专题06 指数与对数、幂函数、指数函数和对数函数（14大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题06 指数与对数、幂函数、指数函数和对数函数（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识清单2 指数幂的拓展】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【知识清单3 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【知识清单4 对数的运算性质】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识清单5 幂函数的概念】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【知识清单6 幂函数的图象与性质】 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 4．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【知识清单7 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【知识清单8 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【知识清单9 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【知识清单10 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 题型1 分数指数幂与根式的互化 1．（24-25高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【解答过程】因为，则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数幂与根式关系、对数的运算性质判断各项正误. 【解答过程】A：，对； B：，错； C、D：由对数的运算性质有、，错. 故选：A. 4．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 . 【答案】 【解题思路】，结合指数幂运算法则进行求解. 【解答过程】，. 故答案为：. 5．（24-25高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据根式与指数式的互化即可得解. （2）（3）（4）根据根式与指数式的互化结合指数幂的运算性质即可得解. 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型2 指数幂的化简、求值 6．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【解答过程】， 故选：A. 7．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数幂的性质判断ABC，根据计算判断D. 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：C. 8．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【解题思路】利用指数运算化简判断AC；利用根式运算化简判断BD. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 9．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，化简： . 【答案】 【解题思路】由指数幂的运算化简即可； 【解答过程】原式. 故答案为：. 10．（24-25高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【解题思路】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可； （2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可. 【解答过程】（1） =； （2） . 题型3 指数式与对数式的互化 11．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数式和对数式的互化可得结果. 【解答过程】因为，所以，. 故选：A. 12．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【解题思路】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【解答过程】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D. 13．（24-25高一上·江西吉安·期末）设，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解题思路】令，利用指数和对数的关系可得，即，解关于的一元二次方程即可求解. 【解答过程】令， 则，，，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以， 故选：D. 14．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【解题思路】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【解答过程】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 15．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【解答过程】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 题型4 对数的运算 16．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可. 【解答过程】因为， 故选：B. 17．（24-25高一上·山东济宁·期末）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】利用对数的运算性质可直接求得答案. 【解答过程】 ， 故选：D. 18．（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 【答案】B 【解题思路】先根据所给关系式分别表示出日本东北部海域地震和俄罗斯东南部地震释放的能量，再结合两者能量的倍数关系列出等式，最后通过对数运算求出俄罗斯东南部地震的震级. 【解答过程】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为， 俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为. 对于日本东北部海域的9级地震有； 对于俄罗斯东南部的地震有. 因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即. 两边同时取对数可得，根据对数运算法则，. 又因为， 已知，所以. 将，，代入可得： ， 解得. 俄罗斯东南部地震震级大约是级. 故选：B. 19．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 【答案】 【解题思路】由对数的运算性质即可得解. 【解答过程】. 故答案为：. 20．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解题思路】（1）借助对数运算法则与指数运算法则计算即可得； （2）借助指数运算法则计算即可得； （3）借助对数运算法则及换底公式计算即可得. 【解答过程】（1）； （2）； （3） . 题型5 求幂函数的解析式或值 21．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据求出的值，由此可得出幂函数的解析式. 【解答过程】根据题意，设，则，可得，解得，故. 故选：D. 22．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解题思路】将代入幂函数的解析式中可求得的值，进而可求解. 【解答过程】因为幂函数满足， 所以，所以， 则，从而. 故选：B. 23．（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【解答过程】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 故选：B. 24．（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 【答案】 【解题思路】根据幂函数的表达式即可求解. 【解答过程】点在幂函数的图像上， ，解得， 的表达式为. 故答案为：. 25．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据幂函数的定义和性质来求得的值，从而求得的解析式. （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围. 【解答过程】（1）是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即． （2））易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为． 题型6 幂函数图象的判断及应用 26．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据①对应的函数图象特点分析. 【解答过程】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 27．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【解答过程】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 28．（24-25高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】待定系数法求出解析式，从而选出答案. 【解答过程】设幂函数解析式为，将代入得， 即，故，解得， 所以，C选项为其图象. 故选：C. 29．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【解答过程】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C. 30．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1)，图象见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 【解题思路】（1）设，代入，求出，得到解析式，并画出图象； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【解答过程】（1）设（为常数），则 ，所以， 所以函数的解析式为，定义域为，其图象如图所示. （2）函数在上单调递减.证明如下： 根据题意，得函数，定义域为. ，，且， . 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 题型7 幂函数的图象与性质 31．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 【答案】C 【解题思路】由函数为幂函数可得或，再结合函数的性质确定，结合单调性的性质可得结论. 【解答过程】因为函数为幂函数， 所以， 解得或； 因为对任意且，都有， 可知函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减，矛盾， 当时，，函数在上单调递增，满足条件， 所以，， 函数为奇函数，函数在上单调递增， 由，可得，所以，即， 所以. 故选：C. 32．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【解答过程】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D. 33．（24-25高一上·安徽宣城·期末）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【解答过程】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 34．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】先根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 35．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）令，求出函数在区间上的值域即可； （3）令，可得，不等式转化为，由参变量分离法可得，其中，结合基本不等式可求得的取值范围. 【解答过程】（1）因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 故. （2）当时，可得， 令，因为，所以，即可得， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，，当时，. 所以函数在区间上的值域为. （3）令，因为，所以， 因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. 题型8 指数（型）函数的图象问题 36．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可． 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数为奇函数，故C错误； 又∵，故D错误； 当时，，故B错误,A正确. 故选：A． 37．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【解答过程】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 38．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【解答过程】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 39．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【解答过程】的定义域为， ，所以是奇函数， 图象关于原点对称，所以B选项错误. ，所以C选项错误. 的增长速度比的增长速度慢， 所以时，，所以D选项错误. 故选：A. 40．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 题型9 指数（型）函数的单调性问题 41．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【解答过程】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 42．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复合函数的单调性求解判断. 【解答过程】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 43．（24-25高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【解答过程】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A. 44．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（说明写成也给分） 【解题思路】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【解答过程】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 45．（24-25高一上·四川广元·期末）函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 【答案】(1)1； (2)单调递增，证明见解析； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）利用奇函数的定义求出值； （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）由（2）脱去法则“f”，再解含参数的一元二次不等式. 【解答过程】（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得， 即，则， 所以a的值为1. （2）由（1）知，，函数在R上单调递增， ，， 由，得，则， 因此，即， 所以函数在R上单调递增. （3）由（1）知，，不等式， 则， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，解得或； 若，解得； 若，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型10 指数型复合函数及其应用 46．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【解答过程】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 47．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，由，可得，即，利用单调性解不等式即可. 【解答过程】设函数，则， 所以，显然定义域关于原点对称，所以是奇函数. 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数. 等价于， 即. 因为是奇函数，所以. 因为是上的增函数，所以，即，解得或. 故选：. 48．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数 且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】举反例判断①，②，利用函数的奇偶性判断③，利用指数函数的性质判断④即可. 【解答过程】令，此时，而， ，故函数在其定义域内不单调递减， 函数的值域不可能为；即①，②错误， 因为，的定义域关于原点对称， 故，即， 得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确， 当时，，故函数的图象过定点，即④正确. 综上，其中正确结论的个数是，故B正确. 故选：B. 49．（24-25高一上·陕西商洛·期末）已知定义在R上的奇函数，偶函数，，，. (1)求，的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)求函数的值域. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）利用函数的奇偶性求参数值即可； （2）根据奇偶性的定义判定证明； （3）由，结合指数函数、分式型函数的性质求值域. 【解答过程】（1）由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 故恒成立，所以， 因为，即， 所以恒成立，所以. （2）由（1）知， 所以的定义域为， 因为， 所以为奇函数. （3）， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故的值域为. 50．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【解题思路】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 题型11 指对幂比较大小 51．（24-25高一上·安徽合肥·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【解答过程】∵， ， ， ∴. 故选：B. 52．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性，求出的取值范围即可比较大小. 【解答过程】因，，， 故. 故选：B. 53．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论. 【解答过程】因为，所以，可得； 则，即， 又，即， 易知指数函数单调递减，可得， 又幂函数单调递增，可知， 即可得； 因此可得. 故选：D. 54．（24-25高一上·广东揭阳·期末）若，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 【答案】 【解题思路】根据指对数的单调性即可求解. 【解答过程】,,又， 故，故， 故答案为：. 55．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 【答案】 【解题思路】根据指数函数以及对数函数的单调性，分别判断出三个数的范围，在由指数化成根式比较的大小，可得答案. 【解答过程】因为， 又， 而，则，则， 所以，. 故答案为：. 题型12 对数（型）函数的单调性问题 56．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【解答过程】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 57．（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构建，根据对数函数性质可知函数在区间上单调递增，且在内恒成立，列式求解即可. 【解答过程】构建，其图象开口向上，对称轴为， 因为函数在区间上单调递增，且在定义域内单调递增， 则函数在区间上单调递增，且在内恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 58．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【答案】D 【解题思路】利用复合函数的单调性可得出结论. 【解答过程】对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在区间上是增函数. 故选：D. 59．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 60．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数且. (1)若，求函数的定义域及值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【解题思路】（1）当时，可得函数的解析式，进而求出函数的定义域，求出真数的取值范围，结合对数函数的单调性可求得函数的值域； （2）分、两种情况讨论，利用复合函数的单调性列出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 因为，所以， 又函数为增函数，所以， 故当时，函数的定义域为，值域为. （2）当时，函数为减函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，该不等式组无解； 当时，函数为增函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型13 对数型复合函数及其应用 61．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【解答过程】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C. 62．（24-25高一上·福建泉州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【解答过程】∵函数在上单调递增， ∴当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即， ∴， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即函数的值域为， ∵，∴此时函数的值域为，即， 综上所述：. 故选：C. 63．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【答案】D 【解题思路】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D. 【解答过程】对于A，要使函数有意义，则，解得或， 所以函数定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误； 对于D，令，则， 由二次函数性质可知，在区间上单调递减， 由对数函数性质可知，在定义域内单调递增， 所以在区间上单调递减，故D正确. 故选：D. 64．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为； (2) 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域； （2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围. 【解答过程】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 65．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【解题思路】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【解答过程】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 题型14 指数函数与对数函数综合 66．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零. 【解答过程】由已知当时，需， 令，则函数在上为减函数， 所以， 又函数在定义域上为增函数， 所以函数是减函数， 故在区间上的最大值是， 最小值是， 由题设得，则， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 67．（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题目条件构造，即可通过函数单调性获解. 【解答过程】根据题意，设，若函数满足对任意， 有，则，即 则函数在上为增函数， 又由，则， ， 则有，解可得：且，即不等式的解集为. 故选：D. 68．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，证明函数在上单调递减，根据单调性列不等式即可求解. 【解答过程】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 69．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【解答过程】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 70．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数为偶函数． (1)求m的值； (2)若，判断在上的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) ． 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性求m的值； （2）利用定义法，结合指数函数的单调性即可证明单调性； （3）利用参变分离得到，且在区间上恒成立，换元，构造函数，利用单调性求出函数的最小值，即可求解a的取值范围． 【解答过程】（1）定义域为R，， 由于函数为偶函数，所以， 即，即， 即恒成立， （2）已知函数， 由于函数在上单调递增， 由第问可得，因此， 不妨设，，且， 则 ， 因为，所以， 又因为，， 因此，所以，故， 所以函数在上单调递增. （3）由题得，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因为，所以， 所以在区间上恒成立， 令， 则， 令， 因为在单调递增且， 所以函数在上单调递减，故，， 对任意的恒成立，且，， 实数a的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 指数与对数、幂函数、指数函数和对数函数（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识清单2 指数幂的拓展】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【知识清单3 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【知识清单4 对数的运算性质】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识清单5 幂函数的概念】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【知识清单6 幂函数的图象与性质】 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 4．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【知识清单7 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【知识清单8 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【知识清单9 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【知识清单10 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 题型1 分数指数幂与根式的互化 1．（24-25高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 . 5．（24-25高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 指数幂的化简、求值 6．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 9．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，化简： . 10．（24-25高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 题型3 指数式与对数式的互化 11．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 13．（24-25高一上·江西吉安·期末）设，，若，则（    ） A． B． C． D．3 14．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 15．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 题型4 对数的运算 16．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·山东济宁·期末）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 19．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 20．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 题型5 求幂函数的解析式或值 21．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 23．（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 24．（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 25．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 题型6 幂函数图象的判断及应用 26．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 27．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   28．（24-25高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   29．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 30．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 题型7 幂函数的图象与性质 31．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 32．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·安徽宣城·期末）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 34．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 35．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 题型8 指数（型）函数的图象问题 36．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   37．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   38．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型9 指数（型）函数的单调性问题 41．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 45．（24-25高一上·四川广元·期末）函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 题型10 指数型复合函数及其应用 46．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数 且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·陕西商洛·期末）已知定义在R上的奇函数，偶函数，，，. (1)求，的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)求函数的值域. 50．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型11 指对幂比较大小 51．（24-25高一上·安徽合肥·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·广东揭阳·期末）若，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 55．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 题型12 对数（型）函数的单调性问题 56．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 59．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 60．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数且. (1)若，求函数的定义域及值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 题型13 对数型复合函数及其应用 61．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 62．（24-25高一上·福建泉州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 64．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 65．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 题型14 指数函数与对数函数综合 66．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 67．（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 68．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 69．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 70．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数为偶函数． (1)求m的值； (2)若，判断在上的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $