程平均增长率问题的解法列方程求解即可得到答案； 任务2：设该泥塑的售价应上涨元，根据等量关系建立一元二次方程求解即可得到答案； 任务3：设月销售利润为元，售价上涨了元，得到二次函数，由二次函数图象与性质分析求出最大利润即可得到答案． 【详解】解：任务1：设9月份到11月份的月平均增长率为， 由题意得， 解得：（负值，舍去）， 答：9月份到11月份的月平均增长率为； 任务2：设该泥塑的售价应上涨元， 由题意得， 解得：， 要尽可能让顾客得到实惠，即价格上涨越低越好， ， 答：该泥塑的售价应上涨10元； 任务3：设月销售利润为元，售价上涨了元， 由题意得： ， 由，知抛物线开口向下，对称轴为, 当时， 有最大值，最大为； 即当售价定为（元）时，月销售利润最大为元． 18. 综合与实践． 问题情境：如图，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．聪聪设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了聪聪的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩米篱笆材料（即）．若要在第二步分隔中恰好用完米材料，需确定与的长．为此，聪聪在图中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图中画出坐标系，求抛物线的函数表达式并写出点的坐标； （2）若设点的横坐标为，则点的坐标为 （用含有字母的式子表示），并求米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，聪聪又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．请直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值 【答案】（1） 建立如图所示的平面直角坐标系， ；点的坐标为； （2）；为米；为米； （3）矩形周长的最大值为米． 【解析】 【分析】（）建立如图所示的平面直角坐标系，求出点的坐标为，点为抛物线的顶点坐标，从而得出抛物线的函数表达式为，然后通过二次函数性质求出点的坐标为； （）由点，在抛物线上，点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，得出， ，，通过，得，然后解方程并检验即可； （）由点的坐标得，直线和的表达式分别为：，，设点，，，，则矩形周长为，然后通过二次函数性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点为抛物线的顶点坐标， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点，在抛物线上，点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴（米），（米）； 【小问3详解】 解：矩形周长的最大值为米，如图矩形灯带为， 由，，， 设直线解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线解析式为，解析式为， 设点，，，， 则矩形周长为， ∴矩形周长的最大值为米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，垂直平分线性质，直角三角形性质，解一元二次方程，建立适当坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中增值性评价数据采集 九年级数学试卷 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线对应的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程有实数根，则实数满足的条件是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 8. 二次函数的图象如图所示，图象与轴的交点坐标为和，下列结论：；；；关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．其中正确的结论个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 10. 已知一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为1，则a﹣b的值是___． 11. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，则代数式a2﹣ab+b2的最小值为_____． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2）； （3）． 14. 已知二次函数的解析式是 （1）将二次函数化成的形式，并求出该函数图象与x轴和y轴的交点坐标；同时在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象（不需要列表）； （2）结合函数图象，直接写出时x的取值范围； （3）当时，求y的取值范围； （4）若一次函数的图象经过和两点，根据图象直接写出不等式的解集． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若是该方程的两个实数根，且，求m的取值范围． 16. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，已知的顶点坐标分别为，请按要求解答下列问题： （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出并写出点，的坐标； （3）可由绕点旋转得到，请在图中作出点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 17. 泥塑，俗称“彩塑”，是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务． 素材1 该作坊9月份制作泥塑1000件，同年11月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元／件，销售数据显示，当泥塑售价为40元／件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊9月份到11月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元？ 任务3 若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元／件？最大月销售利润是多少元？ 18. 综合与实践． 问题情境：如图，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．聪聪设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了聪聪的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩米篱笆材料（即）．若要在第二步分隔中恰好用完米材料，需确定与的长．为此，聪聪在图中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图中画出坐标系，求抛物线的函数表达式并写出点的坐标； （2）若设点的横坐标为，则点的坐标为 （用含有字母的式子表示），并求米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，聪聪又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．请直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $