精品解析：广东省惠州市惠城区三校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年九年级第二次月考 数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求.） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意； 故选：C． 2. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 3. 将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A. 向上平移1个单位 B. 向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握抛物线顶点式（）中，的变化对应图象左右平移（时向右平移，时向左平移）． 先确定原抛物线与平移后抛物线的顶点坐标，原抛物线的顶点为，平移后抛物线的顶点为；对比两个顶点的横坐标变化，从到是增加，据此判断平移方向． 【详解】解：原抛物线可化为，顶点坐标为； 平移后抛物线,可化为，顶点坐标为 顶点从到，横坐标增加，即抛物线向右平移个单位，与选项D一致． 故选：D． 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 5. 一元二次方程经过配方变形为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，利用配方法把方程转化为即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 6. 今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为亿元．若把增长率记作．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：C． 7. 如图，点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 8. 如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，正确理解求解方法是关键．根据题意可得园内是一个正八边形，求出中心角，得到旋转后能重合的最小旋转角，即可求解． 【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则， 将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数， ，不是整数， 旋转角度不能是， 故选：B． 9. 已知，，是二次函数的图像上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握该知识点是解题的关键．根据的开口向上，对称轴为，那么距离对称轴越近，其函数值越小，据此作答即可． 【详解】解：∵，其中， ∴其对称轴为，图象开口向上， ∵，，是二次函数的图象上的三个点， 且，，，， ∴， 故选：A． 10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴判断①，根据抛物线与轴的另一个交点在和之间，得出当时，，即可判断②，根据当时，，即可判断③，根据函数图象即可判断④,根据抛物线与直线的交点关于对称即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间， ∴当时， 又 ∴ ∴，故③错误 根据函数图象可知，当时，的值有正有负，故④错误， ∵抛物线与直线的交点关于对称， 设的两根为,根据对称性可得，则， 同理的两根和为， ∴若方程有四个根， 这四个根的和为．故⑤正确 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果. 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数值有最大值可得二次项系数小于0，再根据最大值是2利用二次函数顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式函数值有最大值， ∴二次函数解析式二次项系数， 又最大值是2， ∴符合条件的二次函数解析式可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和顶点式． 13. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握该知识点是解题的关键．将代入一元二次方程，得到，即，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2026． 14. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的度数的一半和圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补，可算得，再根据圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，连接并延长交于点，并且，，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一和勾股定理，圆的基本概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，由等腰三角形三线合一得，，设的半径为，则，那么，在中，根据，列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是弦的中点，，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得． 则的半径为． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得， ① 两边同时除以3得， ② 配方得， ③ 即， 或 ④ ， ⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤______（填序号），错误的原因是________________________． （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）②，两边同时除以3，右边没有除以3 （2） 解： 移项得， 两边同时除以3得， 配方得， 即， ∴或， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程的基本步骤，进行判定即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：错在步骤②，错误的原因是两边同除以3，右边没有除以3； 【小问2详解】 略 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）的面积是多少． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求 （3） 【解析】 【分析】(1) 根据原点对称，坐标都变成原来坐标的相反数，确定坐标后，再画图即可． (2) 根据旋转的全等性作图即可． (3) 利用分割法计算面积即可． 本题考查了原点对称作图，旋转作图，分割法计算图形的面积，正确理解旋转的性质，原点对称的坐标特点是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，，，． ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，得 ． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线． （2）已知：，，求的半径是多少？ 【答案】（1） 证明：过点O作于点E，连接， 为等腰三角形，O是底边的中点， 是的平分线． 与O相切于点D， ∴， ，即是的半径， 是的切线； （2）的半径是 【解析】 【分析】（1）过点O作于点E，连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质结合角平分线的性质定理，得出，即是的半径，即证是的切线； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可求出，，再根据含30度角的直角三角形的性质得出，即得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等腰三角形，O是底边的中点， ∴是的平分线，，， ∴． ∴． ∵， ， 的半径是． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质和判定，角平分线的性质定理，含30度角的直角三角形的性质，连接常用辅助线是解题关键． 20. 【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． 【小问2详解】 第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， 【小问3详解】 解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 【答案】任务一：15600 任务二：； 任务三：100 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． 任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解； 任务2：设镇流器补进件，根据题意列出代数式即可求解； 任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元， 答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元； 任务2：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为（元）， 补进灯管的总价为：（元）， 故答案为：；． 任务3：依题意，， 解得， ， ， 答：补进镇流器100件． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，求的值． 【答案】（1）， （2）的面积最大值为 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式及分类讨论思想等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用表示出，然后用含m的式子表示出 的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【小问1详解】 解：抛物线过、两点， ，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解得：， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：抛物线，其对称轴为， 当，即时，在上，随的增大而增大， ∴当时，有最大值3， ∴，解得， ， ； 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，有最大值3， ∴，解得或， ； 当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上的值为或． 23. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值； （3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】（1）①等边；②两点之间线段最短；③；④A． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． 【小问2详解】 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， 【小问3详解】 ∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为， 过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级第二次月考 数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求.） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A. 向上平移1个单位 B. 向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程经过配方变形为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为亿元．若把增长率记作．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，是二次函数的图像上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果. 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 12. 写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式______． 13. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为______． 15. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，连接并延长交于点，并且，，则的半径为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得， ① 两边同时除以3得， ② 配方得， ③ 即， 或 ④ ， ⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤______（填序号），错误的原因是________________________． （2）请你写出正确的解答过程． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）的面积是多少． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线． （2）已知：，，求的半径是多少？ 20. 【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，求的值． 23. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值； （3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $