7.2.3 三角函数的诱导公式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学三角函数诱导公式（一至六）核心知识点，基于单位圆对称性及定义推导公式，梳理公式间逻辑联系，如公式四可通过公式二、三转化推导，构建知识支架。 资料通过微思考引导多角度推导、题型分类（给角求值等）及分层练习，培养数学眼光（观察对称）、思维（逻辑推理）与语言（规范表达），课中辅助教学，课后助学生查漏补缺，提升应用能力。

7．2.3　三角函数的诱导公式 [课程标准]　能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数的诱导公式. 第一课时　 三角函数的诱导公式(一～四) ► 对应学生用书P136 1．诱导公式一： sin (α＋k·2π)＝sin α， cos (α＋k·2π)＝cos α， tan (α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z. 2．诱导公式二： sin (π＋α)＝－sin_α， cos (π＋α)＝－cos_α， tan (π＋α)＝tan_α． 3．诱导公式三： sin (－α)＝－sin_α， cos (－α)＝cos_α， tan (－α)＝－tan_α． 4．诱导公式四： sin (π－α)＝sin_α， cos (π－α)＝－cos_α， tan (π－α)＝－tan_α． 微思考：公式四除了利用π－α的终边与α的终边关于y轴对称推导外，还可以如何推导？ 提示：借助公式二、三，如：sin (π－α)＝sin [π＋(－α)]＝－sin (－α)＝sin α. 【基点小试】 1．(2025·盐城五校联盟高一上期末)sin 240°的值是(　　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.sin 240°＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－. 2．化简cos (3π－α)＝(　　) A．cos α B．－cos α C．sin α D．－sin α 解析：选B.cos (3π－α)＝cos [2π＋(π－α)]＝cos (π－α)＝－cos α. 3．(1)sin ＝________； (2)tan ＝________． 解析：(1)sin π＝sin ＝sin ＝. (2)tan ＝tan ＝tan ＝1. 答案：(1)　(2)1 4．将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上． (1)sin (1－π)＝________． (2)cos 210°＝__________． (3)tan ＝___________． 解析：(1)sin (1－π)＝－sin (π－1)＝－sin 1. (2)cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°. (3)tan ＝tan ＝tan ＝tan ＝－tan . 答案：(1)－sin 1　(2)－cos 30° (3)－tan 题型一　给角求值问题 例1.(苏教版必修一P177例9改编)利用公式求下列三角函数值： (1) sin ； (2) cos ； (3) tan (－1 590°). 解：(1) sin ＝sin ＝－sin ＝－； (2) cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝； (3) tan (－1 590°)＝－tan 1 590°＝－tan (4×360°＋150°)＝－tan 150°＝－tan (180°－30°)＝tan 30°＝. [总结] 　利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 【练一练】 1．tan ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.tan ＝tan ＝－tan ＝－，故选A. 2．求下列三角函数值． (1)tan π＋cos (－1 650°)＋sin π； (2)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (3)cos ＋cos π＋cos π＋cos π. 解：(1)原式＝tan ＋cos 1 650°＋sin ＝－tan ＋cos (4×360°＋210°)－sin ＝－1＋cos 210°－ ＝－1＋cos (180°＋30°)－ ＝－－cos 30°＝－－. (2)原式＝7cos (180°＋90°)＋3sin (180°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝－2. (3)原式＝cos ＋cos π＋cos ＋cos ＝cos ＋cos π－cos π－cos ＝0. 题型二　条件求值问题 例2.已知cos ＝， 求：(1)cos 的值； (2)sin2的值． 解：(1)cos＝cos ＝cos ＝. (2)sin2＝sin2＝sin2 ＝1－cos2＝1－()2＝. [总结]　解决条件求值问题的两技巧 (1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． (2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【练一练】 3．已知tan ＝，求tan 的值． 解：tan ＝－tan ＝－tan ＝－. 题型三　化简求值问题 例3.化简： . 解： 原式 ＝ ＝＝－1. [总结] 　解决条件求值问题的两技巧 【练一练】 4．(1)化简：； (2)设k为整数，化简：. 解：(1)＝＝＝－cos2α. (2)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)， ＝ ＝＝＝－1. 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)， 原式 ＝ ＝＝＝－1. 综上，原式＝－1. [课后分层练(三十八)]　三角函数的诱导公式（一~四） （单选题、填空题每题5分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．sin 的值是(　　) A. B. － C. D． － 解析：选A.sin ＝sin ＝sin ＝. 2．计算sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是(　　) A． B. C. D． 解析：选A.原式＝sin230°＋sin245°－2sin30°＋cos245°＝＋()2－2×＋()2＝. 3．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　) A．sinα＝sin β B．sin (α－2π)＝sin β C.cos α＝cos β D．cos (2π－α)＝－cos β 解析：选C.由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β. 4．已知cos (α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin (－2π＋α)等于(　　) A．－ B． C．± D． 解析：选A.由cos (α－π)＝－，得cos α＝.又α为第四象限角，所以sin (－2π＋α)＝sin α＝－＝－. 5．化简＝________． 解析：＝ ＝＝＝1. 答案：1 6．若sin (π－α)＝log8，且α∈，则cos (2π－α)的值是________． 解析：因为sin (π－α)＝sin α＝log8＝－，α∈，所以cos (2π－α)＝cos α＝＝. 答案： 7．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α<0，求的值． 解：因为sin (α＋π)＝，所以sin α＝－， 又因为sin αcos α<0， 所以cos α>0，cos α＝＝， 所以tanα＝－. 所以原式＝ ＝＝－. 【能力提升题组】 8．已知cos α＝，则sin (3π＋α)·cos (2π－α)·tan (π－α)等于(　　) A．± B．± C． D． 解析：选D.原式＝sin (π＋α)·cos (－α)·tan (π－α)＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin2α，由cosα＝，得sin2α＝1－cos2α＝. 9．下列三角函数式： ①sin； ②cos ； ③sin ； ④cos ； ⑤sin [(2n－1)π－].其中n∈Z，则函数值与sin 的值相同的是(　　) A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤ 解析：选C.①中sin ＝sin ≠sin ；②中，cos ＝cos ＝sin ；③中，sin ＝sin ；④中，cos ＝cos ＝－cos ≠sin ；⑤中，sin ＝sin ＝－sin ＝sin . 10．（2025·南通如皋高一上期末)已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　　 ) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.由分段函数的定义域可得f(－1)＝2－(-1)＝2，f(2)＝cos ＝－，所以f[f(－1)]＝－. 11．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos (π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值． 解：由＝3＋2，得(4＋2)tan θ＝2＋2，所以tan θ＝＝， 故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos (π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋sinθcos θ＋2sin2θ)· ＝1＋tanθ＋2tan2θ＝1＋＋2×()2＝2＋. 12．已知f(x)＝(n∈Z). (1)化简f(x)的表达式； (2)求f. 解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时， f(x)＝ ＝＝＝sin2x； 当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时， f(x)＝ ＝ ＝＝sin2x， 综上得f(x)＝sin2x. (2)由(1)知f＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝. 第二课时　三角函数的诱导公式(五、六)　 ► 对应学生用书P138 [课程标准]　能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数的诱导公式. 1．诱导公式五： sin ＝cos_α， cos ＝sin_α． 2．诱导公式六： sin ＝cos_α， cos ＝－sin_α． 微点拨：1.公式五、六的记忆方法与口诀 (1)记忆方法：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． (2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”． 2．诱导公式一～六的记忆口诀 口诀：奇变偶不变，符号看象限．口诀的意义：±α(k∈Z)的三角函数值． (1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若α为第二象限角，则sin ＝－cos α.(　　) (2)sin ＝cos α.(　　) (3)cos (270°＋100°)＝sin 100°.(　　) 　答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．化简的结果是_________． 解析：原式＝＝cos α. 答案：cos α 题型一　利用诱导公式化简求值 例1.(苏教版必修一P181T14改编)(1)已知tan α＝3，求的值； (2)已知sin ＝，求cos ·sin 的值． 解：(1) ＝＝ ＝＝2. (2)cos ·sin ＝cos ·sin ＝sin ·sin ＝×＝. [总结]　用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 【练一练】 1．已知sin ＝，则cos 的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.∵＋α－＝， ∴cos ＝sin ＝sin ＝－sin ＝－. 2．(2025·宿迁高一期末)已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos (15°－α)的值为________． 解析：∵cos (75°＋α)＝且－180°<α<－90°， ∴－105°<α＋75°<－15°， ∴sin (75°＋α)＝－， 则cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝－. 答案：－ 题型二　利用诱导公式证明恒等式 例2.求证： ＝－tan θ. 证明：左边＝＝＝－tan θ＝右边，所以原等式成立． [总结] 　三角恒等式证明的策略 (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则． (2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【练一练】 3．求证： ＝. 证明：右边＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝左边． 题型三　诱导公式的综合应用 例3.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值． 解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2， 由α是第三象限角，得sinα＝－， 则cos α＝－， ∴·tan2(π－α) ＝·tan2α ＝·tan2α＝－tan2α ＝－＝－. [总结]　诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 【练一练】 4．已知cos α＝－，且α为第三象限角． (1)求sin α的值； (2)求f(α)＝ 的值． 解：(1)因为cos α＝－，且α为第三象限角， 所以sin α＝－＝－＝－. (2)f(α)＝＝tan αsin α ＝·sin α＝×＝－. [课后分层练(三十九)]　三角函数的诱导公式（五、六） （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1. (2025·丹阳高一上期末)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，－4)，则sin (θ＋)＝(　　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：选B.因为角θ的终边经过点P(－3，－4)，所以cos θ＝＝－， 所以sin (θ＋)＝cos θ＝－. 2．化简sin262°＋tan54°·tan 45°·tan 36°＋sin228°的结果是(　　) A．1 B. 2 C. D． 3 解析：选B.原式＝sin262°＋tan54°·1·tan (90°－54°)＋sin2(90°－62°)＝sin262°＋tan54°·＋cos262°＝1＋1＝2. 3．化简sin·cos ·tan 的结果是(　　) A．1 B．sin2α C．－cos2α D．－1 解析：选C.因为sin＝cos α，cos ＝cos ＝－sin α，tan ＝＝，所以原式＝cos α(－sin α)＝－cos2α，选C. 4．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　) A．cos(A＋B)＝cos C B．sin (A＋B)＝－sin C C．cos ＝sin B D．sin ＝cos 解析：选D.∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C， ∴cos (A＋B)＝－cos C，sin (A＋B)＝sin C，故A、B错． ∵A＋C＝π－B，∴＝， ∴cos ＝cos ＝sin ，故C错． ∵B＋C＝π－A，∴sin ＝sin ＝cos ，故D正确． 5．已知sin ＝，则cos 等于(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选B.因为sin ＝， 所以cos ＝sin ＝sin ＝. 6．sin 95°＋cos 175°的值为________． 解析：sin 95°＋cos 175°＝sin (90°＋5°)＋cos (180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：0 7．化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为________． 解析：原式＝·(－sin α)·cos (－α)＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α. 答案：－sin2α 8．在△ABC中，sin＝sin ，试判断△ABC的形状． 解：∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. ∵sin ＝sin ， ∴sin ＝sin ， ∴sin ＝sin ， 即cos C＝cos B. 又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B， ∴△ABC为等腰三角形． 【能力提升题组】 9．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(　　) A．89 B．90 C． D．45 解析：选C.∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝. 10．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sin C B．sin ＝cos C．tan (A＋B)＝－tan C D．cos (A＋B)＝cos C 解析：选ABC.在△ABC中，有A＋B＋C＝π， 则sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，A正确． sin ＝sin ＝cos ，B正确． tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C，C正确． cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，D错误．故选ABC. 11．已知cos (60°＋α)＝，且－180°＜α＜－90°，则cos (30°－α)的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.由－180°＜α＜－90°，得－120°＜60°＋α＜－30°.又cos (60°＋α)＝＞0，所以－90°＜60°＋α＜－30°，即－150°＜α＜－90°，所以120°＜30°－α＜180°，cos (30°－α)＜0，所以cos (30°－α)＝sin (60°＋α)＝－＝－＝－. 12．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝________． 解析：设θ的终边上一点为P(x，3x)(x≠0)， 则tan θ＝＝＝3. 因此 ＝＝ ＝＝＝. 答案： 13．(2025·盐城五校联盟高一上期末)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(1，2). (1)求的值； (2)求sin2α＋2sinαcos α－cos2α的值． 解：(1)因为角α的终边过点P(1，2)，所以tanα＝2， 原式＝＝－＝. (2)原式＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $