6.1 幂函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦幂函数核心知识点，系统梳理概念（形如y=x^α，强调系数为1、底数为自变量、指数为常数），五个基本幂函数（y=x,y=x²,y=x³,y=x^(1/2),y=x⁻¹）的图象与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性），及判断、比较大小、综合应用等题型，构建完整学习支架。 资料结合新课标要求，通过五个幂函数图象对比实例培养数学眼光，分层题型（基点小试到能力提升）提升数学思维（推理、运算），微点拨总结要点。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

6．1　幂函数 ► 对应学生用书P98 [课程标准]　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律． 2．了解幂函数． 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 微点拨：　对幂函数y＝xα概念的理解 (1)xα的系数为1. (2)xα的底数是自变量． (3)xα的指数为常数．只有同时满足这三个条件，才是幂函数，对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 微点拨：如图： 在第一象限内，幂函数y＝xα在直线x＝1右侧的图象，自上而下指数α的值依次减小． 三、五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增， 在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 微点拨：一般幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1). (2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 【基点小试】 1．下列所给的函数中是幂函数的为(　　) A．y＝2x5 B．y＝x3＋1 C．y＝x－3 D．y＝3x 解析：选C.由幂函数的定义知C正确． 2．若幂函数y＝xa，y＝xb在同一坐标系中的部分图象如图所示，则a、b的大小关系正确的是(　　) A．a>1>b B．b>1>a C．0>a>b D．0>b>a 解析：选A.y＝xa和y＝xb在上单调递增，所以a>0，b>0， 当x>1时，y＝xa图象在y＝x上方，所以a>1， 当x>1时，y＝xb图象在y＝x下方，所以b<1， 所以a>1>b. 3．幂函数是奇函数，且在(0，＋∞)是减函数，则整数a的值是(　　) A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 解析：选B.由于幂函数是奇函数，且在(0，＋∞)是减函数， 故a2－2a－3<0，且a2－2a－3是奇数，且a是整数， ∴－1<a<3，a∈Z， 当a＝0时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 当a＝1时，a2－2a－3＝－4，不是奇数； 当a＝2时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 故a＝0或2. 4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，则f(4)＝______． 解析：由f(2)＝可知2α＝，即α＝－，所以f(4)＝4－＝. 答案： 5．给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1，1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点． 其中说法正确的有________(填序号). 解析：根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误． 答案：① 题型一　幂函数的概念 例1.(1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x， ④y＝2，⑤y＝2x2，⑥y＝x－中，是幂函数的是(　　) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 解析：选C.幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数． (2)已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域． 解：∵为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}． [总结] 　幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1. (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 【练一练】 1．(2025·丹阳高一上期末)已知幂函数f(x)＝(m－2)xn经过点(8，2)，则m＋n的值是________． 解析：因为幂函数f(x)＝(m－2)xn经过点(8，2)，所以解得所以m＋n＝. 答案：. 2．若幂函数f(x)＝在区间上是减函数，则整数m＝________． 解析：因为幂函数f(x)＝在区间上是减函数， 所以m2－4m＋3<0，解得1<m<3， 因为m∈Z，所以m＝2. 答案：2 题型二　幂函数的图象及应用 例2.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x). 解：设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2. 在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得， (1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). [总结]　(1)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 【练一练】 3．在同一坐标系内，函数y＝xa和y＝ax－的图象可能是(　　) 解析：选C.由题意，若a>0时，函数y＝xa在(0，＋∞)递增，此时y＝ax－递增， 若a<0时，函数y＝xa在(0，＋∞)递减，y＝ax－递减， 所以当x>0时，y＝xa和y＝ax－单调性相同，故排除选项A，B， 选项D中：由y＝xa图象可知a<0，此时y＝ax－与y轴交点为， 所以交于y轴正半轴，可排除D. 4．下列四个图象中，函数y＝x的图象是(　　) 解析：选B.因为y＝x，即y＝x＝，所以x3≥0，解得x≥0，即函数的定义域为，故排除A、C、D，且函数在定义域上单调递增，故B正确． 题型三　比较幂值的大小 例3.(1)已知幂函数f(x)的图象过点，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则a的取值范围是________． 解析：设f(x)＝xα，则f＝＝－8，得α＝3，所以f(x)＝x3.容易判断f(x)是定义在R上的增函数，且为奇函数，所以由f≤－f，得f(a＋1)≤f(3－a)，得a＋1≤3－a，故a的取值范围是. 答案： (2)(苏教版必修一P132例2改编)比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与. 解：(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又>，∴>. (2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－，∴>. (3)∵函数y1＝x为(0，＋∞)上的增函数，又＞1，∴＞1＝1. 又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且＜1， ∴＜1＝1，∴＞. [总结]　比较幂值大小的两种基本方法 直接法 当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小 【练一练】 5．a＝1.2，b＝，c＝1.1的大小关系是(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 解析：选D.因为y＝x是增函数，所以1.2>>1.1，即a>b>c. 6．若(3－2m)＞(m＋1)，求实数m的取值范围． 解：因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m＜. 故实数m的取值范围为. 题型四　幂函数性质的综合应用 例4.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足<的a的取值范围． 解：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0， 解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1，2. 因为函数的图象关于y轴对称， 所以3m－9为偶数，故m＝1. 则原不等式可化为<. 因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， 所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a， 解得<a<或a<－1. 故a的取值范围是{a|a<－1或<a<}． [总结] 　解决幂函数的综合问题，应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等； (2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合、转化与化归思想等． 【练一练】 7．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象关于y轴对称，且f<f. (1)求m的值及函数f(x)的解析式； (2)若f<f，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，函数f(x)＝(m∈Z)的图象关于y轴对称，且f<f， 所以在区间(0，＋∞)为单调递增函数， 所以m2－4m<0，解得0<m<4， 由m∈Z，m＝1，2，3. 又函数f(x)＝的图象关于y轴对称，所以4m－m2为偶数，所以m＝2，所以f(x)＝x4. (2)因为函数f(x)＝x4图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)为单调递增函数， 所以不等式f<f，等价于|a＋2|<|1－2a|，解得a>3或a<－， 所以实数a的取值范围是∪(3，＋∞). [课后分层练(二十七)]　幂函数 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．若幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 解析：选C.由已知可得f＝3α＝＝3，解得α＝. 2．下列函数既是幂函数又是偶函数的是(　　) A．f(x)＝3x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝x－3 解析：选C.函数的图象都经过点(1，1)，排除A； f(x)＝与f(x)＝x－3不是偶函数，排除B，D. 3．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 解析：选B.y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作是由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，则y＝x－1的图象关于x轴对称的图象即为选项B. 4．已知幂函数f(x)＝x，若f<f(3－2a)，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为幂函数f(x)＝x是增函数，且定义域为， 由f<f得解得－1≤a<. 所以实数a的取值范围是 5．已知a∈，若幂函数f(x)＝bxa在上单调递减，则a＋b＝________． 解析：由题意得，b＝1，a＝－1，故a＋b＝0. 答案：0 6．已知幂函数f(x)的图象如图所示，则f(x)＝______．(写出一个正确结果即可) 解析：由幂函数图象知，函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，而函数f(x)的图象关于y轴对称，即幂函数f(x)是偶函数，则幂函数f(x)的幂指数为偶数，综上得：f(x)＝x－2. 答案：x－2(答案不唯一) 7．比较下列各组数的大小． (1)3－和3.2－； (2)和； (3)4.1和3.8－. 解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－＞3.2－. (2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞， 所以＞. (3)4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1，所以4.1＞3.8－. 【能力提升题组】 8．(多选)已知幂函数f(x)＝xα图象过点(4，2)，则下列命题中正确的有(　　) A．α＝ B．函数f(x)的定义域为(0，＋∞) C．函数f(x)为偶函数 D．若x>1，则f(x)>1 解析：选AD.∵幂函数f(x)＝xα图象过点(4，2)，∴4α＝2，即α＝， ∴f(x)＝x，故A正确； 又函数的定义域为[0，＋∞)，故B错误； 函数为非奇非偶函数，故C错误； 当x>1时，f(x)＝x>1，故D正确． 9．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件f>(x1>x2>0)的函数的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f() ＝； ②函数f(x)＝x2的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f()<； ③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f() <； ④函数f(x)＝的图象是上凸形曲线，故当x1>x2>0时，f()>； ⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f()<. 故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，f>. 10．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于________． 解析：∵幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称， ∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数， 由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3. 当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意； 当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意； 当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意． 综上所述，m＝－1，1，3. 答案：－1，1，3 11．已知幂函数f(x)＝ (－2<m<2，m∈Z)满足： (1)在区间上为增函数， (2)对任意的x∈R，都有f－f(x)＝0， 求同时满足(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的值域． 解：因为函数在上递增， 所以－m2－2m＋3>0，解得－3<m<1， 因为－2<m<2，m∈Z，所以，m＝－1，或m＝0. 又因为f＝f(x)，所以f(x)是偶函数， 所以－m2－2m＋3为偶数． 当m＝－1时，－m2－2m＋3＝4满足题意； 当m＝0时，－m2－2m＋3＝3不满足题意， 所以f(x)＝x4， 又因为f(x)＝x4在上递增． 所以f(x)min＝f＝0，f(x)max＝f＝256， 故函数的值域是. 学科网（北京）股份有限公司 $