7.3.2 三角函数的图象与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学三角函数的图象与性质，系统涵盖正弦函数、余弦函数的图象绘制（五点法）、周期性、奇偶性、单调性、最值，以及正切函数的图象与性质，形成从图象到性质的递进式学习支架。 资料紧扣课标，通过基点小试夯实基础，互动探究提炼方法（如“五点法”作图培养几何直观），分层练习兼顾巩固与提升。题型总结助学生形成推理意识，课后练习可查漏补缺，有效提升教学效果与学生学习效率。

7．3.2　三角函数的图象与性质 第一课时　 正弦函数、余弦函数的图象 ► 对应学生用书P143 [课程标准]　能画出正弦、余弦三角函数的图象，了解正弦、余弦三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值． 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象 画法 “五点法” “五点法” 关键 五点 (0，0)，，(π，0)，，(2π，0) (0，1)，，(π，－1)，，(2π，1) 正弦函数、余弦函数的图象可以通过左右平移得到． 【基点小试】 1．对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法错误的是(　　) A．向左右无限伸展 B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同 C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称 解析：选D.由正弦曲线知，A、B、C均正确，D不正确． 2．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列各点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　) A．(π，－1) B．(0，2) C． D． 解析：选A.可以利用代入排除法，A中(π，－1)不满足解析式，故选A. 3．函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的图象与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象(　　) A.关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称 解析：选A.在同一直角坐标系中作出两函数的简图易知A选项正确． 4．用“五点法”作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点是(0，1)，，(π，1)，________，(2π，1). 答案： 题型一　“五点法”作正、余弦函数的图象 例1.用“五点法”画出下列函数的图象． (1)y＝＋sin x，x∈[0，2π]； (2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]. 解：(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 ＋sin x － 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来可得其图象如图所示． (2)列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点连线，如图所示． [总结]　作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤 【练一练】 1．利用正弦或余弦函数图象作出y＝的图象． 解：由于y＝＝|cos x|，因此只需作出y＝|cos x|的图象即可，而y＝|cos x|可由y＝cos x将x轴下方的图象折到x轴上方，图象如图所示： 题型二　正、余弦函数图象的简单应用 例2.求下列函数的定义域． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝. 解：(1)要使f(x)＝有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－，作出正弦曲线如图所示． 结合图象可知，函数f(x)＝的定义域为. (2)要使函数f(x)＝有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象． 在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的图象， 所以函数f(x)＝的定义域为 . 例3.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围． 解：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝图象如图所示． 若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则由图象可得k的取值范围是(1，3). [总结] 　利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤 (1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象． (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值． (3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集． 【练一练】 2．在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数为________． 解析：建立平面直角坐标系xOy，先画出函数y＝sin x的图象，描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示． 由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个． 答案：3 3．求下列函数的定义域． (1)y＝log3(sin x－)； (2)y＝. 解：(1)要使函数有意义，则sin x>，作出y＝sin x在[0，2π]内的图象如图所示． 由图象知，在[0，2π]内使sin x>的x的取值范围是. 故原函数的定义域为(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z). (2)要使函数有意义，则2cos x－≥0， ∴cos x≥，画出y＝cos x的图象及直线y＝，如图所示， 由图象可知函数的定义域为 . [课后分层练(四十一)]　正弦函数、余弦函数的图象 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是(　　) 解析：选A.列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2－sin x 2 1 2 3 2 观察各图象发现A项符合． 2．下列函数图象相同的是(　　) A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (π＋x) B．f(x)＝sin 与g(x)＝sin C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (－x) D．f(x)＝sin (2π＋x)与g(x)＝sin x 解析：选D.A、B、C中f(x)＝－g(x)，D中f(x)＝g(x). 3．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　) 解析：选D.由题意得 y＝ 显然只有D合适． 4．方程sin x＝的根的个数是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选A.在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示： 根据图象可知方程有7个根． 5．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________． 解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin x∈[－1，1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0. 答案： 6．在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是________. 解析：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下： 因为sin ＝，所以sin ＝－， sin ＝－. 即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝. 可知不等式sin x<－的解集是. 答案： 7．求函数y＝ 的定义域． 解：要使函数有意义， 需满足 即作出正弦函数图象，如图所示． 由图象知其定义域为： ∪ . 【能力提升题组】 8．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(　　) A．4 B．8 C．2π D．4π 解析：选D.作出函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分． 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π. 9．已知f(x)是定义在(0，3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)·cos x＜0的解集是(　　) A．(0，1) B． C．(0，1)∪ D． 解析：选C.当0＜x＜1时，f(x)＜0，而此时cos x＞0，满足f(x)·cos x＜0；当1＜x＜3时，f(x)＞0，由cos x＜0(x∈(0，3))，解得＜x＜3，故x∈(0，1)∪. 10．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________． 解析：f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x| ＝ f(x)的图象如图中实线所示，由图知f(x)的值域是. 答案： 11．已知函数f(x)＝ (1)作出该函数的图象； (2)若f(x)＝，求x的值． 解：(1)作出函数f(x)＝的图象，如图①所示． (2)因为f(x)＝，所以在图①基础上再作直线y＝，如图②所示， 则当－π≤x<0时，由图象知x＝－，当0≤x≤π时，x＝或x＝. 综上，可知x的值为－或或. 第二课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 ► 对应学生用书P145 [课程标准]　1.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．　2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质． 一、周期函数 1．周期函数 条件 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2.最小正周期 条件 如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 微点拨：1.并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． 2．如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期． 3．函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质． 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若2是函数f(x)的周期，则－2也是函数f(x)的周期．(　　) (2)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(　　) (3)如果存在非零常数T，使得定义域内存在一个值x，有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝sin 是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 解析：选D.因为y＝sin ＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数． 3．下列四个函数中，图象关于y轴对称的是(　　) A．y＝sin x B．y＝1＋cos x C.y＝sin 2x D．y＝cos 解析：选B.图象关于y轴对称，则为偶函数，故选B. 4．若函数y＝sin (x＋φ)(0≤φ≤π)在R上为偶函数，则φ可等于(　　) A.0 B． C． D．π 解析：选C.代入排除，当φ＝时，y＝sin ＝cos x为偶函数． 题型一　三角函数的周期 例1.求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝cos ； (2)f(x)＝|sin x|. 解：(1)法一(定义法)　∵f(x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f(x＋π)， 即f(x＋π)＝f(x)， ∴函数f(x)＝cos 的周期T＝π. 法二(公式法)　∵y＝cos ， ∴ω＝2. 又T＝＝＝π. ∴函数f(x)＝cos 的周期T＝π. (2)法一(定义法)　∵f(x)＝|sin x|, ∴f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， ∴f(x)的周期为π. 法二(图象法)　∵函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π. [总结] 　求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解． (2)公式法，对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 【练一练】 1．函数f(x)＝cos 的最小正周期为(　　) A． B．π C．2π D．4π 解析：选D.函数f(x)＝cos 的最小正周期T＝＝4π. 2．利用已知f(x)＝2cos x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________． 解析：易知f(x)的最小正周期T＝6， f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 答案：3 3．f(x)＝|sin x＋1|是否是周期函数，最小正周期为多少？ 解：作出函数f(x)＝|sin x＋1|的图象，如图所示： 观察图象知，最小正周期为2π. 题型二　三角函数的奇偶性 例2.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin ； (2)f(x)＝lg (1－sin x)－lg (1＋sin x)； (3)f(x)＝. 解：(1)显然x∈R，f(x)＝cos x， f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (2)由得－1<sin x<1. 解得定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}． ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg (1－sin x)－lg (1＋sin x) ∴f(－x)＝lg [1－sin (－x)]－lg [1＋sin (－x)] ＝lg (1＋sin x)－lg (1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数． (3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． [总结] 判断函数奇偶性的方法 【练一练】 4．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x； (2)f(x)＝＋. 解：(1)函数的定义域为R， 又f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． 题型三　三角函数的奇偶性与周期性的简单应用 例3.(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A．y＝cos |2x| B．y＝|sin x| C．y＝sin D．y＝cos 解析：选D.y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin x| 是偶函数，y＝sin ＝cos 2x是偶函数，y＝cos ＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π. (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选D.f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin ＝. 【母题探究】　1.(变条件)若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？ 解：f＝f＝f＝f(－π)＝f＝－f＝－sin ＝－. 2．(变结论)若将例3(2)题条件不变，求f＋f的值． 解：f＝f＝f＝sin ＝， f＝f＝f＝f＝f＝sin ＝， 所以f＋f＝＋＝. [总结] 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法 利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题． 2．推得函数周期的若干形式 (1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t； (2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t； (3)若f(x＋t)＝，则函数周期为2t； (4)若f(x＋t)＝－，则函数周期为2t. 【练一练】 5．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，则f＝________． 解析：f＝f＝f＝f＝f＝f＝1. 答案：1 [课后分层练(四十二)]　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 （单选题、填空题每题5分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为，则ω等于(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：选B.由题意，知T＝＝，所以ω＝10. 2．函数y＝sin (0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　) A．0 B． C． D．π 解析：选C.由题意，得sin (－φ)＝±1，即sin φ＝±1，因为φ∈[0，π]，所以φ＝，故选C. 3．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析：选B.f＝f＝f＝－f＝－1. 4．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于(　　) A．1 B． C．0 D．－ 解析：选B.f＝f[×(－3)＋]＝f＝sin ＝. 5．设函数f(x)＝3sin ，ω＞0，x∈R，且以为最小正周期．若f＝，则sin α的值为______． 解析：因为f(x)的最小正周期为，ω＞0，所以ω＝＝4. 所以f(x)＝3sin . 因为f＝3sin ＝3cos α＝， 所以cos α＝. 所以sin α＝±＝±. 答案：± 6．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f(x)是偶函数； ③存在φ，使f(x)是奇函数； ④对任意的φ，f(x)都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号). 解析：φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数． φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数． 答案：①④ 7．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式． 解：x∈时，3π－x∈， ∵x∈时，f(x)＝1－sin x， ∴f(3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x. 又∵f(x)是以π为周期的偶函数， ∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， ∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈. 【能力提升题组】 8．已知函数f(x)＝sin 是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B．－ C． D．π 解析：选B.法一　f(x)＝sin 为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z. 显然当k＝0时，φ＝－满足题意． 法二　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即sin ＝0，所以φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－，令k＝0，则φ＝－. 9．函数f(x)＝7sin 是(　　) A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的奇函数 C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数 解析：选A.∵f(x)＝7sin ＝7sin ＝－7sin ＝－7cos x. ∴函数f(x)的周期为＝3π. 又∵f(－x)＝－7cos x＝f(x). ∴函数f(x)是周期为3π的偶函数． 10．函数y＝的最小正周期是________. 解析：∵y＝sin 的最小正周期为T＝4π，而y＝的图象是把y＝sin 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，∴y＝的最小正周期为T＝2π. 答案：2π 11．已知函数(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0). (1)求证：函数f(x)是周期函数． (2)若f(1)＝－5，求f[f(5)]的值． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－， ∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)， ∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是f(x)的一个周期． ∴f(5)＝f(1)＝－5， ∴f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝. 第三课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 ► 对应学生用书P149 [课程标准]　借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(单调性)、最值． y＝sin x y＝cos x 单调性 增区间 [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) [π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z) 减区间 [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 最值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z x＝2kπ，k∈Z ymin＝－1 x＝－＋2kπ，k∈Z x＝π＋2kπ，k∈Z 【基点小试】 1．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是(　　) A．[1，3] B．[－1，3] C．[－3，1] D．[－1，1] 解析：选B.∵x∈，∴sin x∈[－1，1]， ∴－2sin x＋1∈[－1，3]. 2．函数y＝sin x和y＝cos x都是减函数的区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：选A.由y＝sin x是减函数得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，由y＝cos x是减函数得2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故选A. 3．(苏教版必修一P199T4改编)设f(x)＝a cos x＋b的最大值是1，最小值是－3，则g(x)＝b sin (ax＋)的最大值为________． 解析：由题意a≠0，当a>0时，所以 此时g(x)＝－sin ，其最大值为1.当a<0时，所以 此时g(x)＝－sin ，其最大值为1.综上知，g(x)的最大值为1. 答案：1 4．求函数f(x)＝2cos (2x－)的单调递增区间． 解：令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z). 题型一　正弦函数、余弦函数的单调性 例1.求下列函数的单调区间： (1)y＝cos ；(2)y＝3sin . 解：(1)当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增， 故函数的单调递增区间是[4kπ－π，4kπ－π](k∈Z).　 当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时， 函数单调递减，故函数的单调递减区间是(k∈Z). (2)y＝3sin ＝－3sin ， 要求y＝－3sin 的增区间即求y＝sin 的减区间， 即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数y＝3sin 的递增区间为(k∈Z). 要求y＝－3sin 的减区间即求y＝sin 的增区间， 即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数y＝3sin 的递减区间为 (k∈Z). [总结] 　用“基本函数法”求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤 第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间； 第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”； 第三步：解关于x的不等式． 注意：对于形如y＝A sin (ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－A sin (－ωx－φ)，则y＝A sin (－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝A cos (ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略． 【练一练】 1．函数y＝sin ，x∈R在(　　) A．上是增函数 B．[0，π]上是减函数 C．[－π，0]上是减函数 D．[－π，π]上是减函数 解析：选B.因为y＝sin ＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数． 2．求函数y＝2sin 的单调区间． 解：∵y＝2sin ＝－2sin ， ∴函数y＝－2sin 的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定． 2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，① 2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z).② 解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 解②得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z). 故函数y＝2sin 的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z). 3．求函数y＝logsin 的单调递增区间． 解：由对数函数的定义域和复合函数的单调性， 可知 解得2kπ＋≤2x＋＜2kπ＋π(k∈Z)， 即kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)， 故所求函数的单调递增区间为(k∈Z). 题型二　利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 例2.(苏教版必修一P199T5改编)比较下列各组中函数值的大小： (1)cos 与cos ； (2)sin 194°与cos 160°. 解：(1)cos ＝cos ＝cos ， cos ＝cos ＝cos ， ∵π＜＜＜2π，且函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增，∴cos ＜cos ， 即cos ＜cos . (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin 14°＜sin 70°. 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. [总结] 　比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上. 【练一练】 4．(2025·南通如皋高一上期末)定义在R上的函数f(x)＝x-2＋cos x，若a＝f()，b＝f(log43)，c＝f(sin )，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．b<c<a 解析：选B.由复合函数的单调性可得f(x)＝x-2＋cos x在x∈(0，1)为单调递减函数，sin <sin ＝，而＝log42<log43，即sin <<log43，故c>a>b. 题型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题 例3.求下列函数的值域： (1)y＝2sin ，x∈； (2)y＝|sin x|＋sin x. 解：(1)∵x∈，∴2x＋∈. 令u＝2x＋，又y＝sin u在上单调递增， ∴0≤sin ≤1， ∴0≤2sin ≤2. y＝sin u在上单调递减， ∴－≤sin ≤1， ∴－≤2sin ≤2， ∴函数的值域为[－，2]. (2)∵y＝|sin x|＋sin x＝ 又sin x≥0时，0≤2sin x≤2， ∴函数y＝|sin x|＋sin x的值域为[0，2]. [总结] 　三角函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法 (1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值． (3)形如y＝A sin2x＋B sinx＋C(A≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝At2＋Bt＋C求最值．t的范围需要根据定义域来确定． 【练一练】 5．(1)求函数y＝2cos ，x∈的值域； (2)求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合． 解：(1)∵－<x<，∴0<2x＋<， ∴－<cos <1， ∴函数y＝2cos ，x∈的值域为(－1，2). (2)y＝cos2x＋4sinx ＝1－sin2x＋4sinx ＝－sin2x＋4sinx＋1 ＝－(sin x－2)2＋5. 所以当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4； 当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4. 所以ymax＝4，此时x的取值集合是 ；ymin＝－4，此时x的取值集合是 [课后分层练(四十三)]　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝－sin x D．y＝－cos x 解析：选D.作出四个函数的图象，知y＝sin x，y＝cos x在上单调递减，不符合；而y＝－sin x的图象虽满足在上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D. 2．下列不等式中成立的是(　　) A．sin ＞sin B．sin 3＞sin 2 C．sin π＞sin D．sin 2＞cos 1 解析：选D.∵sin 2＝cos ＝cos ，且0＜2－＜1＜π， ∴cos ＞cos 1，即sin 2＞cos 1.故选D. 3．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.函数y＝|cos x|＝图象如下图所示： 单调减区间有，，…，故选C. 4．若函数f(x)＝2sin (ω＞0)，且f(α)＝－2，f(β)＝0，|α－β|的最小值是，则f(x)的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：选A.由题意可知T＝，所以T＝2π，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin . 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).故选A. 5．(多选)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 解析：选ABC.由题意，可得f(x)＝－cos x， 对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确； 对于选项B，y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以选项B正确； 对于选项C，f(－x)＝－cos (－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC. 6．函数y＝1－2cos x的最小值、最大值分别是________． 解析：∵cos x∈[－1，1]， ∴－2cos x∈[－2，2]，∴y＝1－2cos x∈[－1，3]，∴ymin＝－1，ymax＝3. 答案：－1，3 7．已知函数f(x)＝－sin 2ωx(ω＞0)的图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为________． 解析：依题意得≥，即T≥2π，从而0＜ω≤. 又sin ＝0，即sin ＝0， ∴＝kπ(k∈Z)，解得ω＝k(k∈Z). 由0＜ω≤知，ω＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝2a sin ＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值． 解：∵0≤x≤，∴－≤2x－≤， ∴－≤sin ≤1. 若a>0，则解得 若a<0，则解得 【能力提升题组】 9．下列结论正确的是(　　) A．sin 400°>sin 50° B．sin 220°<sin 310° C．cos 130°>cos 200° D．cos (－40°)<cos 310° 解析：选C.由cos 130°＝cos (180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos (180°＋20°)＝－cos 20°，因为当x∈(0°，90°)时，函数y＝cos x是减函数，所以cos 50°<cos 20°，所以－cos 50°>－cos 20°，即cos 130°>cos 200°. 10．函数y＝2sin (ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：选C.∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin .由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 11．函数f(x)＝3sin 在区间上的值域为________． 解析：由0≤x≤，得－≤2x－≤，所以－≤sin ≤1，即－≤3sin ≤3，所以f(x)∈. 答案： 12．已知函数f(x)＝cos ，x∈，求： (1)f(x)的最大值和最小值； (2)f(x)的单调递减区间． 解：当x∈时，2x－∈，作出y＝cos t的图象，如图所示： (1)由函数y＝cos t的图象知， f(x)＝cos ∈ ＝. 则f(x)的最大值为1，最小值为－. (2)由函数y＝cos t的图象知，y＝cos t在上的递减区间为. 令0≤2x－≤，解得≤x≤，故f(x)的单调递减区间为. 第四课时　正切函数的图象与性质　　 ► 对应学生用书P152 [课程标准]　1.能画出正切函数的图象，了解正切函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．　2. 借助图象理解正切函数在上的性质． 正切函数y＝tan x的性质 定义域 值域 R 周期 最小正周期为π 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间(k∈Z)内单调递增 注意：正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数． 【基点小试】 1．函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　　) 解析：选A.当x＝时，y＝0，排除CD；当x＝0时，y＝tan ＝－，排除B，故选A. 2．函数y＝tan 的单调增区间是________________________． 解析：因为函数y＝tan x在 (k∈Z)上单调递增， 所以令－＋kπ＜x－＜＋kπ(k∈Z). 解得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z). 答案：(k∈Z) 3．函数y＝sin x＋tan x，x∈的值域为______________________． 解析：∵y1＝sin x，y2＝tan x均满足在区间上单调递增，∴函数y＝sin x＋tan x也满足在区间上单调递增，∴此函数在上的值域为 . 答案： 题型一　正切函数的周期性、奇偶性 例1.(1)函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选A.法一　函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝. 法二　由诱导公式可得tan ＝tan ＝tan ，所以f＝f(x)，所以周期T＝. (2)函数f(x)＝是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选A.因为函数f(x)的定义域为，关于原点对称，且f(x)＝＝， 所以f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． [总结] 　正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 【练一练】 1．关于x的函数f(x)＝tan (x＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ②不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数； ③存在φ，使f(x)是奇函数； ④对任意的φ，f(x)都不是偶函数． 其中不正确的说法的序号是________．因为当φ＝____________________时，该说法的结论不成立． 解析：对于①，显然当φ＝kπ或kπ＋，k∈Z时，f(x)是奇函数，故①错，③正确；既是奇函数又是偶函数的函数为y＝0，显然对于任意的φ，f(x)都不可能恒为0，故②正确；④显然正确． 答案：①　kπ或kπ＋，k∈Z 2．求函数y＝tan 与函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期． 解：y＝tan 的最小正周期T＝， 作出f(x)＝tan x＋|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期T＝π. 题型二　正切函数的定义域、值域 例2.(1)函数y＝ln (tan x)的定义域为________． (2)函数y＝tan 2x－2tan x＋3的最小值为________． 解析：(1)由题意得 即 故定义域为(k∈Z). (2)y＝(tan x－1)2＋2，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值2. 答案：(1)(k∈Z)　(2)2 [总结] 　1.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． (2)求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 2．求正切函数值域的方法 (1)对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． (2)对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域． 【练一练】 3．函数y＝tan 的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由－x≠k1π＋(k1∈Z)得x≠－k1π－(k1∈Z).从而x≠k2π－(k2∈Z). 由k2∈Z得x≠kπ＋π(k∈Z)， ∴y＝tan 的定义域为.故选D. 4．函数y＝－tan 2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________． 解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1，1]. ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. ∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4；当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4，4]. 答案：[－4，4] 题型三　正切函数的单调性 例3.(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________________． 解析：y＝tan x在区间上是单调增函数， 且tan 1＝tan (π＋1)， 又＜2＜3＜4＜π＋1＜， 所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1. 答案：tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 (2)求函数y＝3tan 的单调区间． 解：y＝3tan ＝－3tan ， 由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)， 得－＋＜x＜＋(k∈Z)， 所以y＝3tan 的减区间为(k∈Z). [总结] 　1.求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋(k∈Z)，求得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【练一练】 5．已知函数y＝tan ωx在区间内是减函数，则(　　) A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0 C．ω≥1 D．ω≤－1 解析：选B.因为y＝tan x在内单调递增，所以易知ω＜0，又y＝tan ωx(ω＜0)在上是单调递减的，所以其最小正周期T＝≥π，综上，－1≤ω＜0. 6．求函数y＝tan (－x＋)的单调区间． 解：y＝tan (－x＋)＝－tan (x－)， 由－＋kπ<x－<＋kπ(k∈Z)得－π＋4kπ<x<3π＋4kπ，k∈Z，所以函数y＝tan (－x＋)的单调递减区间是(－π＋4kπ，3π＋4kπ)(k∈Z). [课后分层练(四十四)]　正切函数的图象与性质 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．函数y＝2tan (－3x＋)的最小正周期是(　　) A． B． C． D．π 解析：选B.T＝＝. 2．函数y＝ 的定义域为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：选B.由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈(k∈Z). 3．函数f(x)＝2x－tan x在上的图象大致为(　　) 解析：选D.∵f(x)为奇函数，故排除B、C，当x→时，f(x)→－∞，选D. 4．下列函数中，以π为周期且在内是增函数的为(　　) A．y＝tan B．y＝sin C．y＝cos 2x D．y＝sin 解析：选A.由π为周期，可排除D项；A项，易知y＝tan 在上单调递增，而是的一个子区间，所以y＝tan 在上单调递增；C选项中的函数在上单调递减，故排除C；B项，由x∈得＜2x＋＜，所以y＝sin 在上不单调，排除B，故选A. 5．函数f(x)＝lg (tan x＋)(　　) A．是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 解析：选A.∵＞|tan x|≥－tan x， ∴f(x)的定义域为，关于原点对称， 又f(－x)＋f(x)＝lg (－tan x＋)＋lg (tan x＋)＝lg 1＝0， ∴f(x)为奇函数，故选A. 6．下列不等式中，成立的是(　　) A．tan ＞tan B．tan ＜tan C．tan ＜tan D．tan ＞tan 解析：选D.tan ＝tan ＜tan ； tan ＝tan ＜tan ； tan ＝tan ，tan ＝tan ， ∵tan ＞tan ， ∴tan ＞tan ； tan ＝tan ＝tan ＝－tan ， tan ＝tan ＝tan ＝－tan ， 又tan ＞tan ，所以tan ＜tan . 7．函数y＝tan ，x∈的值域是________． 解析：由0<x≤得0<≤，从而<＋≤. ∴tan <tan ≤tan ， 即1<tan ≤ . 答案：(1, ] 8．函数y＝tan 的值域是________． 解析：∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1，1]上为增函数， ∴tan (－1)≤tan x≤tan 1. 即－tan 1≤tan x≤tan 1. 答案：[－tan 1，tan 1] 9．若tan x＞tan 且x是第三象限角，则x的取值范围是______________________． 解析：∵tan x＞tan ＝tan 且x是第三象限角，∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，即x的取值范围是(k∈Z). 答案：(k∈Z) 10．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin x＋tan x； (2)f(x)＝. 解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称． 因为f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝sin x＋tan x是奇函数． (2)由题意，得tan x≠1，且x≠kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为，不关于原点对称． 所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 11．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ) ，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝. 因为ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan (2x＋φ). 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 又0＜φ＜，所以φ＝. 故f(x)＝tan . (2)令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜2x＜kπ＋，k∈Z，即－＋＜x＜＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． 【能力提升题组】 12．函数y＝3tan 的图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D．(0，0) 解析：选C.因为y＝tan x的图象的对称中心为，k∈Z.由x＋＝，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，所以函数y＝3tan 的图象的对称中心是，k∈Z.令k＝0，得. 13．已知函数f(x)＝x＋tan x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．3 解析：选A.设g(x)＝x＋tan x，显然g(x)为奇函数． ∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.故选A. 14．(多选)关于函数f(x)＝tan ，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的定义域为 C．f(x)的图象的对称中心为，k∈Z D.f(x)在区间(0，π)上单调递增 解析：选ACD.函数f(x)＝tan ，对于A，函数的最小正周期为＝2π，故A正确； 对于B，令－≠kπ＋，整理得x≠2kπ＋，故函数的定义域为(k∈Z)，故B错误； 对于C，当x＝kπ＋，(k∈Z)时，函数f＝tan ＝0或∞，故函数的对称中心为，k∈Z，故C正确；对于D，由于x∈(0，π)，故－∈，故函数在该区间上单调递增，故D正确．故选ACD. 15．函数y＝tan 满足下列哪些结论________(填序号). ①在上单调递增； ②为奇函数； ③以π为最小正周期； ④定义域为. 解析：令x∈，则∈， 所以y＝tan 在上单调递增正确； tan ＝－tan ，故y＝tan 为奇函数； T＝＝2π，所以③不正确； 由≠＋kπ，k∈Z，得{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确． 答案：①② 16．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan 的图象不相交，则k＝________． 解析：直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图象不相交， 由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z， 得到k＝n＋，n∈Z，而|k|≤1， 故n＝0或－1， 所以k＝或k＝－. 答案：或－ 17．函数y＝3tan (ω>0)的最小正周期是，则ω＝______，该函数的单调递增区间为________________． 解析：∵函数y＝3tan (ω>0)的最小正周期是＝，则ω＝2， 令kπ－<2x＋<kπ＋，求得－<x<＋， 故函数的增区间为，k∈Z. 答案：2　，k∈Z 18．设函数f(x)＝tan . (1)求函数的定义域； (2)求不等式f(x)≤ 的解集． 解：(1)根据函数f(x)＝tan ，可得－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠2kπ＋，k∈Z}． (2)求不等式f(x)≤ ，即tan ≤ ， 所以kπ－<－≤kπ＋，k∈Z， 求得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z， 故不等式的解集为，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $