河北省八校联考2025-2026学年高三上学期12月期中数学试题

x2-√ax-1=0.该方程有且仅有一个正根xM(x)=√a 18-6y,+)+y:+y:)-2yy --6<0咳+-6>0--u<0) 9-3(y1+y:)+y1y: 一x-ar一1=0(x<0).该方程有且仅有一个负报x,.且 1-6x+(）-2x7 数学答案 3+4 3m3+4 x1x,--1r+-石(xr>0)=x-石r+1=0(r>0).该方 9+2m--3X18m-12 程婴么无解，婴么一解x。=1.婴么两个正根x,.且xx,= 1.D解析：AUB={x1-1<x≤2).故达D. 3n+4 3m2+4 1.所以关于x的方程(m(r)-√a)(M(.x)一√a)=0的所有解 解桥：因为：=1+=0+0-节。一i.所以：。 A (1-i) 。-号+兰·号设3m中2-1，则1∈28).所以 的乘积为一1，D正确.故选ACD. （-)25=-0=-i×064=-(i)i=一i.故选A. 2 2 1.ABD解析：当非空数集A是(1.2,3,4}子集中含1个元索的了 -600 (1-2)+12 -3+ 集时.Λ1=1.根据“n阶完美集“的定义(1.2.3.4}中大于等于 .D解析：由题意，得 n206 可利72X3+江-74.解得 16 72m+=7A 3+1 广运∈(2.]当且仅当1-4时收等号，此时取最大价 1的数有1,2、3.4共4个，所以此时A可以是1}、(2)、(3) 4).当非空数集A是(1.2,3,4}子集中含2个元素的子集时 (m十” |A|=2.1.2.3,4)中大于等于2的数有2,3、4共3个.所以此时 x=80.故选D. 号当1=2波者1=8时取最小值2（取不州.令P附 TPB=x,喇 A可以是(2,3}、{24}.{34.当非空数集A是{1,2.34)子集 .D解析：由等比数列{a)性质可知，a:·a,=a1a,=8.又a:十 中含3个元索的子集时.A|一3.(1,2.3,4}中大于等于3的数 a-6.解得，2 附+-+令y=+(]曲对勾函数 有3、4共2个，不满足“n阶完类集”的定义，所以1.2.3.4)中3 个元素的子集不满足.同理，{1,2,3,4)中含4个元常的子集也 1,放3，-二号=15当：时9=2=所以a=8 性质可知在01D上单调遥诚，在0，十网)单词适始，当y=号 不满足.综上4阶完类集有1}、{2)、(3)、4)、(2.31、{2.4) la=2 时=宁或=3（会去.当y=2时r=1:散附∈ {3,4},所以a,=7,A正确：若将“n阶完美集”A中元索全部加 1,A中元索个数不变，但min(A)加1变大，均不违背“n+】阶完 故S,= ×-()门 =15.综上.S,=15.故选D. [合小散选n 美集”的定义，所以得到的新集合是一个“n十】阶完美集”，B正 12 确：对于满足“n十2阶完类集“的所有An十2届于所有A或不 ,B解析：两位指令长繁旭哲和叶光富必须站中间，有A种排法 9.ACD解析：对于A.∫()=3an(-）+1=3× 届于所有A,均可视为同一情形.即退化为“”+1阶完美集”的情 况.总个数为a+·义因为A>1.所以满足条件的集合A要排 利下的四名字航员共有A!种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两 an行-tan子 +1=35-2+1=7-35,A正确：对于B. 除掉“n十1阶完美集"中只含有1个元素的情形（排除n十】个单 位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有2A:A:种。 1+5 元素集合)，因此满足条件的果合A的个数均为a.+一(n十1)= 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼 1+ian亏an号 a1一n一I.C错误.D正确.故选ABD. 此不相邻，两位“90后”彼此不相邻.则不同的站法共有 A号(A-2AAi)=32种.故选B. )的最小正周期T-名-登B错误：对于C.由2-子- 2 解析：在抛物线C:y2=4x巾，2p=4,则p=2,所以准线方 .B解析：由已知可得∠DAB=∠CBA=90,AD与B武的夹角为 150,因为D元=DA+Ai+BC.所以D心：= ∈得号+长么所以了)象的对称中心为 程为r=一乞=一1设点M的坐标为(xy)由抛物线的定 (DA+AB+BC)=DA:+AB:BC:+2 DA.AB (停+后)小∈).C正确：对于D,南x)=3m 义，已知MF1=亨，即点M到焦点F的距离为子，那么点M到 2D六.元+2Ai.B元.因Di.A方=203×20×os90°=0. Di.C=205×40×cos(180°-150°)=1200.AB.Bt=20× (2:-）+1长4得a2:-号)≤1.所以-受+kx<2r 准线x=-1的距离也为弩.点M到准线=一1的距离为x。 40×c0s90°=0，枚D=(205)+20+40+2×1200= (一)=+1所以。+1=号解方程，+1=号可符， 5600.所以|DC1=√DC=√560而=20年.故选B. 故选ACD. -1-子点M到)箱的距离钱是点M损坐标的绝对值，因 8 A解析：h题意得，m=logo,0.4,n=log0.4.函数y=log.x:10.ACD 在(0.+o)为减函数.∴0=log.,1<1og.:0.4<1og0.3=1.即： 潮：你意)-)-，当<0时 fx)<gr:当x>0时.(x)>g(x).则m(x)= 为一号>0，所以点M到轴的距离为号散答案为号 0<m<1,:函数y=1ogr在(0，+m)为增函数.“1og:0.4< 6g,1=0.甲n<0m<0.:+片=10o0 1 r<0 r-1 13.一1解析：将ina一cos=0平方可得sina十cosB-2 sin acos B= .M(r)= ·对于A,m(1)+ 0①.将cosa一sin3=2平方可得cos'a+sing-2 cos asin B 1 1 logs.10.3+logo.2 =logn.0.6.logs.1<log.0.6<log.:0.4. -x>0 r+r>0 4②.将①②两式相加可得2-2(sin acos B-+cos asin3)=4,所以 0<+<1.+片-0<<1m<0 in(a+)-l.故答案为-1. M(-1)=0+0=0.A正确：对于B.m（x)-2x= 1 解析：设AB=a,则6a2=6,解得a=1. 得m十n<0,由"十”<1得，m+n>mm,综上得，mn<m十n< -xr<0 川n 由m(x)一2x=0.解得x=一1.B错误：对于 0.故选A. r.r>0 y=x+3m-2 D 解析：定点为P(3.2).联立x ·得 C.m (M()=r:- 令h（x)=2- (3m2+4)y-(18m2-12m)y+27m2-36m=0.解得y1y:= h(-x)=(-x) 可=h(r).函数A(r)是偶函数.C正 2m-6y+=1-2.且△=14m 3m+4 - 确：对于D.h(m(x)-a)(M(x)-a)=0,得m(x)=√a或 3m2+4 =a(r>0).即 连接A,C,BD,·A,C,铡A,C,⊥B,D,因为CC1⊥平面 48(2-3m)+192=-288(m-2)m>0.则m∈(0.2). M(x)=a.而a≥0.则m(r)=a台r A,B,C,D,·所以CC,⊥B,D,.因为A,C,∩CC,=C,A,C, CC,C平面A,C,C.所以B,D,⊥平面A,C,C,所以B,D,⊥： 9-4_8-1 A,C图为站-S-A,所以FGBD,质以ACLG = 1+9-1.81 同理可得A,C⊥EG,因为FG∩EG=G.FG,EGC平面EFG,所： 以A,C⊥平面EFG,连接AC,过点E作A,C的平行线与AC交 1 于点E因为=，所以EF=E2,在△A,AC中，瓷 2+9）-17 1 A5-E2=1-A,所以EE,=5(1-X).易得△EFG为正三 7(当且仅当1=6时等号成立). AC AC 2×2√36-17 角形，所以SAe=3则三棱柱EFG一E,PG,的体积 所以锐角∠DAG正切值的最大值为？，此时余弦值有最小 3 V)=Sae·EE,=之a2-X),A∈(0.1)，则Va)= 是(2x-3以).令va)=0,解得A=子当A∈(0，号)时， 所以异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值为？三 101 Va)>0.当A∈（学）时.Vd)<0.所以va) 17.解：1)因为asin4十C=bsin A,由正弦定理得 2 V(号)-号放当三校挂EFPG-E,RG,的体积取得最大值时， s血Asn(2）=in Bsin B B 1=号放答案为号 故sin Acos2 号=2sin受cos2inA 1 15.解：1)由fx)=2r-ax+21nx可得 在△ABC中，0<A<,0<B<,所以nA>0.0<号<受则 (x)=x-a+ 2 号70 则k=f'(1)=1-a+2=3-a, 可得s如受-子所以受-名所以B= 由于k=0,3-a=0.故a=3. 1 (2)f(x)=zx2-3x+2lnx(x>0)了(x)=x-3+ (2)由正弦定理可得“ b=5=2 sin A sin C sin B 3 x2-3.x+2_x-1)(x-22 所以a=2sinA.c=2sinC, x 当0<x<1或x>2时了(x)>0 一A 因为B-号则A+C-C- 当1<x<2时.f(x)<0, 故「(x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，在(2，+∞)单调： 所以2a-=4snA-2sn(5-A） 递增， 故∫(x)的极小值为∫(2)=-4+2ln2. =3sin A-3c0s A=2sin(). 16.解：(1)连接DE,平面ABEF⊥平面ECDF,交线为EF, 0<A<受 因为△ABC为锐角三角形，则 0<经-A< 解得<A<受 则A-吾∈(o)n(A-）∈(6） 由BE⊥EF,有BE⊥平面ECDF,又CFC平面ECDF,所以： 故2a-c∈(0,3). BE⊥CF, 18.解：(1)第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 当CF⊥BD,BE∩BD=B,所以CF⊥平面BDE, 又DEC平面BDE,所以CF⊥DE, 摸出红球，即试验成功的概率为十1+2=4 此时△FEC与△DFE相似，故DF·EC=EF2, 1+2 摸出黑球且试验成功的概率为×4一1-1+26' 1 3 设BE=1(0<1<8),由(9-1)(8-1)=12.解得1=5，所以： BE=5. (2)过C作EF的平行线交DF于点G,连接AG, 所以第1轮试验成功的概率为片+亮=后 1 由CG/IEF/IBA,且CG=EF=BA, (x,-)y:-y) x,y-5x·y 得四边形CGAB是平行四边形，故BC/AG, (2)6=-1 - 所以∠DAG即为异面直线BC与AD所成的角， 2(x,-) 含u-) 设BE=t(0<t<8), 1.503-5×0.46×0.69 =-0.2, tan∠DAG=tan(∠DAF-∠GAF)= 0.42 tan∠DAF-tan∠GAF 所以à=0.69+0.2×0.46=0.782.则所求经验回归方程为： 1+tan∠DAFtan∠GAF y=-0.2.x+0.782. 当试验轮数足够大，即i足够大时，x接近于0，则y接近于： 0.782, 直线A,B方程为：y=5(x-), 故预测成功志愿者的比例为0.782. (3)依题意，n轮试验失败的概率为1一P,,设第i轮试验失败的： 概率为p:, 则P,到A,B,的距离 则1一P,=p1P2“pp,发生有两种可能，直接摸出白球，概率 +2 i√25-9k 为+++评=中 i√25-9k2 d V26 或者摸出黑球后再摸出白球，概率为 1+i++× 1 5-k ii√25-9k i+-1i(i+-1) 1+i+i+=+1), √26 所以p,=i+1)”+i(i+-1D_ 5-k 1- (i+1) S=SM2 .V25-9 i[i+1)3+(i+2-1)]=(i2+4i+4) 20 v√26 (i+1) (i+1) 5-b 2(i+2)2 (i+1)寸， g4X…x02+2)。-at2 则1-P,=X3×2×4y 令∫(x)= 5-x 21 (n+1) 4(n+1),因此 251 -18x 4m+)<1-=3 P,=1-n+2)2 -√/25-9.x7 44 则了(x)= 2V2s-9n(5-x) 25-9x1 19.解：(1)双曲线E,: x2 y2 1, 45.x-25 1 25 9 25-92)√25-9x aa 34 令∫(x)= 25-9x3)V25-=7=0,解得x- 45.x-25 15a:34 91 六双撕线E,的离心率=二=√5十9 a ai ai 3. 5 当0<号时)<0，x)单调递减： (2)①证明：由题意将1，与双曲线联立， y=k1x(.x≥0) 25.x2-9y2=a?1 当号<<1时x)>0,)单调递增， 化简得x2 25-96≥0)，x= a 5 √/25-9k7 )≥(）= 5-9_22 3 A( √25-9k'√25-9k 同理将2与双曲线联立， y=k2x(x≥0) ∴5≤d(1-2）=a(-2 25.x2-9y2=a 同理可得x= √25-9k k2a1 B25-90'25-9 k2a k2 k 6--暖-g √25-9k√25-9 1 1 √25-9k√25-9k √25-9√/25-9k kia2 k242 又因为>2时京<0-五石了 1 同理A2 %房)B（'2 4=一g 5=2s= 含<(+1-+ 120 1 1 k,=k22 1 √25-9k√25-9 A,B1∥A2B2. ②油①可知，当=1时A(会)B,(侵0)4=5且 60 3-2√2 (后✉) 1 从而可证S< 60 2025—2026学年上学期期中高三调研考试 数学试题 时间:120分钟 满分:150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B= ( ) A.{x|-1<x<2} B.{x|0≤x≤2} C.{x|0≤x<1} D.{x|-1<x≤2} 2. 已知复数 则 ( ) A.-i B. i C.-1 D.1 3. 某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生 n名，经统计：m+n名学生的平均成绩为74分，其中m 名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分,则x= ( ) A.74 B.76 C.78 D.80 4. 已知等比数列{an}的前n项和为 则 ( ) A.-15 B.-5 C.5 D.15 5. 2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有 ( ) A.16种 B.32种 C.48种 D.64种 6. 如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C处.已知库底与水坝所成的二面角为150°，测得从D、C到库底与水坝的交线的距离 分别为 ,若AB=20m,则甲,乙两人相距 ( ) A.10m C.70m 7. 已知则 ( ) A. mn<m+n<0 B. m+n< mn<0 C. m+n<0< mn D.0< mn<m+n 8. 已知椭圆 直线l: my=x+3m-2恒过定点 P，且与C 交于A，B两点,|PA|<|PB|,则 的取值范围为 ( ) A.[1,2) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数 则 ( ) B. f(x)的最小正周期为π C. f(x)图象的对称中心为 D.不等式 f(x)≤4的解集为 10. 分别用m(x),M(x)表示f(x),g(x)中的最小者和最大者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},M(x)= max{f(x),g(x)}.若 则 ( ) A. m(1)+M(-1)=0 B.函数y=m(x)-2x有2个零点 C.函数y=m(x)M(x)的图象关于y轴对称 D.关于x的方程 的所有解的乘积为-1 11. 已知n∈N*,记|A|为集合A 中元素的个数,min(A)为集合A 中的最小元素.若非空数集A⊆{1,2,…,n},且满足|A|≤min(A),则称集合A 为“n阶完美集”.记 为全部n阶完美集的个数，下列说法中正确的是 ( ) B.将n阶完美集A 的元素全部加1，得到的新集合，是n+1阶完美集 C.若A 为(n+2)阶完美集,|A|>1且n+2∈A,满足条件的集合A 的个数为 D.若A 为(n+2)阶完美集,|A|>1且n+2∉A,满足条件的集合A 的个数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线C: 的焦点为F，点M 在C上，且 则M到y轴的距离为 . 13. 已知:sinα-cosβ=0,cosα-sinβ=2,则 14. 已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积为6,三棱柱 为正三棱柱，若 且 E₁,F₁,G₁在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上，则当三棱柱 的体积取得最大值时，λ= . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题13分)已知函数 在x=1处的切线垂直于y轴. (1)求实数a 的值; (2)求函数f(x)的极小值. 16. (本小题15分)如图,直角梯形ABCD中,BC//AD,AB⊥AD,BC=8,AD= 点E 为线段BC 不在端点上的一点，过E 作AB 的平行线交AD 于F，将矩形ABEF 翻折至与梯形ECDF 垂直,得到六面体ABCDEF. (1)若 求BE 的长; (2)求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值. 17. (本小题 15 分) 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (1)求B; (2)若 为锐角三角形， 求2a-c的取值范围. 18. (本小题17分)在一个足够大的不透明袋中进行一个n轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球(摸出的球不再放回)，若摸出红球.则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功.若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或n轮试验进行完.已知第i 轮试验开始时，袋中有1个红球，i个黑球， 个白球. (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5 轮试验，并记录了第i(i=1,2,3,4,5)轮试验成功志愿者的比例y₁，记 发现 与y₁线性相关，求y关于x的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为 证明： 参考数据： 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 19. (本小题17分)双曲线. 射线 和射线 分别与 交于点 和点 …, Bn. (1)求双曲线 的离心率； (2)作射线l:y=kx(x≥0)(异于 与 分别交于点 记 的面积为 ①求证： ②若 且 记 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $