7.1.1 任意角-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦“任意角”核心知识点，从初中静态角定义拓展到高中动态旋转定义，系统梳理正角、负角、零角的分类标准，以及坐标系中象限角、轴线角的概念，重点构建终边相同角的集合表示方法，为后续弧度制、三角函数学习搭建阶梯式支架。 资料通过“微点拨”强调角的旋转三要素，结合反例辨析（如“小于90°的角都是锐角”）培养学生严谨推理意识（数学思维），“母题探究”通过变式训练（如已知α象限求α/2象限）提升空间观念与抽象能力（数学眼光），分层练习兼顾基础与提升，课中助力教师引导探究，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

7．1　角与弧度 ► 对应学生用书P123 7．1.1　任意角 [课程标准]　1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角．　2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．　3.了解象限角的概念． 一、任意角的概念 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示 如图，①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，在不引起混淆的前提下，也可简记成“α”． 3．角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 微点拨：对角的概念的理解 (1)要明确旋转方向； (2)要明确旋转角度的大小； (3)要明确射线未作任何旋转时的位置； (4)注意由旋转方向来确定角的符号，从而角分为正角、负角、零角． 二、平面直角坐标系中的任意角 条件 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 象限角 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 轴线角 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 微点拨：各象限角的集合 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)小于90°的角都是锐角. (　　) (2)终边与始边重合的角为零角．(　　) (3)大于90°的角都是钝角．(　　) (4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.(　　) 解析：(1)－120°小于90°，不是锐角，错误． (2)逆时针旋转一周，终边与始边重合，角的大小为360°不是零角，错误． (3)210°大于90°，不是钝角，错误． (4)分针是顺时针旋转，是负角，错误． 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．与－457°角的终边相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 解析：选C.由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}． 3．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角， 并说明是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？ (1)－32°；(2)328°；(3)－392°. 解：都是第四象限角，这些角相差360°的整数倍数． 题型一　任意角的概念 例1.下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③钝角比第三象限角小； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的结论为________(填序号). 解析：①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确； ③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． 答案：② [总结] 　对任意角的理解 对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【练一练】 1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　) A．150° B．－150° C．390° D．－390° 解析：选B.各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B. 2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A．120° B．－120° C．－60° D．60° 解析：选B.由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°. 题型二　终边相同的角的表示及应用 例2.(苏教版必修一P160例1改编)已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角并判定它是第几象限的角． (1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角． 解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}． (1)最小的正角为315°. (2)最大的负角为－45°. (3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°. 【母题探究】　本例条件不变，指出α所在象限及720°～1 080°之间的角． 解：∵－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， ∴α在第四象限． 令720°＜－45°＋k·360°＜1 080°(k∈Z)， 解得k＝3. ∴在720°～1 080°之间与其终边相同的角为－45°＋3×360°＝1 035°. [总结] 　在终边相同的角的表示中，k·360°可以理解为按一定方向转动的圈数，k取正整数时，按逆时针转，k取负整数时，按顺时针转，k＝0时，没有转动． 【练一练】 3．写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来． 解：直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合： S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}． ∴S中适合－360°≤β<720°的元素是： 45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°. 题型三　象限角与区间角的表示 角度1　象限角的判断 例3.(1)已知α是第二象限角，则180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选A.由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z). 所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)(k∈Z)， 即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)， 所以180°－α为第一象限角． (2)(苏教版必修一P160例2改编)已知α是第二象限角，求角所在的象限． 解：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z). ∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z). 当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得 n·360°＋45°<<n·360°＋90°， 这表明是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得 n·360°＋225°<<n·360°＋270°， 这表明是第三象限角． ∴为第一或第三象限角． 【母题探究】　1.(变设问)在例3.(2)条件下，求角2α的终边的位置． 解：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z). ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z). ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上． 2．(变条件)若α是第一象限角，求是第几象限角？ 解：∵k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)， ∴k·180°<<k·180°＋45°(k∈Z). 当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<<n·360°＋45°，∴是第一象限角． 当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋180°<<n·360°＋225°，∴是第三象限角．∴是第一或第三象限角． [总结] 　象限角的判定方法 (1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的． 角度2　区间角的表示 例4.已知，如图所示． ①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 解：①终边落在OA位置上的角的集合为{α| α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}； 终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． [总结] 　表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 【练一练】 4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是(　　) A．{α|－45°≤α≤120°} B．{α|120°≤α≤315°} C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z} 解析：选C.阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． 5．如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？ 解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°， 则所有满足条件的角β为 {β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}． [课后分层练(三十四)]　任意角 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．下列说法中，正确的是(　　) A．第二象限的角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限的角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z) 解析：选D.A错，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是钝角； B错，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β； C错，α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合； D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z). 2．若α与β终边相同，则α－β的终边落在(　　) A.x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上 C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上 解析：选A.∵α＝β＋k·360°，k∈Z， ∴α－β＝k·360°，k∈Z， ∴其终边在x轴的非负半轴上． 3．设集合A＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}∪{α| α＝k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A＝B 解析：选D.∵集合A＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·90°，k∈Z}∪{α|α＝2k·90°，k∈Z}＝{α|α＝m·90°，m∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}， ∴集合A＝B，故选D. 4．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝180° B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z) 解析：选AD.假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，B，C都不满足条件． 5．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝____________． 解析：∵α与120°角终边相同， 故有α＝k·360°＋120°，k∈Z. 又－990°<α<－630°， ∴－990°<k·360°＋120°<－630°， 即－1 110°<k·360°<－750°，k＝－3. 当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°. 答案：－960° 6．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________． 解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°＜α＜150°或210°＜α＜330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}． 答案：{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z} 7．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题： (1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式． 解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，得－<k<，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k∈Z. 【能力提升题组】 8．集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的(　　) 解析：选B.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为B. 9．(多选)已知角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，则可能是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选BD.∵角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，∴角α的终边与－120°角的终边相同，∴α＝－120°＋k·360°，k∈Z，∴＝－60°＋k·180°，k∈Z，∴是第二或第四象限角． 10．终边在第二或第四象限的角的集合是_______________________________． 解析：因为终边在第二象限的角的集合为{α|k·360°＋90°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，终边在第四象限的角的集合为{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}，故终边在第二或第四象限的角的集合为{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z} 11．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOy＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限． 解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z. 又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°， ∴67.5°<<112.5°. 又k∈Z，∴k＝3或4， ∴所求的θ的值为或. ∵0°<<90°，90°<<180°， ∴θ在第一象限或第二象限． 学科网（北京）股份有限公司 $