7.2.2 同角三角函数关系-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“同角三角函数关系”核心知识点，系统梳理平方关系（sin²α + cos²α = 1）与商数关系（tanα = sinα/cosα）的基本原理，通过变形公式（如sin²α = 1 - cos²α、sinα = cosαtanα）搭建从基础到应用的学习支架，涵盖求值、化简、证明及sinθ±cosθ与sinθcosθ关系等题型。 资料以“微点拨”明晰公式变形，“题型讲解”结合实例（如已知cosα求sinα、tanα，证明三角等式）培养数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言表达（符号运算、逻辑推理），课后分层练习分基础巩固与能力提升，课中助力教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

7．2.2　同角三角函数关系 ► 对应学生用书P133 [课程标准]　理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 描述方式 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 微点拨：同角三角函数关系的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. (2)tanα＝的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝. 【基点小试】 1．下列四个结论中可能成立的是(　　) A．sin α＝且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．α是第二象限角时，tan α＝－ 解析：选B.根据同角三角函数关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立． 2．已知cos α＝，且α是第四象限角，求sin α， tan α的值． 解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α＝1－＝. 又α是第四象限角，因此sinα<0，故sin α＝－， tan α＝＝×＝－. 3．已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 解：由＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝. 又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角． 若α是第一象限角，则cos α＝， sin α＝； 若α是第三象限角，则cos α＝－， sin α＝－. 题型一　利用同角关系求值 例1.(1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． (2)已知tan α＝2. ①求的值； ②求2sin2α－sinαcos α＋cos2α的值． 解： (1)∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0，∴sin α＝＝＝，tan α＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0，∴sin α＝－＝－＝－，tan α＝＝. (2)①法一(代入法)　∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α. ∴＝＝－. 法二(弦化切)　∵tan α＝2. ＝＝＝＝－. ②2sin2α－sinαcos α＋cos2α ＝ ＝＝＝. [总结]　已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值． 【练一练】 1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.因为α为第四象限的角，故cos α＝＝＝，所以tan α＝＝＝－. 2. (2025·丹阳高一上期末)设tan α＝－，则＝(　　) A．－ B． C．－1 D．1 解析：选A.＝＝＝＝－. 题型二　利用同角关系化简 例2.化简下列各式：(1) ；(2). 解：(1)＝＝＝cos θ； (2) ＝ ＝ ＝＝1. [总结] 　三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 【练一练】 3．化简下列各式： (1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α； (2)＋ (180°＜α＜270°). 解：(1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1. (2)因为180°＜α＜270°，所以sinα＜0， 原式＝＋＝＋＝＝－. 题型三　利用同角关系证明 例3.求证：＝. 证明：法一　∵左边 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边， ∴原等式成立． 法二　∵右边＝＝， 左边＝＝ ＝ ＝， ∴左边＝右边，原等式成立． 【练一练】 4．求证：＝. 证明：法一　右边 ＝ ＝ ＝ ＝＝＝左边，所以原等式成立． 法二　左边＝＝， 右边＝＝＝＝＝，所以原等式成立． 题型四　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 例4.已知sin θ＋cos θ＝－，求下列各式的值： (1)sin θcos θ； (2)＋. 解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－， 所以1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－， (2)由(1)得sin θcos θ＝－， 所以＋＝＝. [总结] 　已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 【练一练】 5．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.由sin αcos α＝得(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，又＜α＜，故cos α－sin α＜0，因此cos α－sin α＝－，故选A. 6．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　) A．－4 B．4 C．－8 D．8 解析：选C.tan α＋＝＋＝. ∵sin αcos α＝＝－， ∴tan α＋＝－8. [课后分层练(三十七)]　同角三角函数关系 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1. 化简(1－cos α)的结果是(　　) A. sin α B． cos α C. －sin α D． －cos α 解析：选A.原式＝(1－cos α)＝＝sin α. 2. 若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于(　　) A. 1 B. －1 C. 0 D． ±2 解析：选C.＋＝＋. 当α的终边在第二象限时，原式＝＋＝0； 当α的终边在第四象限时，原式＝＋＝0. 3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－. 4．如果tanθ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.1＋sin θcos θ＝ ＝＝＝. 5．(多选)若sinα＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　) A．tan α＝ B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－ 解析：选AB.∵sin α＝，且α为锐角， ∴cos α＝＝＝，故B正确， ∴tanα＝＝＝，故A正确， ∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误， ∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误． 6．化简：＝_____________． 解析：原式 ＝ ＝ ＝|cos 40°－sin 40°| ＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40° 7．化简下列各式： (1)cos4α＋sin2α(1＋cos2α)； (2)·(1＋)·. 解：(1)原式＝cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α ＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝1. (2)原式＝·· ＝··＝＝tan α. 8．求证：(1) 1＋tan2α＝； (2)tan2αsin2α＝tan2α－sin2α. 证明：(1)左边＝1＋＝＝＝右边； (2)左边＝·sin2α＝，右边＝－sin2α＝sin2α＝sin2α·＝. 故左边＝右边，从而等式成立． 【能力提升题组】 9．已知角α终边上一点P的坐标为(a，3a)(a≠0)，则的值是(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 解析：选D.由正切函数的定义可得tan α＝3，因此＝＝－，故选D. 10．(2025·南通如皋高一上期末)已知幂函数f(x)＝xm2－2m(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是单调减函数．若f(sin α＋cos α)＝5，α∈(0，π)，则f(sin α－cos α)＝(　　 ) A． B．－ C．－ D． 解析：选A.由题意可得m2－2m<0，解得0<m<2，又m∈Z，所以m＝1，所以f(x)＝， f(sin α＋cos α)＝＝5，所以sin α＋cos α＝， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝⇒2sin αcos α＝－， 所以1－2sin αcos α＝，即(sin α－cos α)2＝. 因为α∈(0，π)，2sin αcos α＝sin 2α＝－<0，所α∈(，π). 所以sin α－cos α＝，所以f(sin α－cos α)＝. 11．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝______，tan2α＋＝________． 解析：∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7. 答案：　7 12．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m的值． 解：设直角三角形的一个锐角为β， 因为在方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中， Δ＝4(m＋1)2－4×4m＝4(m－1)2≥0， 所以当m∈R时，方程恒有两实根． 又因为sin β＋cos β＝，sin βcos β＝， 所以由以上两式及sin2β＋cos2β＝1， 得1＋2×＝，解得m＝±. 当m＝时，sinβ＋cos β＝>0，sin β·cos β＝>0，满足题意； 当m＝－时，sin β＋cos β＝<0，这与β是锐角矛盾，舍去． 综上，m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $