7.3.1 三角函数的周期性-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦三角函数的周期性这一核心知识点，从周期函数的定义及最小正周期入手，系统梳理正弦、余弦函数的周期为2kπ（k∈Z且k≠0）及最小正周期2π，正切函数周期为kπ（k∈Z且k≠0）及最小正周期π，进而推导y=A sin(ωx+φ)、y=A cos(ωx+φ)的周期公式T=2π/ω和y=A tan(ωx+φ)的周期公式T=π/ω，形成“定义-公式-应用”的学习支架。 该资料以新课标为指引，突出数学思维与应用能力培养。通过“基点小试”夯实定义理解，如判断y=sin(x/2)周期，培养抽象能力（数学眼光）；“互动探究”中母题变式训练，如将偶函数改为奇函数求函数值，提升推理能力（数学思维）；分层练习兼顾基础与提升，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，体现数学语言的严谨表达与问题解决的模型意识。

7．3　三角函数的图象和性质 7．3.1　三角函数的周期性 ► 对应学生用书P141 [课程标准]　1.理解周期函数的定义．　2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．　3.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)以及y＝A tan (ωx＋φ)的周期． 1．周期函数的定义 (1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． (2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期) (3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π. 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝．函数y＝A tan (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为. 【基点小试】 1．函数y＝sin 的周期是________. 解析：T＝＝2. 答案：2 2．(2025·八省联考)函数f(x)＝cos(x＋)的最小正周期是(　　 ) A． B． C．π D．2π 解析：选D.f(x)的最小正周期T＝2π. 题型一　求三角函数的周期 例1.求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝2sin ； (2)f(x)＝2tan ； (3)y＝|sin x|； (4)f(x)＝－2cos (a≠0). 解：(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π. (2)T＝＝，∴最小正周期为. (3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π. 验证：∵|sin (x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π. (4)T＝＝，∴最小正周期为. [总结] 　利用公式求y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝. 【练一练】 1．求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝－2cos ； (2)f(x)＝tan ； (3)f(x)＝|cos x|； (4)f(x)＝3sin . 解：(1)T＝＝，∴函数最小正周期为. (2)T＝，∴函数y＝tan 的最小正周期为. (3)T＝π，∴y＝|cos x|的最小正周期为π. (4)T＝＝8π，∴y＝3sin 的最小正周期为8π. 题型二　周期性的应用 例2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值． 解：∵f(x)的最小正周期是π. ∴f＝f＝f. 又∵f(x)是R上的偶函数， ∴f＝f＝sin ＝， ∴f＝. 【母题探究】　1.(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值． 解：∵f(x)的最小正周期为π， ∴f＝f＝f， ∵f(x)是R上的奇函数， ∴f＝－f＝－sin ＝－， ∴f＝－. 2．(变结论)本例条件不变，求f的值． 解：∵f(x)的最小正周期为π， ∴f＝f＝f， ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f＝＝sin ＝. ∴f＝. [总结] 　函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解． 【练一练】 2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________． 解析：因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝f(－2)＝0， 所以f(6)＝f(2)＝0，即f(1)＋f(6)＝－6. 答案：－6 [课后分层练(四十)]　三角函数的周期性 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．函数y＝3sin 的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选C.T＝＝π. 2．函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　) A．2π B．4π C． D．π 解析：选A.T＝＝2π. 3．函数f(x)＝cos 的周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选C.法一(定义法)　因为f(x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f(x＋π)， 即f(x＋π)＝f(x)， 所以函数f(x)＝cos 的周期T＝π. 法二(公式法)　因为y＝cos ， 所以ω＝2.又T＝＝＝π. 所以函数f(x)＝cos 的周期T＝π. 4．下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos (－4x) 解析：选D.A中，T＝＝4π； B中，T＝＝π； C中，T＝＝8π； D中，T＝＝. 5．已知函数y＝2cos (ω<0)的最小正周期是4π，则ω＝(　　) A．－4 B．－ C．－1 D．－ 解析：选D.因为T＝＝4π， 所以|ω|＝， 因为ω<0，所以ω＝－. 6．函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(5)＝(　　) A．2 B．1 C．－2 D．－1 解析：选C.因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数， 所以f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)， 又f(1)＝2，所以f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 7．若函数y＝cos (ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________． 解析：T＝＝π，ω＝±2.∵ω>0，∴ω＝2. 答案：2 8．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________． 解析：f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2. 答案：2 9．若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，则f的值为________． 解析：∵f(x)是以为周期的奇函数， ∴f＝－f＝－f＝－f＝f＝f＝－f， 又∵f＝1，∴f＝－f＝－1. 答案：－1 10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而呈周期性变化，如图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从0点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 解：(1)从图象可以看出单摆运动的周期是0.4 s. (2)若从0点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动． (3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm. 【能力提升题组】 11．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时， f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：选A.因为T＝π，x∈时，f(x)＝cos x， ∴f＝f＝cos ＝－. 12.设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝(　　) A． B．－ C． D．0 解析：选D.因为f(x)＝sin x的周期T＝＝6， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝337[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝337(sin ＋sin π＋sin π＋sin π＋sin π＋sin 2π)＝337×0＝0. 13．(多选)设函数f(x)＝3sin ，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则cos α的可取值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选CD.因为f(x)的最小正周期为， ω>0，所以ω＝＝4. 所以f(x)＝3sin . 由f＝－3sin α＝， sin α＝－. 得cos α＝±. 14．函数y＝sin 的周期不大于4，则正整数k的最小值为________． 解析：由T＝得T＝＝. 因为T≤4，所以≤4，所以k≥π，所以正整数k的最小值为4. 答案：4 15．若函数f(x)＝2cos 的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则正整数ω的最大值是________． 解析：T＝，又T∈(1，3)，所以1<<3，又ω∈N*，则ω＝3，4，5，6，所以ω的最大值为6. 答案：6 学科网（北京）股份有限公司 $