6.2 指数函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学指数函数核心内容，系统梳理从概念（含底数限制条件深层分析）到图象性质（单调性、定点等）再到应用（指数增长模型、实际问题求解）的完整知识链，构建“概念理解-图象探究-性质应用”的学习支架。 资料以问题链驱动思维（如微思考解析底数规定原因），通过分层题型（比较大小、单调性判断等）培养数学思维，结合放射性物质半衰期等实例引导用数学语言表达现实问题，发展应用意识。课中辅助教师引导探究，课后分层练习助力学生巩固查漏。

6．2　指数函数 [课程标准]　1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景　2.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数的图象．　3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 第一课时　指数函数的概念 ► 对应学生用书P102 一、指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，定义域是R．值域y的范围为(0，＋∞). 微思考：为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． ②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 (1)定义：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)应用：刻画指数增长或衰减变化规律． 【基点小试】 1．(多选)下列函数是指数函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝2x＋1 C．y＝2－x D．y＝πx 解析：选CD.根据指数函数的定义，形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数，其系数为1，故A选项不满足形式；B选项的系数为2；C选项y＝2－x＝，满足；D选项满足． 2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1 C．a>，且a≠1 D．a≥ 解析：选C.依题意得：2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C. 3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).分别经过3小时和4小时，这种细菌由1个可繁殖成(　　) A．511个和4 096个 B．512个和4 095个 C．511个和4 095个 D．512个和4 096个 解析：选D.因为每20分钟分裂一次，故3个小时共分裂了9次，所以共繁殖细菌29＝512(个)；4个小时共分裂了12次，所以共繁殖细菌212＝4 096(个). 题型一　指数函数的概念 例1.下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x； (4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数). 解：(1)y＝10x符合定义，是指数函数． (2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数． (3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数． (4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数． [总结] 　判断指数函数的方法 判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，a≠1)这一结构形式．要满足指数函数解析式的三个特征． 【练一练】 1．指出下列函数哪些是指数函数：(1)y＝3x；(2)y＝x2；(3)y＝－3x；(4)y＝(－3)x. 解：(1)为指数函数． (2)中底数不是常数，故不是指数函数． (3)是－1与指数函数3x的乘积． (4)中底数－3<0，故不是指数函数． 题型二　指数函数的解析式及其应用 例2.函数y＝(a2－a－1)·ax是指数函数，求a的值． 解：依题意应有 解得a＝2(a＝－1舍去).所以a的值是2. [总结] 　求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1). (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 【练一练】 2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 解析：选C.由指数函数的定义知： ∴a＝2(a＝1舍去). 题型三　函数模型y＝kax的实际应用 例3.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半，已知铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，若物质B的半衰期为8小时，则物质A的半衰期为________小时． 解析：设物质A的半衰期为t小时，开始记录时容器中物质B的质量为m， 依题意：2m·＝m·，解得：t＝7.5，所以物质A的半衰期为7.5小时． 答案：7.5 [总结] 　(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律，若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律． (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题． 【练一练】 3．某生态文明小镇2018年年底人口为20万人，人均住房面积为8 m2，计划2022年年底人均住房达到10 m2，如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2(精确到1万m2). 解：设这个城市平均每年要新增住房x万m2， 据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10， 所以x＝50×1.014－40≈12. 所以这个城市平均每年至少需要新增住房12万m2. [课后分层练(二十八)]　指数函数的概念 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．(多选)下列以x为自变量的函数中不是指数函数的是(　　) A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1) C．y＝－4x D．y＝aa＋2(a>0且a≠1) 解析：选ACD.A中底数不满足大于0且不等于1；C中系数不是1；D中指数不是独立的x；只有选项B满足指数函数定义． 2．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　) A．4 B．1或3 C．3 D．1 解析：选C.解得a＝3. 3．y＝2x－1的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：选A.由指数函数定义知，x∈R. 4．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的有(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*) 解析：选CD.f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B正确；f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确． 5．下列函数是指数函数的有________(填序号). ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝πx；⑤y＝4x2；⑥y＝xx；⑦y＝(2a－1)x(a为常数，a>，且a≠1). 解析：②不是指数函数，因为自变量不在指数的位置上；③是－1与4x的乘积，不是指数函数；⑤中指数不是自变量x；⑥中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的概念．故指数函数有①④⑦. 答案：①④⑦ 6．若函数f(x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可得解得a<且a≠1. 答案：(－∞，1)∪ 7．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． (1)求f(x)的表达式； (2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明． 解：(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)， ∴f(x)＝2x. (2)F(x)＝2x－2－x，定义域为R，∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)， ∴F(x)是奇函数． 【能力提升题组】 8．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(　　) A．赚723元 B．赚145元 C．亏145元 D．亏723元 解析：选D.由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5 ≈10×0.992 77＝9.927 7； 100 000－99 277＝723， 故股民亏723元． 9．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　) A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲、乙两食堂的营业额相等 D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 解析：选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高． 10．设f(x)＝，则f＋f＋f＋…＋f＝________． 解析：因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝，故f(x)＋f(1－x)＝1，则f＋f＝f＋f＝…＝f＋f，所以，原式＝5. 答案：5 11．有一种树栽植后5年内的木材产量每年均比上一年增加20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的木材产量每年均比上一年增加10%.现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐． 乙方案：栽植5年后砍伐重栽(重栽时与第一次栽植时数量相同)，然后过5年再砍伐一次． 请计算后回答：10年后哪一个方案可以得到较多的木材？ 解：设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a. 乙方案在10年后的木材产量为 y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a. 显然y1<y2 因此，乙方案能获得更多的木材． 第二课时　 指数函数的图象和性质(一) ► 对应学生用书P104 y＝ax 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 在R上是减函数 在R上是增函数 微思考：根据指数函数y＝ax图象，当x>0或x<0时，y的范围是什么？ 提示： 底数 x的范围 y的范围 a>1 x>0 y>1 x<0 0<y<1 0<a<1 x>0 0<y<1 x<0 y>1 微点拨：(1)当两个指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． (2)在直角坐标系中，指数函数图象不可能出现在第三、四象限，其图象都在x轴上方． (3)在同一坐标系中，底数a的大小与图象的高低情况如图： 【基点小试】 1．如图所示是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象，已知a的取值分别为，，，，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 解析：选D.y轴右侧图象自上向下对应底数减小，D符合． 2．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________． 解析：由0<2－a<1，得1<a<2. 答案：1<a<2 题型一　指数函数的图象 角度1　指数函数图象特征 例1.如图所示是下列指数函数的图象，①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c. 解析：选B.可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象越靠近x轴，故选B. [总结] 　指数函数的图象随底数变化的规律 (1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． (2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大． 角度2　图象过定点问题 例2.已知函数f(x)＝a2x－2＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(0，3) B．(1，3) C．(0，4) D．(1，4) 解析：选D.当2x－2＝0时，x＝1，即f(1)＝a2－2＋3＝1＋3＝4，故P(1，4).故选D. [总结] 　解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，则函数图象过定点(－c，k＋b). 【练一练】 1．若b＜－1，则函数y＝ax＋b(a＞1)的图象必定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.y＝ax＋b的图象是由指数函数y＝ax(a＞0)向下平移|b|单位得到，且b<－1，如图，故选B. 2．(2022·湖北襄阳一中高一期中)已知函数f(x)＝ax＋1－3的图象恒过定点P，则P点的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(－1，－2) C．(－2，1) D．(0，－3) 解析：选B.令x＋1＝0，解得x＝－1，此时f(－1)＝1－3＝－2. 所以点P的坐标为(－1，－2)，故选B. 题型二　指数函数图象的变换 例3.如图所示是y＝a，y＝a的图象，则a1，a2的大小关系是(　　) A．a1>a2>1 B．a2>a1>1 C.0<a1<a2<1 D．0<a2<a1<1 解析：选A.因为y＝a＝ y＝a＝ 作直线x＝1可知a1>a2.故选A. [总结] 　(1)在同一平面直角坐标系内，识别多个指数函数图象底数的大小，可借助直线x＝1，根据x＝1与各图象交点纵坐标大小确定底数大小． (2)对形如f(x)＝a|x|(a>0且a≠1)的函数，可利用偶函数性质，作出x>0时的函数图象，结合对称性求解． 【练一练】 3．函数y＝2－|x|的大致图象是(　　) 解析：选C.由y＝2－|x|＝知选C. 题型三　根据指数型函数图象确定解析式中参数 例4.若函数y＝ax－(b＋1)(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则必有(　　) A．0<a<1，b>0 B．0<a<1，b<0 C．a>1，b<0 D．a>1，b>0 解析：选D.法一　由指数函数y＝ax(a>1)图象的性质知函数y＝ax(a>1)的图象过第一、二象限，且恒过点(0，1)，而函数y＝ax－(b＋1)的图象是由y＝ax的图象向下平移(b＋1)个单位长度得到的，如图，若函数y＝ax－(b＋1)的图象过第一、三、四象限，则a>1且b＋1>1，从而a>1且b>0.故选D. 法二　由函数是增函数知a>1，又x＝0时，f(0)<0知b>0.选D. 【母题探究】　若将本题中的函数解析式不变，改为函数图象不经过第二象限，则a，b满足的条件是________． 解析：函数图象不经过第二象限，则a>1且f(0)≤0，即1－(b＋1)≤0.所以b≥0. 答案：a>1，b≥0 [总结] 　根据指数函数图象特征，确定指数型函数y＝ax＋b＋c(a>0且a≠1)中的参数，可借助图象的升、降确定a的范围，利用函数图象与y轴的交点确定c的范围，也可利用图象的平移变化确定c的范围． 【练一练】 4．已知函数f(x)＝＋b，且函数图象不经过第一象限，则b的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．(－∞，－2) 解析：选C.因为函数f(x)＝＋b为减函数，且图象不经过第一象限， 所以f(0)＝2＋b≤0，即b≤－2，故选C. [课后分层练(二十九)]　指数函数的图象和性质（一） （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为 (　　) 解析：选C.∵1>n>m>0，∴①②均为减函数，排除A、B，作x＝1的直线，因为n>m，所以自上向下先与②相交，再与①相交，故选C. 2．(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　) 解析：选CD.当a>1时，∈(0，1)，因此x＝0时，0<y＝1－<1，且y＝ax－在R上单调递增，故C符合；当0<a<1时，>1，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合． 3．(多选)若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．b>0 D．b<0 解析：选AD.因为函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a>1.当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0.故选A、D. 4．函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于(　　) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝－x对称 解析：选C.设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于y轴对称． 5．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________． 解析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3，4). 答案：(3，4) 6．函数f(x)＝＋m(a>1)恒过定点(1，10)，则m＝________． 解析：当x＝1时，x2＋2x－3＝0， 故a0＋m＝10，所以m＝9. 答案：9 7．设f(x)＝3x，g(x)＝. (1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象； (2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ 解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示： (2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3； f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π； f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． 【能力提升题组】 8．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 解析：选B.f(x)＝＝ 由指数函数的图象知B正确． 9.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) 解析：选A.由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，排除选项C，D；又因为函数图象过点(0，1＋b)(1＋b<0)，故选A. 10．已知实数a，b满足等式＝，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有________个． 解析：作y＝与y＝的图象(图略). 当a＝b＝0时，＝＝1； 当a<b<0时，可以使＝； 当a>b>0时，也可以使＝. 故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④. 答案：2 11．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值； (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围； (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围． 解：(1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)， 所以 又因为a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. (2)f(x)单调递减，所以0<a<1， 又f(0)<0.即a0＋b<0，所以b<－1. 故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(－∞，－1). (3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}． 第三课时　指数函数的图象和性质(二) ► 对应学生用书P106 题型一　指数函数性质 角度1　比较大小 例1. (苏教版必修一P136例1改编)比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1). 解：(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为函数y＝0.6x在R上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. [总结] 　指数幂大小比较问题的三种类型及解法 (1)对于底数相同、指数不同的两个幂，可以利用指数函数的单调性来判断大小； (2)对于底数不同、指数相同的两个幂，可以利用函数图象的变化规律来判断大小； (3)对于底数不同、指数也不同的两个幂，则可通过中间值(特别是0，1)来比较大小． 角度2　指数不等式的解法 例2.(1) (苏教版必修一P138T6改编)解不等式≤2； (2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围． 解：(1) ， 所以原不等式等价于≤21. 因为y＝2x是R上的增函数， 所以2－x2≤1. 所以x2≥1， 即x≥1或x≤－1. 所以原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}． (2)因为a2＋a＋2＝＋>1， 所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数， 所以x>1－x， 解得x>， 所以x的取值范围是. [总结] 　指数不等式的两种类型及解法 (1)形如ax>ab的不等式，借助函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解． 角度3　形如y＝af(x)(a>0且a≠1)型函数单调性 例3.函数f(x)＝的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由x2－x－1≥0，得x≤或x≥. 函数t＝x2－x－1在上为减函数，在上为增函数，而函数y＝在t∈[0，＋∞)上是减函数， 所以函数f(x)＝的单调递增区间为.故选A. [总结] 　(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 角度4　指数型函数的定义域、值域 例4.求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝4x＋2x＋1＋3. 解：(1)由x－4≠0，得x≠4， 所以函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). 因为x－4≠0，即≠0， 所以2≠1. 故函数的值域为(0，1)∪(1，＋∞). (2)显然定义域为R. 因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，且y＝在R上为减函数， 所以≥＝. 故函数y＝的值域为. (3)由32x－1－≥0，得32x－1≥＝3－2. 因为y＝32x－1在R上为增函数， 所以2x－1≥－2，解得x≥－. 故函数的定义域为. 由上可知32x－1－≥0， 所以y≥0. 即函数的值域为[0，＋∞). (4)显然定义域为R. 由题意，得y＝4x＋2x＋1＋3＝(2x＋1)2＋2， 由于2x>0， 所以(2x＋1)2>1， 所以y＝4x＋2x＋1＋3的值域是(3，＋∞). [总结] 　(1)对于y＝af(x)这类函数： ①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围． ②值域问题，应分以下两步求解： a．由定义域求出u＝f(x)的值域； b．利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域． (2)利用指数函数y＝ax的定义域和值域求变异或复合后的函数的定义域与值域时的方法如下： 由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域． (3)形如f(x)＝k·a2x＋m·ax＋t(a>0且a≠1，k，m≠0)型函数的值域，常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题． 角度5　指数函数的最值问题 例5.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1). (1)若f(1)＋f(－1)＝，求f(2)＋f(－2)的值； (2)若函数f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的差为，求实数a的值． 解：(1)因为f(x)＝ax，f(1)＋f(－1)＝， 所以f(1)＋f(－1)＝a＋＝，解得a＝2或， 当a＝2时，f(x)＝2x，f(2)＋f(－2)＝22＋2－2＝， 当a＝时，f(x)＝，f(2)＋f(－2)＝＋＝，故f(2)＋f(－2)＝. (2)当a>1时，f(x)＝ax在[－1，1]上单调递增， 所以f(x)max－f(x)min＝f(1)－f(－1)＝a－a－1＝，化简得3a2－8a－3＝0， 解得a＝－(舍去)或a＝3. 当0<a<1时，f(x)＝ax在[－1，1]上单调递减， 所以f(x)max－f(x)min＝f(－1)－f(1)＝a－1－a＝，化简得3a2＋8a－3＝0. 解得a＝－3(舍去)或a＝. 综上，实数a的值为3或. [总结] 　(1)指数函数y＝ax(a>1)为单调递增函数，在闭区间[m，n]上存在最大值和最小值，并且当x＝m时取得最小值am，当x＝n时取得最大值an. (2)指数函数y＝ax(0<a<1)为单调递减函数，在闭区间[m，n]上存在最大值和最小值，并且当x＝n时取得最小值an，当x＝m时取得最大值am. (3)对于函数y＝af(x)，x∈D，其最值由底数a和f(x)的值域确定． 【练一练】 1．下列关系中正确的是(　　) 解析：选D.因为y＝是单调递减函数，<，所以，因为幂函数在(0，＋∞)上单调递增，且<，所以，故选D. 2．已知>91－x，则x的取值范围是________. 解析：>91－x，得3－(3x＋1)>32(1－x)，即－(3x＋1)>2(1－x)，所以x<－3. 答案：(－∞，－3) 3．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间是________，值域是________. 解析：因为函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间，即y＝x2－2x的增区间． 因为y＝x2－2x的增区间为[1，＋∞)，故f(x)的增区间为[1，＋∞). 因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，故f(x)≥2－1＝，故函数f(x)的值域为[，＋∞). 答案：[1，＋∞)　 4．函数y＝－－1在x∈[0，＋∞)上的值域为________． 解析：令t＝，则y＝t2－t－1， 由x∈[0，＋∞)，t∈(0，1]. 因为y＝t2－t－1＝－， 则t＝时，ymin＝－，t＝1时，ymax＝－1， 所以函数y＝－－1在x∈[0，＋∞)上的值域为. 答案：. 5．求下列函数的值域． (1)y＝；(2)y＝. 解：(1)因为y＝， 所以2x＝>0. 所以<0. 所以－1<y<1. 所以函数值域为(－1，1). (2)因为y＝＝≤＝. (当且仅当2x＝，即x＝时取等号) 所以0<y≤. 所以函数的值域为(0，]. 6．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值． 解：①若a>1，则f(x)在[1，2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a. 所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去). ②若0<a<1，则f(x)在[1，2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2. 所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去). 综上所述，a的值为或. 题型二　指数(型)函数的奇偶性 例6.已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)是定义在R上的奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断f(x)在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明． 解：(1)因为函数f(x)＝(a>0，a≠1)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝＝0，可得a＝2. (2)函数f(x)＝在定义域R上是增函数． 证明：任取x1，x2∈R且x1<x2. f(x1)－f(x2)＝－ 因为x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． [总结] 　判定指数(型)函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)正确利用变形技巧：分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0来判定． (3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定． 【练一练】 7．已知函数f(x)＝x2·是R上的奇函数，则实数a等于(　　) A．－ B． C．－1 D．1 解析：选A.根据题意，函数f(x)＝x2·是R上的奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，即(－x)2＝－x2·， 整理可得a＋＝－，则有2a＝－1，即a＝－.故选A. 题型三　指数函数图象的应用 例7.已知函数y＝2|x＋2|. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． 解：(1)∵y＝ ∴y＝2x＋2(x≥－2)的图象可由y＝2x的图象向左平移2个单位，再截取x≥－2的部分得到．y＝(x<－2)的图象可由y＝的图象向左平移2个单位，再截取x<－2的部分得到．∴函数y＝2|x＋2|的图象如图所示． (2)由图象可知其单调递增区间为[－2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－2]. [总结] 　作函数图象的方法一般有：一是列表、描点、连线法作图象；二是利用已知函数图象作平移、对称等变换得到函数图象．只要能作出函数的图象，便可由图象确定出函数的单调性、最值、值域、奇偶性等性质． 【练一练】 8．画出下列函数的图象并根据图象求单调区间： (1)y＝|2x－2|； (2)y＝2－|x|. 解：(1)y＝|2x－2|＝的图象如图所示． 由图象可得函数y＝|2x－2|的递增区间为[1，＋∞)，递减区间为(－∞，1]. (2)y＝2－|x|＝的图象如图所示． 由图象可得函数y＝2－|x|的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞). 题型四　指数型函数的实际应用 例8.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出x年后该城市的人口总数y(万人)与年数x的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人). (参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127) 解：(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3； … x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人). [总结] 解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论． 【练一练】 9．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因．交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车．(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.设n个小时后才可以驾车， 由题得方程0.8(1－50%)n＝0.2， 0．5n＝，n＝2， 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车． 10．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%. (1)写出产量y随年数x变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p. 解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x， 定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}． (2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100. [课后分层练(三十)]　指数函数的图象和性质（二） （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．(2025·苏州高一上期末)已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|2 (1)<2x<2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2} 解析：选A.因为A＝{0，1，2}，B＝{x|2 (1)<2x<2}＝{x|－1<x<1}，故A∩B＝{0}． 2．函数y＝的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，1) 解析：选A.由已知得，f(x)的定义域为R， 设u＝1－x，y＝. 因为u＝1－x在R上为减函数， 又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数，所以选A. 3．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞成立的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0.1) D．(1，＋∞) 解析：选D.定义域为R，f(0)＝0，解得a＝1，由f(x)>即>，解得x>1. 4．已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，2) D．(1，＋∞) 解析：选A.根据题意可知函数在R上单调递增，因此可知2－a>0，a>1，2－a＋1≤a，解得实数a的范围是，故选A. 5．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝_____． 解析：∵f(x)是奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)， 即＋a＝－，∴a＝. 答案： 6．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，≥0对x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立， ∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0. 答案：[－1，0] 7．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为______，值域为______． 解析：令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0， ∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)， 令t＝－1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增， 又y＝为减函数，故f(x)的增区间为(－∞，0]. ∵t＝－1≥－1， ∴∈(0，2]. 故f(x)的值域为(0，2]. 答案：(－∞，0]　(0，2] 8．已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝在R上是减函数，所以f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞). (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 9．函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R上的奇函数． (1)求k的值； (2)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集； (3)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m. 解：(1)因为f(x)是定义域为R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 所以k－1＝0， 所以k＝1，经检验k＝1符合题意． (2)因为f(1)>0， 所以a－>0， 又a>0且a≠1， 所以a>1. 易知在R上单调递增，原不等式化为f(x2＋2x)>f(4－x)， 所以x2＋2x>4－x， 即x2＋3x－4>0， 所以x>1或x<－4. 所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}． (3)因为f(1)＝， 所以a－＝， 即2a2－3a－2＝0，解得a＝2或a＝－(舍去). 所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2. 令t＝f(x)＝2x－2－x， 因为x≥1，所以t≥f(1)＝， 所以g(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2. 当m≥，t＝m时，g(t)min＝2－m2＝－2， 所以m＝2； 当m<，t＝时，g(t)min＝－3m＝－2， 解得m＝>，舍去． 综上可知m＝2. 【能力提升题组】 10．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3) 解析：选AD.由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以A、D正确． 11．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：选B.a＝30.2∈(1，3)，b＝0.2－3＝＝53＝125， c＝(－3)0.2＝(－3)<0，所以b>a>c. 12．若关于x的不等式a2x≥a3－x(0<a<1)的解集为A，则函数y＝3x＋1，x∈A的最大值为(　　) A.1 B．3 C．6 D．9 解析：选D.因为0<a<1，且a2x≥a3－x， 所以2x≤3－x，解得x≤1. 所以A＝{x|x≤1}． 又函数y＝3x＋1，x∈A为增函数， 所以当x＝1时，y＝3x＋1取得最大值9.故选D. 13．已知指数函数f(x)＝(2a－1)x，若f(－3)>f(－2)，则实数a的取值范围是______；若f(－3)<f(－2)，则实数a的取值范围是________． 解析：∵指数函数f(x)＝(2a－1)x，若f(－3)>f(－2)， ∴函数f(x)单调递减，∴0<2a－1<1，解得<a<1，同理，若f(－3)<f(－2)，则2a－1>1，解得a>1. 答案：　(1，＋∞) 14．设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，则该函数的最大值为______，最小值为______． 解析：令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4. 则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5. 配方得y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]， ∴y＝(t－3)2＋在t∈[1，3]上单调递减；在t∈[3，4]上单调递增， ∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝. 故函数的最大值为，最小值为. 答案：　 15．设函数f(x)＝＋(e为无理数，且e＝2.718 28…)是R上的偶函数且a>0. (1)求a的值； (2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－1)＝f(1)，∴＋＝＋， 即－＝－ae. ∴＝e， ∴－a＝0，∴a2＝1， 又a>0，∴a＝1. (2)f(x)＝ex＋e－x.设x1，x2>0，且x1<x2， ∵x1，x2>0，x1<x2， ∴，即f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 16．定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 解：法一　f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0， 因为f(x)的定义域为[－1，1]， 所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1]内有解， 令t＝2x，则t∈，故－2m＝t＋， 设g(t)＝t＋，则在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t∈时，g(t)∈， 即－2m∈， 所以m∈. 法二　当f(x)＝2x＋m时，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0， 令t＝2x，则t∈，故关于t的二次方程t2＋2mt＋1＝0在上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”，设f(t)＝t2＋2mt＋1. ①当方程t2＋2mt＋1＝0在上只有一个解或有两个相同的解时， 需满足或f·f(2)≤0， 解得m＝－1或m＝－， 当m＝－时，方程在区间上有两个解，不符合，故m＝－1. ②当方程t2＋2mt＋1＝0在上有两个不相等实根时， 需满足⇒ 故－≤m<－1， 综上，m∈. 学科网（北京）股份有限公司 $