7.3.1 三角函数的周期性 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从周期定义到抽象函数周期证明的递进，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|周期定义、公式直接应用|选择1-5题考查最小正周期计算、奇偶性与周期结合，夯实概念理解| |中档层|周期与图像、参数综合|多选6辨析周期定义，填空7-9结合参数计算，培养逻辑推理| |提升层|抽象函数、分段函数周期综合|解答14证明周期，15周期性求和，提升综合应用能力|

7.3.1　三角函数的周期性 1.函数f（x）＝cos的最小正周期为（　　） A.2π B.12 C. D.3π 2.函数y＝sin是（　　） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 3.设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝f（x），f（x＋2）＝f（x），则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 4.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则ω＝（　　） A.　　　B.π C.2　　　D.2π 5.若函数y＝f（x）是以2为周期的函数，且f（5）＝6，则f（1）＝（　　） A.1 B.3 C.5 D.6 6.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.因为sin（π－x）＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期 B.因为tan（2π＋x）＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的一个周期 C.因为cos（0＋x）＝cos x，所以0是函数y＝cos x的一个周期 D.因为cos≠cos x，所以不是函数y＝cos x的一个周期 7.已知函数y＝sin（A＞0）的最小正周期为3π，则函数y＝3cos[（2A－1）x－π]的最小正周期为　　　　. 8.函数y＝tan（k＞0）的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为　　　　. 9.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2sin（x），则f（7）＝　　　　. 10.求下列函数的周期： （1）f（x）＝2sin，x∈R； （2）f（x）＝1－2cosx，x∈R. 11.设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若f（x）＝则f＝（　　） A.1 B. C.0 D.－ 12.设f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝sin x＋x，则当1＜x＜2时，f（x）＝（　　） A.sin x＋x B.sin（x－2）＋x－2 C.sin（x＋2）＋x＋2 D.sin（x＋2）＋x－2 13.函数f（x）＝sinx＋cos 3x的最小正周期为　　　　. 14.已知函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且f（1）＝a. （1）求f（3），f（5）的值； （2）求f（x）的一个周期，并加以证明. 15.已知函数f（x）＝cos x，求f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）的值. 7.3.1　三角函数的周期性 1.C　因为f（x）＝cos＝cos，所以最小正周期为T＝. 2.D　因为y＝sin＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数.故选D. 3.B　由f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称.由f（x＋2）＝f（x），则f（x）的周期为2.故选B. 4.C　由题图可知T＝－＝π，故＝π，ω＝2.故选C. 5.D　∵f（x）的周期为2，∴f（5）＝f（2×2＋1）＝f（1）＝6. 6.BD　根据周期函数的定义容易知道A、C均是错误的；对于B，2π是函数y＝tan x的一个周期，故B正确；D显然正确.故选B、D. 7.π　解析：由题意知2π·A＝3π，∴A＝，∴2A－1＝2.∴y＝3cos[（2A－1）x－π]＝3cos（2x－π）的最小正周期T＝π. 8.7　解析：因为T＝＝≤2，所以k≥2π，又k∈N*，所以正整数k的最小值为7. 9.－2　解析：因为f（x＋4）＝f（x），所以函数的周期是4.因为f（x）在R上是奇函数，且当x∈（0，2）时，f（x）＝2sin（x），所以f（7）＝f（7－8）＝f（－1）＝－f（1）＝－2. 10.解：（1）法一　设f（x）的周期为T， 则2sin［（x＋T）＋］＝2sin，即2sin（x＋＋）＝2sin对任意的x均成立. 即2sin＝2sin u，其中u＝x＋. ∵y＝2sin u的周期为2π，∴＝2π，∴T＝4π， ∴f（x）＝2sin的周期为4π. 法二　∵T＝＝4π，∴f（x）＝2sin的周期为4π. （2）f（x）＝1－2cosx的周期为T＝＝4. 11.B　f＝f［×（－3）＋］＝f＝sin＝.故选B. 12.B　当1＜x＜2时，－2＜－x＜－1，则0＜2－x＜1，因为当0＜x＜1时，f（x）＝sin x＋x，所以f（2－x）＝sin（2－x）＋2－x.因为f（x）是周期为2的奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－f（2－x）＝－sin（2－x）＋x－2＝sin（x－2）＋x－2. 13.6π　解析：由y＝sin的周期T1＝3π，y＝cos 3x的周期T2＝π，T1，T2的最小公倍数为6π，故f（x）的最小正周期为6π. 14.解：（1）令x＝1，则由f（x＋2）＝－f（x），得f（3）＝－f（1）＝－a； 令x＝3，则由f（x＋2）＝－f（x），得f（5）＝－f（3）＝a. （2）f（x）的一个周期为4.证明如下： ∵f（x＋2）＝－f（x）， ∴f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2） ＝－[－f（x）]＝f（x）， 即f（x＋4）＝f（x）. ∴f（x）的一个周期为4. 15.解：由ω＝，得T＝6，因为f（1）＝cos ＝，f（2）＝cos ＝－，f（3）＝cos π＝－1，f（4）＝cos ＝－，f（5）＝cos ＝，f（6）＝cos 2π＝1， 所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝0，即每连续六项的和均为0. 所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝f（2 023）＋f（2 024）＋f（2 025）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＝－－1＝－1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $