精品解析：江西省上饶市广信区 2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中考八年级上册·数学试题卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每道题只有一个正确的选项，本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A. 经 B. 开 C. 中 D. 学 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念，解题关键是判断每个标志能否沿某条直线折叠后，直线两旁的部分完全重合． 根据轴对称图形的定义，逐一判断选项中的标志能否沿某条直线折叠后使直线两侧部分完全重合，选出符合条件的选项． 【详解】解：∵ “中”字的结构关于垂直中线对称，沿该线对折后左右部分能完全重合； ∴ “中”是轴对称图形． 其他选项汉字“经”、“开”、“学”均无对称轴，故不是轴对称图形． 故选：C． 2. 如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意上点，PDOA交OB于D，PE⊥OA于E，若OD=4，则PE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同位角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：过点作于，如图所示： 平分，， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键． 3. 如图，，，若，，，则（ ） A. 26° B. 29° C. 58° D. 32° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（    ） A. 60° B. 65° C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证，得出，再根据三角形外角的性质求的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选A． 5. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 6. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，三角形的三边关系，根据ASA、SAS、SSS等判定唯一三角形，同时考虑三角形三边关系．需根据每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A项：，，只给出直角和斜边，无法唯一确定三角形，不符合题意； B项：, ，，已知两角及夹边，符合ASA全等条件，能唯一画出，符合题意； C项：，，，因为，不满足三角形三边关系，不能画出三角形，不符合题意； D项：，，，已知两边及非夹角，属于SSA情况，不能保证唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为 _____． 【答案】15 【解析】 【分析】先利用解一元二次方程﹣因式分解法求出方程的根，然后再分两种情况，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 或， ， 分两种情况： 当第三边为2时， ∵， ∴不能组成三角形， 当第三边为5时，这个三角形的周长， 综上所述：这个三角形的周长为15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8. 已知点与点关于x轴对称，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】点与点关于x轴对称， ，， ，， ， 故答案为：． 9. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 10. 已知是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长___________． 【答案】17或19 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质，三角形的三边关系．直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用等腰三角形的定义得出答案． 【详解】解∶∵， ∴，， 解得：，， ∵等腰三角形的两边长分别为a，b， ∴当a为腰长时，，此时符合题意， ∴等腰三角形的周长为：， 当b为腰长时，，此时符合题意， 等腰三角形的周长为：， 故此等腰三角形的周长为17或19． 故答案为：17或19． 11. 如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点关于的对称点；②作射线交于点；③连接.试用所作图形进行判断，_____________.(填“”“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【详解】解：如图， ，关于对称， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12. 如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为_________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分三种情形，利用等边对等角、三角形内角和定理求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，满足条件的点有三个， ∵， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角的平分线以及三角形外角的性质． 首先，由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义可知，再利用三角形外角的性质，即可求得结果． 【详解】解：∵，， ． 平分， ． ． 14. 如图，在中，平分，，于点，点在上，且．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 由角平分线的性质得到，利用证明，即可证明，设，则，再利用证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 设，则， 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 故答案为：2． 15. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F．若，，，求的长 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，含 角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据直角三角形角所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图所示： ； （2） （3）点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． 【小问1详解】 解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： 【小问2详解】 解：关于y轴对称点为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 17. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 现有a、b、c三个有理数，且，． （1）求a、b、c的值； （2）若a、b、c分别是三条边的长度， ①按边分，是_____三角形； ②求出此时的周长． 【答案】（1），，或2 （2）①等腰；②7． 【解析】 【分析】本题考查了平方数的非负性，绝对值的性质，三角形三边关系及三角形周长的计算． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据绝对值的性质求出c的值； （2）根据三角形三边关系判断三角形的类型，再计算三角形的周长． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴，， 又根据绝对值的意义可知或， ∴或2． 综上所述，，，或2． 【小问2详解】 解：①当时，边长为2、3、6，不满足三角形三边关系，无法构成三角形， 当时，边长为2、3、2，满足三角形三边关系，构成等腰三角形， 故答案为：等腰． ②当时，周长为， ∴的周长为7． 19. 如图，已知是等边三角形，D、E分别在、边上． （1）若，求证：是等边三角形、 （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，推导出，且是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，由，得，，则，所以，即可由，，证明是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得，，而，则，所以，即可由，，证明是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知，平分． （1）如图①，若，，求证：平分； （2）如图②，若，求证：． 【答案】（1） 证明：如图：过点E作于点F，则， 平分，，且， ，， 又， ， ， ， ， 平分； （2） 证明：如图，延长和相交于点M， ，平分， ，， 是等腰三角形，即， 又， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点E作于点F，由平分可得，利用可证得，即可得到结论成立； （2）延长和相交于点M，由，平分可得是等腰三角形，即，再由得，利用可证得，即可得到结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线判定定理和性质定理，平行线性质，以及等角对等边，解题的关键是正确作出辅助线，构造出全等三角形进行解题． 五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； （2）如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】（1） （2）①是“准互余三角形”；②的度数是或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：是“准互余三角形”，， ， ； 【小问2详解】 解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 22. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】（1）或 （2）点Q的运动速度为或 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； 【小问2详解】 解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 六. （本大题共12分） 23. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． （3）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 【答案】（1） 作图如下： （2）两点之间线段最短 （3）①12；②， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； 【小问3详解】 ①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中考八年级上册·数学试题卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每道题只有一个正确的选项，本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A. 经 B. 开 C. 中 D. 学 2. 如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意上点，PDOA交OB于D，PE⊥OA于E，若OD=4，则PE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，，，若，，，则（ ） A. 26° B. 29° C. 58° D. 32° 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（    ） A. 60° B. 65° C. D. 5. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为 _____． 8. 已知点与点关于x轴对称，则__________． 9. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 10. 已知是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长___________． 11. 如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点关于的对称点；②作射线交于点；③连接.试用所作图形进行判断，_____________.(填“”“”或“”) 12. 如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为_________________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．若，，求的度数． 14. 如图，在中，平分，，于点，点在上，且．若，，则的长为______． 15. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F．若，，，求的长 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 17. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 现有a、b、c三个有理数，且，． （1）求a、b、c的值； （2）若a、b、c分别是三条边的长度， ①按边分，是_____三角形； ②求出此时的周长． 19. 如图，已知是等边三角形，D、E分别在、边上． （1）若，求证：是等边三角形、 （2）若，求证：是等边三角形． 20. 已知，平分． （1）如图①，若，，求证：平分； （2）如图②，若，求证：． 五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； （2）如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 22. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 六. （本大题共12分） 23. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． （3）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $