6.3 对数函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦对数函数核心知识，系统梳理概念（定义、形式、定义域及底数限制）、与指数函数的反函数关系、图象绘制（描点法）及性质（单调性、定点），构建从概念辨析到图象性质再到实际应用的学习支架。 资料通过“微点拨”细化概念要点，“题型分类+例练结合”强化逻辑推理，结合牛顿冷却定律等实际问题培养数学建模眼光。课中助力教师分层教学，课后分基础与能力题帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

6.3　对数函数 [课程标准]　1.通过具体实例，了解对数函数的概念．　2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．　3.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象．　4.探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 第一课时　对数函数的概念 ► 对应学生用书P111 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞) . 微点拨：对数函数概念的注意点 (1)形式：对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．如y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数． (2)定义域：由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞). (3)底数：对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1. 【基点小试】 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝ln x B．y＝ln (x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 解析：选A.A是对数函数，B中真数是x＋1，不是x，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．故选A. 2．函数f(x)＝的定义域是(　　) A.[4，＋∞) B．(10，＋∞) C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞) 解析：选D.由得 ∴x≥4且x≠10，故选D. 解析：选D.选项A，函数f(x)＝|x|＋1的定义为R，故A错误； 选项B，由2x－1≥0得x≥0，故f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，故B错误； 选项C，由x－1>0得x>1，故f(x)＝ln (x－1)的定义域为(1，＋∞)，故C错误； 选项D，由得x≥1，故f(x)＝的定义域为[1，＋∞)，故D正确． 题型一　对数函数的概念 例1.(多选)下列函数为对数函数的是(　　) A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝loga(a＞0且a≠1) C.y＝loga－1x(a＞1且a≠2) D．y＝logax(a＞0且a≠1) 解析：选CD.由对数函数定义可知CD为对数函数，故选CD. [总结] 　判断对数函数的方法 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)真数仅有自变量x. 【练一练】 1．给出下列函数： (1)y＝logπx；(2)y＝logex；(3)y＝log10x；(4)y＝e·logax；(5)y＝log2x2；(6)y＝log2.其中是对数函数的是______．(将符合的序号全填上) 解析：(4)的系数不是1，(5)的真数不是x，(6)的真数不是x. 答案：(1)(2)(3) 题型二　对数函数式与求值 例2. (1)已知函数f＝则f＝(　　) A．0 B．1 C．2 D． 解析：选B.f＝f＝f＝f＝2－1＋1＝1，故选B. (2)已知f(x)为对数函数，f()＝－2，则f()＝________ . 解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 则loga＝－2， ∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx， ∴f()＝log＝log2()2＝log22＝. 答案： [总结] 　求对数函数函数值与解析式的方法 (1)求函数值：设出对数函数解析式，代入已知点求解． (2)求解析式：利用已知条件如函数经过的点或单调性求解． 【练一练】 2．已知g＝则f(f(26))等于(　　) A． B． C．1 D．2 解析：选C.∵26 > 4， ∴f＝log5＝2，又2<4， ∴f＝f＝e2－2＝1.故选C. 题型三　对数函数的定义域 例3.(2025·盐城五校联盟高一上期末)函数f(x)＝的定义域是________． 解析：因为f(x)＝，所以解得0<x<1或1<x≤2，即函数的定义域为(0，1)∪(1，2]. 答案：(0，1)∪(1，2] [总结] 　求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【练一练】 3．已知函数y＝f的定义域为，则f的定义域为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.函数y＝f的定义域为，所以ln x≤1，所以0<x≤e 故选B. 题型四　对数函数在实际问题中的应用 例4. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t后的温度T将满足T－Ta＝，其中Ta是环境温度，h称为半衰期．现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到35℃，大约需要(　　)(参考数据lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) A．16分钟 B．20分钟 C．24分钟 D．26分钟 解析：选D.根据题意可得55－25＝(85－25)，解得h＝10，所以35－25＝(85－25)，即6＝2，所以＝log26，故t＝10×(log23＋log22)＝10×＝10×(＋1)≈25.85，故大约需要26分钟，故选D. [总结] 　利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指、对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 【练一练】 4．某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选D.设至少需要过滤n次，则＝.所以n lg ≤－lg 20.即n≥≈≈10.42. 又n∈N，所以n≥11. [课后分层练(三十一)]　对数函数的概念 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 解析：选C.A项中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}． 2．(多选)下列给出的函数，其中是对数函数的是(　　) A．y＝logax2(a>0且a≠1) B．y＝log－1x C．y＝logx(x>0且x≠1) D．y＝logx 解析：选BD.根据对数函数的定义可知BD为对数函数． 3．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中不正确的有(　　) A．A∪B＝B B．A∩B＝∅ C．A＝B D．A⊆B 解析：选BC.A＝{x|y＝lg x}＝{x|x>0}， B＝{y|y＝lg x}＝R，∴A∪B＝B，A∩B＝A，∴A⊆B.综上所述，故答案选BC. 4．函数f(x)＝＋lg (5－3x)的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由得即1≤x<.故选C. 5．已知函数f(x)＝则f＝____，当f＝时， x的值为________． 解析：因为f＝log22＝1， 所以f＝f＝log21＝0；当x>0时，f＝log2x＝，解得x＝， 当x≤0时，f＝2x＝，解得x＝－1， 所以当f(x)＝时，x＝或－1. 答案： 0　或－1 6．f(x)＝则f[f(2)]的值为________ . 解析：由已知条件可知f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，所以f[f(2)]＝f(1)＝2e1－1＝2. 答案：2 7．函数f(x)＝lg (x2－1)的定义域为______ . 解析：要使函数有意义，必须满足x2－1>0，即x>1或x<－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 8．下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝log4； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)； (5)y＝log6x. 解：(1)y＝log4＝log16x，是对数函数．(2)中对数式后加2，∴不是对数函数．(3)中真数为x＋1，且系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数不是常数，而真数是常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【能力提升题组】 9．函数f(x)＝log2(x2＋8)的值域为(　　) A．R B．[0，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 解析：选C.设t＝x2＋8，则t≥8，又函数y＝log2t在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥log28＝3.故选C. 10．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是(　　) A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5) 解析：选C.令x－1＝1，即x＝2.则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2，4).故选C. 11．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为______万元． 解析：由题意得5＝2log4x－2， 即7＝log2x，得x＝128. 答案：128 12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0且a≠1. (1)求函数f(x)－g(x)的定义域； (2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由． 解：(1)f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，若上式有意义，则即－1＜x＜1，所以所求函数的定义域为{x|－1＜x＜1}． (2)设F(x)＝f(x)－g(x)，则由(1)可知，F(x)的定义域(－1，1)关于原点对称，又F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－F(x)，所以f(x)－g(x)是奇函数． 第二课时　 对数函数的图象和性质(一) ► 对应学生用书P113 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象及性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为(0，＋∞) ，值域为R 图象都过定点(1，0) ，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0 ； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 微点拨：(1)讨论对数函数性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论． (2)由对数函数的性质知，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象通过点，(1，0)和(a，1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax的图象． (3)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)中：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”，当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． (4)快速准确地判断对数值logmn的符号的方法：对于正数m，n，有(m－1)(n－1)>0⇒logmn>0；(m－1)(n－1)<0⇒logmn<0.巧记口诀：同正异负，即底数和真数同大于1或同大于0小于1时为正，否则为负. 【基点小试】 1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，y＝2x与y＝log2的图象可能是(　　) 解析：选B.y＝2x是定义域为R的增函数，y＝log2(－x)：－x>0，则x<0.结合选项只有B符合．故选B. 2．在同一坐标系中函数y＝2－x与y＝log2x的图象是(　　) 解析：选A.由于y＝2－x＝中的底数0<<1，所以为减函数，所以排除BC，由于y＝log2x中的底数2>1，所以为增函数，所以排除D，故选A. 题型一　对数函数的图象 角度1　对数函数的图象及变换 例1.(1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为______________． 解析：由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c＞0. 答案：b>a>1>d>c>0 (2)作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象． 解：第一步：作出函数y＝log2x的图象(如图①)； 第二步：将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象(如图②)； 第三步：将函数y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图③). [总结] 1.对数函数y＝logax的底数对图象的影响 a越大，函数图象在x轴上方部分越远离y轴的正方向，即“底大图右”，如图所示． 2．两个单调性相同的对数函数的底数大小关系 它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图①②. 3．函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的． (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称． 角度2　图象辨析 例2.函数f(x)＝xlog2|x|的图象大致为(　　) 【思维点拨】　由解析式判断f(x)奇偶性及f，f(1)的符号，即可确定图象． 解析：选A.由f(－x)＝－xlog2|－x|＝－xlog2|x|＝－f(x)且定义域为{x|x≠0}，所以f(x)为奇函数，排除C、D；又f()＝log2||＝－<f(1)＝0，排除B.故选A. [总结] 　(1)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法． (2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 角度3　由对数函数的图象求参数的范围 例3.函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是(　　) A．5 B． C． D． 解析：选A.由对数函数y＝logax的图象在定义域内是增函数，可知其底数大于1，给出的四个选项中仅有选项A中的数值大于1，满足条件．故选A. [总结] 　若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围． 注意：函数在某区间上单调，前提是在该区间上有意义，不能忽视其对参数范围的限制． 【练一练】 1．(2025·盐城五校联盟高一上期末)函数f(x)＝ln |x|的图象大致为(　　 ) 解析：选C.由函数f(x)＝ln |x|可知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且定义域关于原点对称． 因为f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|＝－f(x)， 所以函数f(x)＝ln |x|为奇函数，故排除选项B； 因为f(1)＝ln 1＝0，故排除选项A； 因为f()＝ln ＝ln 2>0，故排除选项D. 2．已知函数f(x)＝loga(3x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列关系式正确的是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 解析：选A.由题图可得a>1，则0<a－1<1.当x＝0时，y＝logab，结合题图可得－1<logab<0，即－1＝loga<logab<loga1＝0， 又因为函数为单调递增函数，所以0<a－1<b<1.故选A. 3．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a，b为常数)的图象如图所示，则函数g(x)＝bx2－4x在[0，5]上的最大值是(　　) A. B． C．b4 D．b5 解析：选A.∵函数y＝loga(x＋b)(a，b为常数)的零点位于(0，1)上，故b∈(0，1)，当x∈[0，5]时，x2－4x在x＝2时取最小值－4，此时g(x)＝bx2－4x取最大值，故选A. 4．作出函数y＝|lg (x－1)|的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间． 解：先画出函数y＝lg x的图象(如图①). 再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y＝lg (x－1)的图象(如图②). 最后把y＝lg (x－1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变)，即得出函数y＝|lg (x－1)|的图象(如图③).由图易知其定义域为(1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，单调递减区间为(1，2]，单调递增区间为(2，＋∞). 题型二　对数函数图象恒过定点问题 例4.(1)函数f＝loga＋2 的图象经过定点(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由对数函数的图象与性质可得，y＝logax的图象必经过(1，0)，故令＝1，解得x＝－2，此时f＝loga＋2＝loga1＋2＝2，所以f(x)的图象必经过.故选B. (2)函数y＝loga－5恒过定点__________________________． 解析：令x2－3＝1，得x＝－2或2，当x＝－2或2时，y＝loga1－5＝－5.因此，函数y＝loga＋2的图象过定点，. 答案：， [总结] 　对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，0).利用整体代换法，在对数型函数y＝logaf(x)＋b(a>0且a≠1)中令f(x)＝1，即可求得对数型函数的图象所过的定点．(注：令对数型函数的真数为1，切记loga1＝0) 【练一练】 5．若f(x)＝1＋loga(x2－2x－2)(a>0且a≠1)的图象过定点M，则M点的坐标是(　　) A．(，1)和(，1) B．(，2)和(，2) C．(－1，0)和(3，0) D．(－1，1)和(3，1) 解析：选D.由题设，当x2－2x－2＝1时，f(x)＝1＋loga1＝1，此时x＝3或x＝－1，∴定点M为(－1，1)和(3，1). 6．已知函数f＝ax－3＋loga＋1(a>0，a≠1)，则它的图象过定点(　　) A. B． C． D． 解析：选C.由题意，函数f＝ax－3＋loga＋1(a>0且a≠1)，令x＝3，可得f＝a3－3＋loga＋1＝1＋0＋1＝2，所以函数f的图象恒过定点(3，2).故选C. [课后分层练(三十二)]　对数函数的图象和性质（一） （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．函数f(x)＝log2|2x－4|的图象为(　　) 解析：选A.函数f(x)＝log2|2x－4|的图象可以看作是将函数y＝log2|2x|的图象向右平移2个单位长度得到的，故选A. 2．若函数f与g＝的图象关于直线y＝x对称，则f的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为函数f与g＝的图象关于直线y＝x对称，所以f＝logx，f＝log，因为4－x2>0的解集为，即函数的定义域为，由于函数y＝logt在上单调递减，t＝4－x2在上单调递减，上单调递增，所以f在上单调递增，在上单调递减．故选C. 3．函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1，2) B．(2，0) C．(2，1) D．(1，1) 解析：选C.对任意a>0且a≠1，当x－1＝1，即x＝2时，恒有f(x)＝1，即函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2，1)，所以点P的坐标是(2，1).故选C. 4．(多选)已知函数f＝ln x＋ln ，则(　　) A．f≤2 B．f在上单调递增 C．f的图象关于直线x＝e对称 D．f的图象关于点对称 解析：选AC.函数f＝ln x＋ln 定义域为(0，2e)，f＝ln [x]， 对于A，f(x)＝ln [－(x－e)2＋e2]≤ln e2＝2，当且仅当x＝e时取“＝”，A正确； 对于B，因u＝x(2e－x)在上递减，而y＝ln u在上递增，则f在上递减，B不正确； 对于C，因∀x∈(0，2e)，f＝ln ＋ln x＝f(x)，即f的图象关于直线x＝e对称，C正确； 对于D，因f(1)＋f(2e－1)＝2ln (2e－1)≠2，即点(1，f(1))与(2e－1，f(2e－1))关于点不对称，D不正确．故选AC. 5．函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________ . 解析：令x＋2＝1，得x＝－1，f(－1)＝0＋3＝3， ∴y＝f(x)过定点(－1，3). 答案：(－1，3) 6．函数y＝log2x的图象与函数y＝2x的图象关于直线______对称． 解析：因为y＝log2x与y＝2x互为反函数，所以函数y＝log2x的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称． 答案：y＝x 7．若不等式x2－logmx＜0在内恒成立，求实数m的取值范围． 解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的图象，如图所示．要使x2＜logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2的上方，于是0＜m＜1. ∵x＝时，y＝x2＝，又0＜m＜1， ∴≤m＜1，即实数m的取值范围是[，1). 【能力提升题组】 8．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.∵a＞1，∴函数y＝logax的图象如图所示，函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|(|b|＞1)个单位长度，如图． 由图可知函数y＝loga(x－b)的图象不经过第四象限． 9．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选BCD.作出函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、三、四象限． 10．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________. ①m＞0，0＜n＜1　②m＜0，0＜n＜1 ③m＞0，n＞1　④m＜0，n＞1 解析：由图象知函数为增函数，故n＞1.又当x＝1时，f(1)＝m＞0，故m＞0. 答案：③ 11．已知函数f(x)＝lg |x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)画出函数f(x)的草图； (3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).∴函数f(x)是偶函数． (2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得到函数f(x)的图象，如图所示． (3)证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg ＝lg .∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x1，∴|x1|>|x2|>0.∴>1. ∴lg >0.∴f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 第三课时　对数函数的图象和性质(二)　 ► 对应学生用书P117 题型一　函数性质的应用 角度1　比较大小 例1.(1)(苏教版必修一P145例1改编)已知a＝log23，b＝log46，c＝log89，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a 解析：选C.b＝log46＝log2，又c＝log89＝log2，因为3>>，y＝log2x单调递增，所以c<b<a.故选C. (2)设a＝log32，b＝log2，c＝log56，则(　　) A．a<c<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c 解析：选C.a＝log32<log33＝1，a＝log32>log31＝0，故a＝log32∈，b＝log2<0，c＝log56>log55＝1，故b<a<c故选C. [总结] 　对数值比较大小的常用方法 (1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量． (3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较． (4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较． 角度2　解不等式 例2.(苏教版必修一P149T13改编)(1)解不等式log2(x＋1)>log2(1－x)； (2)若loga<1，求实数a的取值范围． 解： (1)原不等式等价于解得0<x<1.∴原不等式的解集为(0，1). (2)若a>1，则loga<1＝logaa，∴a>1. 若0<a<1，则loga<1＝logaa，∴0<a<，综上所述，实数a的取值范围是∪(1，＋∞). 【母题探究】　将本例(1)改为loga(x＋1)＞loga(1－x)，求解x的集合． 解：当a＞1时，得解集为(0，1). 当0＜a＜1时，得解集为(－1，0). 综上可得：x的取值范围是(－1，0)∪(0，1). [总结] 　对数型不等式的解法 (1)logaf(x)<logag(x)，a>1与不等式组同解． (2)logaf(x)<logag(x)，0<a<1与不等式组同解． (3)特别地：当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a>1及0<a<1进行分类讨论． 角度3　函数y＝logaf(x)单调区间求法 例3.求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间． 解：由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为. ①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数． ②0<a<1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在上为增函数． 综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为；当0<a<1时，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(2，＋∞). [总结] 　对数型y＝logaf(x)复合函数的单调性，如果定义域为D. y＝logaf(x)的增区间 y＝logaf(x)的减区间 a>1 定义域内f(x)的单调增区间 定义域内f(x)的单调减区间 0<a<1 定义域内f(x)的单调减区间 定义域内f(x)的单调增区间 角度4　函数y＝logaf(x)的最值与值域 例4.求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log(3＋2x－x2). 解：(1)设u＝x2＋4≥4.而y＝log2u是增函数．y≥log24＝2. ∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞). (2)设t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4.令t＞0，－1＜x＜3.则0＜t≤4.又∵y＝logt为减函数．∴y≥log4＝－2， ∴函数y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞). [总结] 　求形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数的值域的步骤 (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解．不确定函数的单调性时要分类讨论． 角度5　由对数函数单调性求参数或范围 例5.已知f(x)＝log(x2－ax－a). (1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域； (2)若f(x)在上为单调增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1).∵x2＋x＋1＝＋≥， ∴log (x2＋x＋1)≤log＝2－log23， ∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]. ∵y＝x2＋x＋1在上递减， 在上递增，y＝logx在(0，＋∞)上递减， ∴f(x)的单调递增区间为， 单调递减区间为. (2)令u(x)＝x2－ax－a＝－－a， ∵f(x)在上为单调增函数， 又y＝logu(x)为单调减函数， ∴u(x)在上为单调减函数，且u(x)＞0在上恒成立． 因此即 解得－1≤a≤.故实数a的取值范围是. [总结]　(对数型函数的单调性求参数的取值范围) (1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． (2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． 【练一练】 1．已知偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，若a＝f，b＝f(ln 2)，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)(参考数据：≈1.414，e≈2.718 28) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．b<a<c 解析：选B.由f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增， 所以c＝f＝f＝f， 而0<ln 2<ln e＝1<e0.6，log2e>1， 又log2e<log22＝，e0.6>e>＝，综上，ln 2<log2e<e0.6，故f(ln 2)<f<f，即b<c<a，故选B. 2．(2025·丹阳高一上期末)若函数f(x)＝的值域为(－∞，0]，则实数a的取值范围是(　　 ) (　　 ) A．[，) B．(，) C．(，1] D．[，1] 解析：选A.因为函数f(x)＝的值域为(－∞，0]， 可知f(x)＝log2ax在[1，＋∞)内单调递减，则0<2a<1，解得0<a<. 可得当x≥1时，f(x)≤f(1)＝0，即f(x)在[1，＋∞)内值域为(－∞，0]，符合题意； 且f(x)＝(3a－1)x－2在(－∞，1)内不单调递减， 若f(x)＝(3a－1)x－2在(－∞，1)内单调递增，则3a－1>0，解得<a<， 此时f(x)<f(1)＝3a－3<0，符合题意； 若f(x)＝(3a－1)x－2在(－∞，1)内为常函数，则3a－1＝0，解得a＝， 此时f(x)＝－2<0，符合题意． 综上所述，实数a的取值范围是[，). 3．(1)已知loga＞1，求a的取值范围； (2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围． 解：(1)由loga＞1得loga＞logaa. ①当a＞1时，有a＜，此时无解． ②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1. ∴a的取值范围是. (2)∵函数y＝log 0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72x＜log0.7(x－1)， 得解得x＞1. ∴x的取值范围是(1，＋∞). 4．求函数f(x)＝log2(x2－1)的单调区间． 解：令x2－1＞0，∴x＞1或x＜－1.a＝2＞1，设u＝x2－1，当x＞1时，u＝x2－1为增函数． ∴f(x)＝log2(x2－1)的增区间为(1，＋∞).当x＜－1时，u＝x2－1为减函数． f(x)＝log2(x2－1)的减区间为(－∞，－1). 5．函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值． 解：当a＞1时，因为函数 y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值是loga4，最小值是loga2，所以loga4－loga2＝1，即loga2＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，y＝logax在[2，4]上的最大值为loga2，最小值为loga4， ∴loga2－loga4＝1，∴loga＝1，∴a＝.综上，a＝2或a＝. 题型二　与对数函数有关的值域和最值问题 例6.(1)(多选)已知函数f＝ln (x2－ax－a－1)，下列说法正确的有(　　) A．不存在实数a，使f(x)的定义域为R B．函数f(x)一定有最小值 C．对任意正实数a，f(x)的值域为R D．若函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(－∞，1) 解析：选ACD.对于A, 若f(x)的定义域为R，则对于不等式x2－ax－a－1>0，Δ＝＋4＝<0不成立，故A正确； 对于B, 当a＝0时，f＝ln ，因为u＝x2－1能取遍所有的数，所以f∈R，故B错误； 对于C，u＝x2－ax－a－1＝－a－1－，因为－a－1－<0，所以u能取遍所有的数，所以f(x)的值域为R，故C正确； 对于D, 若函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则即解得 a<1，所以实数a的取值范围是(－∞，1)，故D正确．故选ACD. (2)(多选)已知函数f＝log2－2x，以下判断正确的是(　　) A．f(x)是增函数 B．f(x)有最小值 C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数 [思路点拨]　由题设可得f(x)＝log2，根据复合函数的单调性判断f(x)的单调情况并确定是否存在最小值，应用奇偶性定义判断奇偶性． 解析：选BD.由f(x)＝log2(2x＋23x)－log222x＝log2，令μ＝2x>0为增函数；而t＝＋μ在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；所以t在x∈(－∞，0)上递减，在x∈上递增；又y＝log2t在定义域上递增，则y在x∈(－∞，0)上递减，在x∈上递增； 所以f(x)在上递减，在(0，＋∞)上递增，故最小值为f(0)＝1，f(－x)＝log2＝log2＝f(x)，故为偶函数．故选BD. [总结] 　求解对数函数最值问题的方法 (1)配方法 当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c)求函数值域问题时，可以用配方法． (2)单调性法 根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域． (3)换元法 求形如y＝logaf(x)型函数值域的步骤 ①换元，令u＝f(x)利用函数图象和性质求出u的范围； ②利用y＝logau的单调性、图象求出y的取值范围． 【练一练】 6．(多选)若f(x)＝ln (x2＋1)(x∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝0对称 B．f(x)的图象关于点(0，0)中心对称 C．f(x)没有最小值 D．f(x)没有最大值 解析：选AD.f(－x)＝ln (x2＋1)＝f，所以f(x)为偶函数. 则选项A正确，选项B不正确．设t＝x2＋1≥1，所以f(x)＝ln (x2＋1)≥ln 1＝0(当x＝0时取得等号)，当x→＋∞或x→－∞时，t→＋∞，则f→＋∞，所以f(x)没有最大值．所以选项C不正确，选项D正确．故选AD. 题型三　对数函数性质的综合应用 例7.已知函数f＝log2的定义域是R. (1)求实数a的取值范围； (2)解关于m的不等式a－m2＋2m＋1>a3m－1. [思路点拨]　(1)由题意，x2－2ax＋a>0在R上恒成立，由判别式Δ<0求解即可得答案； (2)由指数函数y＝ax在R上单调递减，可得－m2＋2m＋1<3m－1，求解不等式即可得答案． 解：(1)∵函数f＝log2的定义域是R， ∴x2－2ax＋a>0在R上恒成立， ∴Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1， ∴实数a的取值范围为. (2)∵0<a<1，∴指数函数y＝ax在R上单调递减，∴－m2＋2m＋1<3m－1，解得m>1或m<－2，所以原不等式的解集为∪. [总结] 　解决对数函数综合问题的方法 对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算，解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路． 【练一练】 7．已知函数f(x)＝loga(4－ax)，. (1)若g(x)是偶函数，当x<0时，g(x)＝f(x)，求x>0时，g(x)的表达式； (2)若函数f(x)在上是减函数，求实数a的取值范围． 解：(1)设x>0，则－x<0，则由g(x)是偶函数，且当x<0时，g(x)＝f(x)＝loga(4－ax)可知g(x)＝g(－x)＝loga＝loga，故当x>0时，g(x)＝loga (2)因为u(x)＝4－ax，在上是减函数，要使f(x)＝loga(4－ax)在有意义，且为减函数，则需满足解得1<a≤， ∴所求实数a的取值范围为. 培优拓展系列(七)·指数、对数比较大小的策略 角度1　利用指、对、幂函数的单调性　 例8.已知m>1，且a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 解析：选A.因为y＝在(0，＋∞)上是减函数，且m>1，所以<，即a<0.又y＝在R上是减函数，所以0<<，即0<b<.因为y＝在[0，＋∞)上是增函数，所以，即c>1.所以a<b<c.故选A. [总结] 　本题考查利用指、对、幂函数的单调性比较大小．同时注意中间量的选取要便于计算、比较，通过选取一些中间量(如0，1等)比较大小，借助不等式传递性来确定它们的大小． 角度2　利用函数的图象 例9.已知＝log3a，3b＝，＝c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．b<a<c 解析：选C.在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝log3x，y＝3x，y＝x的图象，如图．由图可知b<c<a.故选C. [总结]　对于比较“超越方程”的根的大小问题，直接比较会很困难，常常将问题转化为指数函数、对数函数与幂函数的图象交点的横坐标大小问题，再借助图象求解． 角度3　构造函数 例10.(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　) A．ln (y－x＋1)＞0 B．ln (y－x＋1)＜0 C．ln |x－y|＞0 D．ln |x－y|＜0 解析：选A.由2x－2y<3－x－3－y，可得2x－3－x<2y－3－y. 设f(x)＝2x－3－x，则f(x)<f(y). 易知f(x)在R上为增函数，所以x<y，则y－x＋1>1，所以ln (y－x＋1)>0，故A正确，B错误．而当x＝1，y＝2时，ln |x－y|＝0，故C，D错误．故选A. [总结]　解答本题的关键点：(1)对于结构相同(相似)的不等式，通常考虑变形，构造函数；(2)利用指数函数与对数函数的单调性得到x，y的大小关系及ln (y－x＋1)的符号． 角度4　涉及三元变量的比较大小问题 例11.(一题多法)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 解析：选D.法一(作差法)　令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝，y＝，z＝. 因为k>1，所以lg k>0，所以2x－3y＝－＝＝>0，故2x>3y， 2x－5z＝－＝＝<0，故2x<5z. 所以3y<2x<5z.故选D. 法二(作商法)　令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1. 则x＝，y＝，z＝. 所以＝×＝>1，即2x>3y， ＝×＝>1，即5z>2x. 所以5z>2x>3y.故选D. [总结]　若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，通过作差、作商或运用函数的性质求解． [课后分层练(三十三)]　对数函数的图象和性质（二） （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．设a＝ln 3，b＝3－，c＝lg ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 解析：选D.因为a＝ln 3>ln e＝1，0<b＝3－<30＝1，c＝lg <lg 1＝0，所以c<b<a.故选D. 2．(多选)已知函数f(x)＝lg ，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)的定义域为(－1，1) C．f＋f＝f D．f(x)在定义域上单调递减 解析：选ABC.f(x)＝lg 定义域为，又f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f，所以f(x)为奇函数，AB正确；f＝lg ()＝lg 3，f＝lg ()＝lg 2，f＝lg ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，所以f＋f＝f，C正确；＝－1＋在定义域内为增函数，而y＝lg u单调递增，由复合函数单调性可知：f(x)在定义域上单调递增，D错误．故选ABC 3．(多选)已知函数f＝loga(1－x)(a>0，a≠1)，下列关于f的说法正确的是(　　) A．定义域是 B．值域是R C．图象恒过定点 D．当a>1时，在定义域上是增函数 解析：选ABC.对于A选项，1－x>0，解得x<1，所以定义域是，故A正确； 对于B选项，由对数函数的性质得值域是R，故B正确； 对于C选项，函数f＝loga(1－x)(a>0，a≠1)恒过定点(0，0)，故C正确； 对于D选项，当a>1时，函数y＝logat在上单调递增，函数y＝1－x在上单调递减，故根据复合函数单调性得当a>1时，f在定义域上是减函数，故D错误；故选ABC. 4．(多选)已知0<m<n<1，则(　　) A．lg m<lg n B．0.5m<0.5n C．logmπ<lognπ D．mn<nm 解析：选AD.对于A，由y＝lg x为递增函数，又0<m<n<1则lg m<lg n，A正确； 对于B，由y＝0.5x为递减函数，又0<m<n<1则0.5m>0.5n，B错误； 对于C，由0<m<n<1，结合对数函数的性质，在(1，＋∞)上logmx>lognx恒成立，即logmπ>lognπ，C错误； 对于D，由0<m<n<1，结合指数函数的性质知：mn<mm<nm，D正确．故选AD. 5．若loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为______________. 解析：由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.当a>1时，y＝logax是增函数，∴解得a>，∴a>1；当0<a<1时，y＝logax是减函数，∴解得<a<.∴<a<.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞). 答案：∪(1，＋∞) 6．函数y＝(1－2x)的单调增区间是________． 解析：函数的定义域为.设t＝1－2x，则t在是减函数，而y＝t是减函数，故原函数的增区间为. 答案： 7．若函数f＝(a>0且a≠1). ①若a＝，则f＝________； ②若f有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析：当a＝时，f＝ 所以f＝－(－1)＋3＝4， 所以f＝f＝log4＝－2； 当x≤2时，f＝－x＋3， 当x＝2时，f＝－x＋3取得最小值1， 当0<a<1时，且x>2时，f(x)＝logax<loga2，此时函数无最小值． 当a>1时，且x>2时，f(x)＝logax>loga2，要使函数有最小值，则必须满足loga2≥1，解得1<a≤2. 答案：－2　 1<a≤2 8．比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 解：(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2<log40.2. (4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3， 所以log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 9．已知f(x)＝(logx)2－3logx，x∈[2，4]，试求f(x)的最大值与最小值． 解：令t＝logx， 则y＝t2－3t＝－， ∵2≤x≤4，∴log4≤logx≤log2， 即－2≤t≤－1. 可知y＝(t－)2－在[－2，－1]上单调递减． ∴当t＝－2时，y取最大值为10； 当t＝－1时，y取最小值为4. 故f(x)的最大值为10，最小值为4. 【能力提升题组】 10．(多选)设a＝log，b＝log5，则下列说法中正确的有(　　) A．0<a<1 B．ab<－1 C．a＋b>0 D．a＋b＋ab>0 解析：选ACD.对于A，a＝log>log1＝0，a＝log<log＝1，∴0<a<1，A正确； 对于B，b＝log5<log51＝0，b＝log5>log5＝－1， ∴－1<b<0，∴－1<ab<0，B错误； 对于C，a＋b＝＋＝＝>0，C正确； 对于D，＋＋1＝＋＋1＝＝<0，即<－1.又∵ab<0，∴a＋b>－ab，∴a＋b＋ab>0，D正确．故选ACD. 11．(多选)已知函数f＝ln ，下列说法正确的有(　　) A.当b＝0时，函数f的定义域为R B．当b＝0吋，函数f的值域为R C．函数f有最小值的充要条件为：b2＋4b－4<0 D．若f在区间上单调递增，则实数b的取值范围是 解析：选AC.对于A，当b＝0时，x2＋1>0恒成立，所以函数f的定义域为R，所以A正确， 对于B，当b＝0时，f＝ln ，因为x2＋1≥1，所以ln ≥ln 1＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)，所以B错误， 对于C，令t＝x2－bx－b＋1＝－，则tmin＝－，当－>0，即b2＋4b－4<0时， f一定有最小值，反之也成立，所以C正确， 对于D，令t＝x2－bx－b＋1＝－，则y＝ln t，当f在区间上单调递增时， 解得b<，所以D错误，故选AC. 12．若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0，1]上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．(1，＋∞) 解析：选B.令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0，1]上恒大于零，当x∈[0，1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.综上可得1<a<2.故选B. 13．设常数a>1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，y的最大值为，则a的值为________ ，x的值为________ . 解析：由logax＋2logxa＋logxy＝－3，得logax＋＋＝－3(x>0，y>0，x≠1)，整理可得logay＝－(logax)2－3logax－2.设logax＝t(t≠0)，则有logay＝－＋. ∴当t＝－时，logay的最大值为，y的最大值为a， ∴a＝.∴a＝4，此时x＝at＝4－＝. 答案：4　 14．函数y＝lg 的定义域为R，则实数a的取值范围是______，若此函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________． 解析：y＝lg 的定义域为R⇔x2＋2ax＋1>0⇔Δ<0⇒4a2－4<0⇒－1<a<1； 令t＝x2＋2ax＋1，A＝， 则y＝lg 的值域为R⇔⊆A⇔Δ≥0⇒4a2－4≥0⇒a≥1或a≤－1. 答案： (－1，1)　 (－∞，－1]∪[1，＋∞) 15．函数f＝log2在(－∞，－2]上单调递减，g＝4x－2x＋1a－5a. (1)求a的取值范围； (2)当x∈时，求g的最小值． 解：(1)设t＝x2－2ax－5a，则f＝log2＝log2 由题意可得，所以－2≤a<4， 所以，a的取值范围为. (2)因为x∈，所以2x∈＝.又因为g＝4x－2x＋1a－5a＝－a2－5a，若 a∈，2x＝a时，g 有最小值－a2－5a；若a∈，2x＝时，g 有最小值. 16．已知函数f(x)＝ax－1(a＞0且a≠1). (1)若函数y＝f(x)的图象经过点P(3，4)，求a的值； (2)若f(lg a)＝100，求a的值； (3)比较f与f(－2.1)的大小，并写出比较过程． 解：(1)因为函数y＝f(x)的图象经过P(3，4)，所以a3－1＝4，即a2＝4.又a＞0，所以a＝2. (2)由f(lg a)＝100知，alg a－1＝100. ∴lg alg a－1＝2(或lg a－1＝loga 100). ∴(lg a－1)·lg a＝2. ∴(lg a)2－lg a－2＝0， ∴lg a＝－1或lg a＝2， ∴a＝或a＝100. (3)∵f＝f(－2)＝a－3，f(－2.1)＝a－3.1，当a＞1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为增函数， ∵－3＞－3.1，∴a－3＞a－3.1， 即f＞f(－2.1)； 当0＜a＜1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3＞－3.1，∴a－3＜a－3.1， 即f＜f(－2.1). 学科网（北京）股份有限公司 $