精品解析：安徽省淮北市濉溪县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　） A. y＝x2 B. y＝ C. y＝ D. y＝ 3. 两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（ ） A. 75，115 B. 85，125 C. 60，100 D. 45，85 4. 如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A. ∠ACD＝∠B B. ∠ADC＝∠ACB C. AC2＝AD•AB D. BC2＝BD•AB 5. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为.如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，其中点的横坐标为3，当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 若，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8. 某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上的点M处，延长，交于点N．下列结论不一定成立的是（ ） A. 垂直平分 B. 平分 C. D. 10. 如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 12. 如图，已知直线，直线，分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，，，，则的长为______． 13. 如图，正方形在平面直角坐标系中，点，轴，且，若反比例函数的图象与正方形有交点，则k的取值范围是______． 14. 如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过______秒后，的面积等于面积的；经过______秒与相似． 三、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 16. 已知：，，求：代数式的值． 四、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． （1）以O为位似中心，在网格中画出的异侧位似图形，且满足与的位似比为； （2）若的面积为，求的面积． 18. 已知抛物线的顶点坐标是，且经过点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若点都在该抛物线上，且，则____（填“” “”或“”）． 五、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 20. 已知抛物线的解析式为y=x2-（2m-1）x+m2-m （1）试判断：抛物线与x轴的交点情况，并说明理由； （2）若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 六、（本题满分12分） 21. 某水果店计划销售当季沃柑，经市场调研发现：沃柑的单价x元/千克与日销售量y千克满足一次函数关系，且当单价为11元/千克时，日销售量为130千克；单价为14元/千克时，日销售量为70千克．已知沃柑的进货成本为7元/千克，水果店每日的固定运营成本（如房租、水电）为240元．设每日销售沃柑的利润为w元． （1）求日销售量y与单价x之间的一次函数表达式； （2）求利润w与单价x之间的二次函数表达式； （3）为保证盈利且符合市场定价规则，该沃柑单价需满足（x为整数），求此时水果店每日可获得的最大利润． 七、（本题满分12分） 22. （）如图，在中，，点是斜边的中点，作垂直于交于点，交于点． 求证：． （）如图，过点作交的延长线于点，若． ①求证：； ②求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，若常数满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如 的函数是二次函数．逐一判断每个函数是否符合定义即可． 【详解】解：①，是二次函数； ②，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ∴ 是二次函数的有①和③，共2个． 故选：B 2. 设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　） A. y＝x2 B. y＝ C. y＝ D. y＝ 【答案】D 【解析】 【分析】作出三角形的高，利用直角三角形的性质及勾股定理可得高，利用三角形的面积＝底×高，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：作出BC边上的高AD． ∵△ABC是等边三角形，边长为x， ∴CD＝x， ∴高为h＝x， ∴y＝x×h＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，找到等边三角形一边上的高是难点，求出三角形的高是解决问题的关键. 3. 两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（ ） A. 75，115 B. 85，125 C. 60，100 D. 45，85 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为，利用相似三角形的周长比等于对应边之比的性质，列方程求解即可． 【详解】解：设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应边分别是15和23， ∴对应边之比为， ∴ 周长之比也为， 即 ， 解得：， ∴小三角形周长为75，大三角形周长为． 故选：A 4. 如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A. ∠ACD＝∠B B. ∠ADC＝∠ACB C. AC2＝AD•AB D. BC2＝BD•AB 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意； B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意； C.∵AC2＝AD•AB， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意； D.∵BC2＝BD•AB， ∴， 添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理的内容是解此题的关键． 5. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为.如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边可得，从而可得是“黄金三角形”，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， 是“黄金三角形”， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握黄金分割，以及等腰三角形的判定是解题的关键． 6. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，其中点的横坐标为3，当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数及反比例函数图像与性质，由正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点可知，与关于原点对称，从而根据点的横坐标为3，得到点的横坐标为，再由确定图像为正比例函数图像在反比例函数图像下方的部分，找出其对应的取值范围即可得到答案． 【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点， 与关于原点对称， 点的横坐标为3， 点的横坐标为， 当时，或， 故选：B． 【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数综合，涉及图像交点特征、利用函数图像交点求不等式解集等知识，熟练掌握正比例函数与反比例函数图像与性质是解决问题的关键． 7. 若，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 设，将变形为，得到，即，利用二次函数的性质作答即可． 【详解】解：设， ∵可写为， ∴， 即， ， 的最大值为． 故选D． 8. 某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出矩形的另一边长，根据矩形的面积公式，列出二次函数关系式，根据矩形与墙平行的一边的长度大于0，小于等于20，求出自变量的范围即可． 【详解】解：由题意，矩形的另一边长为， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，在矩形中，E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上的点M处，延长，交于点N．下列结论不一定成立的是（ ） A. 垂直平分 B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、中垂线、矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似的判定等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 选项：根据沿折叠，点D恰好落在上的点M处，可得，．根据四边形是矩形，可得，根据角的等量代换可证是等腰三角形．结合的平分线利用等腰三角形三线合一的性质即可得到结论； 选项：根据平分，，，可得．根据，，证得，即可得到结论； 选项：根据四边形是矩形，可得，根据，可得 ，，即找不到第二对等角证明相似； 选项：根据， ，，可得 ．根据，即可得到结论． 【详解】解：将沿折叠，点D恰好落在上的点M处， ，． 四边形是矩形， ， ， 是等腰三角形． 的平分线交于点F， ， ， 垂直平分． 故选项正确； 的平分线交于点F， ，， ． ，， ， ， 平分． 故选项正确； ， ， ． ， 与不存在相似． 故选项错误； ， ，， ． ， ． 故选项正确； 故选：． 10. 如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，， ∴∠B＝60°，，， ∵CD⊥AB， ∴，，， ∴当M在AD上时，0≤t≤3， ，， ∴， 当M在BD上时，3＜t≤4， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 12. 如图，已知直线，直线，分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，，，，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据平行线分线段成比例定理求出线段的长．根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，根据线段之间的关系，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：12． 13. 如图，正方形在平面直角坐标系中，点，轴，且，若反比例函数的图象与正方形有交点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质及点，轴，且，得点的坐标为，当反比例函数的图象经过点时，，当反比例函数的图象经过点时，，由此可得出当反比例函数的图象与正方形有交点时，的取值范围． 【详解】解：四边形为正方形，点，轴，且， 点的坐标为， 当反比例函数的图象经过点时，， 当反比例函数的图象经过点时，， 当反比例函数的图象与正方形有交点， 则的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，理解满足反比例函数表达式的点都在反比例函数的图象上，反比例函数图象上的点都满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 14. 如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过______秒后，的面积等于面积的；经过______秒与相似． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是审明题意找到相等关系； 设运动时间为秒①根据面积的关系列出方程即可；②分类讨论相似的两种情况列比例关系，解方程即可． 【详解】解：设运动时间是秒， ①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：（舍）， ②当时， ， ∴解得：； 当时， ， ∴解得：； 故答案为： ；或． 三、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． 抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； 就是抛物线在轴上方，因为当时，抛物线的图象在轴的上方，所以不等式的解集为； 抛物线开口向下，在对称轴左侧时随的增大而减小，从图象上可知抛物线的对称轴是，所以当时，随的增大而减小； 方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 方程组有一组解， 方程有两个相等的实数根， 当时， 方程组有两组解， 方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根时，． 16. 已知：，，求：代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，设，，．又因为，则可得k的值，从而求得x、、z的值，故可求． 【详解】设， 则，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了比例的性质和代数式求值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 四、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． （1）以O为位似中心，在网格中画出的异侧位似图形，且满足与的位似比为； （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了位似的作图和相似三角形的性质，正确作图是关键． （1）根据位似的作图方法作图即可； （2）根据位似图形的相似比进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：与的位似比为， 与的面积比为． 的面积为， 的面积为． 18. 已知抛物线的顶点坐标是，且经过点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若点都在该抛物线上，且，则____（填“” “”或“”）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）利用顶点式，即可确定出解析式； （2）利用二次函数的增减性判断即可得到结果． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，而， ∴点都在抛物线对称轴左侧，此时，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 五、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 20. 已知抛物线的解析式为y=x2-（2m-1）x+m2-m （1）试判断：抛物线与x轴的交点情况，并说明理由； （2）若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】（1）抛物线与x轴有两个交点，理由见解析；（2）m=1或－3. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与一元二次方程的关系，只要判断当y=0时，方程x2-（2m-1）x+m2-m=0的根的个数即可，即判断此方程的判别式的正负情况； （2）根据y轴上的点的坐标特点可得关于m的方程，解方程即得结果. 【详解】解：（1）当y=0时，x2-（2m-1）x+m2-m=0， ∵△， ∴抛物线与x轴有两个交点； （2）根据题意，当x=0时，，解得，. 故m=1或－3. 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系和一元二次方程的解法，熟知抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键. 六、（本题满分12分） 21. 某水果店计划销售当季沃柑，经市场调研发现：沃柑的单价x元/千克与日销售量y千克满足一次函数关系，且当单价为11元/千克时，日销售量为130千克；单价为14元/千克时，日销售量为70千克．已知沃柑的进货成本为7元/千克，水果店每日的固定运营成本（如房租、水电）为240元．设每日销售沃柑的利润为w元． （1）求日销售量y与单价x之间的一次函数表达式； （2）求利润w与单价x之间的二次函数表达式； （3）为保证盈利且符合市场定价规则，该沃柑单价需满足（x为整数），求此时水果店每日可获得的最大利润． 【答案】（1） （2） （3）310元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题关键． （1）根据和，利用待定系数法求解即可得； （2）根据每日的利润（单价进货成本价）日销售量每日的固定运营成本建立函数关系式即可得； （3）先将与的函数关系式化成顶点式，再利用二次函数的增减性求解即可得． 【小问1详解】 解：设与之间的一次函数表达式为， 由题意，将和代入得：， 解得， 所以与之间的一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意得： ， 答：利润与单价之间的二次函数表达式为． 【小问3详解】 解： ， ∴在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∵，且为整数， ∴需计算对称轴附近的整数和对应的利润， 当时，（元）； 当时，（元）； ∴当时，利润最大，最大利润为310元， 答：此时水果店每日可获得的最大利润为310元． 七、（本题满分12分） 22. （）如图，在中，，点是斜边的中点，作垂直于交于点，交于点． 求证：． （）如图，过点作交的延长线于点，若． ①求证：； ②求的值． 【答案】（）证明见解析；（）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（）由直角三角形的性质可得，即得，进而即可求证； （）①利用平行线的性质和相似三角形的性质可得，进而由“”即可求证；②先证明，得到，又由全等三角形的性质得，即得到，得到，再证明，可得到，进而得到，即可求解． 【详解】（）证明：∵在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ； （）①证明：∵， ，， 由（）知， ∴， ， 在和中， ， ； ②解：由①得， 又∵， ， ∴， 即， ∵， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，黄金分割，熟练掌握知识点是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，若常数满足，求的值． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将，代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）将代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出的表达式，然后代入进行求解即可． 【小问1详解】 解：当，时，二次函数 ， ∴此函数图象的对称轴为直线 【小问2详解】 当时，二次函数 ， ∴抛物线对称轴为直线 ∵， ∴抛物线开口向上 ∵在时，y随x的增大而减小，∴ ，即； ∵在时，y随x的增大而增大，∴，即， ∴ 【小问3详解】 若点，，均在该函数的图象上， ∵， ∴ ∴ ， ∴； ∵， ∴， 即， ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴ 解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $