5.4 函数的奇偶性-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“函数的奇偶性”核心知识点，系统梳理奇偶性的定义、几何意义及判断方法，衔接单调性形成知识网络，通过概念辨析、题型示例搭建从理解到应用的学习支架。 资料以“预习-探究-练习”分层设计，微点拨精准突破定义域对称等易错点，题型示例培养逻辑推理与转化思维，课后分层练习兼顾基础巩固与能力提升，助力教师高效授课，学生查漏补缺，发展数学思维与表达能力。

5.4　函数的奇偶性 [课程标准]　结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 第一课时　奇偶性的概念 ► 对应学生用书P89 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 微点拨：1.理解函数奇偶性的注意点 (1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则根据定义可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0，即奇函数的图象过原点． (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集． 2．常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 3.奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论． (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【基点小试】 1．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x(x∈[0，1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| 解析：选CD.利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B，故选CD. 2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 解析：选B.选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数． 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 解析：选C.∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1. 题型一　判断函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解：(1)函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R， 且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)， 因此函数f(x)是奇函数． (2)由得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1，1}，因为∀x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}． f(－x)＝ 即f(－x)＝ 于是有f(－x)＝－f(x). 所以f(x)为奇函数． [总结] 　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． (2)若F(x)＝则F(x)是偶函数；若F(x)＝则F(x)是奇函数． 【练一练】 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f＝x＋； (2)f＝. 解：(1)∵函数f的定义域为{x|x≠0}， f＝＋＝－＝－f， ∴f是奇函数． (2)∵函数f的定义域为{x|x≠0}，f＝＝＝－f， ∴f是奇函数． 题型二　奇偶函数的图象问题 例2.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合； (4)求出函数f(x)在R上的解析式． 解：(1)由题图及y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得左侧图象如下： (2)由(1)所得函数图象知：单调递增区间为(－1，1)，值域R. (3)由(1)所得函数图象知：使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞). (4)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(x)＝－f(－x). 当x>0时，－x<0，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋2(－x)]＝－x2＋2x. 综上，f(x)＝ [总结] 　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． 【练一练】 2．6．(2025·苏州高一上期末)函数y＝f(x)的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为(　　 ) A．y＝f(－x)＋1 B．y＝f(－x＋1) C．y＝－f(x＋1) D．y＝－f(－x－1) 解析：选D.先将函数y＝f(x)的图象关于原点对称，可得出函数y＝－f(－x)的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移1个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为y＝－f(－(x＋1))＝－f(－x－1). 3．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________． 解析：由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3).又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3).综上可知不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3). 答案：[－6，－3)∪(0，3) 题型三　利用函数的奇偶性求值 例3.(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝______，b＝________． 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝. 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. 答案：　0 (2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　) A．21 B．－21 C．26 D．－26 解析：选B.设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数， 由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5， 求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数， 所以g(3)＝－g(－3)＝－13， 于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21. [总结] 　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用特定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 【练一练】 4．已知函数f＝x3＋ax＋b为奇函数，则b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选B.因为f＝x3＋ax＋b为奇函数，且f的定义域为R. 所以f＝0，所以b＝0，经检验符合题意． 5．已知函数f(x)＝x3＋x＋1，f＝7，则f＝(　　) A．2 B．0 C．－5 D．－6 解析：选C.由f＝a3＋a＋1＝7，得a3＋a＝6， 所以f＝－a3－a＋1＝－＋1＝－6＋1＝－5. 6．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________． 解析：当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1. 答案：－1　1 [课后分层练(二十五)]　奇偶性的概念 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．给定函数：①y＝x3；②y＝x2－1；③y＝x－；④y＝x.其中奇函数是(　　) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 解析：选D.①令f＝x3，f＝－x3＝－f，f为奇函数． ②令f＝x2－1，f＝x2－1＝f，f为偶函数． ③令f＝x－，f的定义域为，f＝－x＋＝－f，f为奇函数． ④令f＝x，f＝－x＝－x≠±f，所以f为非奇非偶函数． 所以奇函数是①③. 2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选B.∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x). 又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数． 3．设f是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f＝2x2－x，则f等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：选A.∵f是奇函数，当x≤0时，f＝2x2－x， ∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3. 4．函数f(x)＝的图象关于(　　) A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．y＝x对称 解析：选C.由f(x)＝，则解得－3≤x≤3且x≠0，所以函数的定义域为[－3，0)∪(0，3]，关于原点对称，f(－x)＝＝－＝－f(x)，故函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称． 5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋x2＋1，则f(－2)＝________． 解析：根据题意，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋x2＋1，则f(2)＝8＋4＋1＝13， 又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－13. 答案：－13 6．奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则f(2)与f(4)的大小关系为______． 解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，由函数图象可知f(－2)＜f(－4)，所以－f(－2)＞－f(－4)，即f(2)＞f(4). 答案：f(2)＞f(4) 7．判断下列函数的奇偶性： (1)f＝2x2＋； (2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|； (3)f(x)＝ 解：(1)∵函数f的定义域为R， f＝2＋＝2x2＋＝f， ∴f是偶函数． (2)奇函数．定义域为R. 因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (3)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数． 【能力提升题组】 8．(多选)下列四个选项中不正确的是(　　) A．偶函数的图象一定与y轴相交 B．奇函数的图象在[a，b]，[－b，－a]上的单调性一定相同 C．偶函数的图象关于y轴对称 D．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过(－a，f(a)) 解析：选AD.偶函数的图象一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，例如，函数f(x)＝x0，其定义域为{x|x≠0}，故其图象与y轴不相交，但f(x)＝x0＝1(x≠0)是偶函数，从而可知A是错误的，C是正确的． 奇函数的图象关于原点对称，若在[a，b]内单调递增(单调递减)，则在[－b，－a]内也为单调递增(单调递减)，故B正确．若点(a，f(a))在奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象上，则点(－a，－f(a))也在其图象上，故D是错误的． 9．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：选B.法一　f(x－1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项A不符合题意；f(x－1)＋1＝＋1＝，是奇函数，故选项B符合题意；f(x＋1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项C不符合题意；f(x＋1)＋1＝＋1＝，不是奇函数，故选项D不符合题意．故选B. 法二　由f(x)＝＝＝－1＋，画出f(x)的图象(如图).由图可知，f(x)的图象关于点(－1，－1)对称，因而只需将f(x)的图象向右平移1个单位长度得函数y＝f(x－1)的图象，再将所得图象向上平移1个单位长度，即可得奇函数y＝f(x－1)＋1的图象．故选B. 10．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________． 解析：根据题意，f(x)＝＝1＋， 而h(x)＝是奇函数， 故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)] ＝2－f(a)＝2－＝. 答案： 11．已知函数f(x)＝ 是奇函数，且f(2)＝ . (1)求p，q的值； (2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性． 解：(1)由奇函数定义，得f(－x)＝－f(x)， 即 ＝－ . 所以－3x＋q＝－3x－q，所以2q＝0，所以q＝0. 又f(2)＝ ，所以 ＝ ， 解得p＝2，所以p＝2，q＝0. (2)f(x)＝ ＝ .设1<x1<x2，则Δx＝x1－x2<0， f(x1)－f(x2)＝ (x1＋ －x2－) ＝ ＝ (x1－x2)· . 因为1<x1<x2，所以x1x2>1， 所以 (x1－x2)· <0，即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数． 第二课时　奇偶性的应用　　　　　 ► 对应学生用书P92 函数的单调性与奇偶性 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 微点拨：偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【基点小试】 1．定义在[－3，3]上的偶函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图中曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则函数f(x)的单调递减区间是________． 解析：利用偶函数的图象关于y轴对称，作出其在[－3，0]上的图象后写出单调递减区间． 由于函数f(x)是[－3，3]上的偶函数，所以其图象如图所示．所以它的单调递减区间为[－1，0]和[1，3]. 答案：[－1，0]和[1，3] 2．若奇函数f(x)在区间[－4，－2]上的最大值为2，则f(x)在区间[2，4]上的最小值为________． 答案：－2 题型一　用奇偶性求解析式 例1.(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．－x2＋x B．x2＋x C．x2－x D．－x2－x 解析：选B.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时f(x)＝x2－x， 设x<0，则－x>0，f(x)＝f＝－＝x2＋x. (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x＋－4.求函数f(x)在R上的解析式． 解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0. 设x＜0，则－x＞0， 由x＞0时，f(x)＝x＋－4可知， f(－x)＝－x－－4， 又f(x)为奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝x＋＋4(x<0)， 所以函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝ [总结] 　利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间的函数解析式中． (3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x). 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 【练一练】 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2－x，则f(x)＝___________________. 解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(0)＝0； 当x>0时，f(x)＝－x2－x； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2＋x， 又f(－x)＝－f(x)，可得x＜0时，f(x)＝x2－x. 所以f(x)＝ 答案： 2．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，则函数f(x)的解析式为__________． 解析：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x). 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝. 答案： 题型二　利用函数的单调性与奇偶性比较大小 例2.函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)<f<f B．f<f(1)<f C．f<f<f(1) D．f<f(1)<f 解析：选B.∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f＝f，f＝f，又f(x)在[0，2]上单调递增， ∴f<f(1)<f， 即f<f(1)<f. [总结] 　比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上： (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【练一练】 3．已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则(　　) A．f<f<f B．f<f<f C．f<f<f D．f<f<f 解析：选D.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f＝f，f＝f， 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数， 所以函数f(x)在上是增函数， 因为2<3<4，∴f<f<f， ∴f<f<f(2). 题型三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式 例3.(1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围； (2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0， 得f(1－a2)<－f(1－a). ∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数， ∴－f(1－a)＝f(a－1)， ∴f(1－a2)<f(a－1). 又∵f(x)在[－1，1]上单调递减， ∴解得 ∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0，1). (2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|). ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|). ∴原不等式等价于解得－1≤m<. ∴实数m的取值范围是. [总结] 　利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 【练一练】 4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，f＝0，则不等式xf>0的解集为(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析：选B.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f＝f＝0， 因为函数f(x)在上单调递减，所以f(x)在上单调递增， 由xf>0可得 即可得0<x<1， 或即可得x<－3， 所以不等式xf>0的解集为(－∞，－3)∪(0，1). 5．已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝. (1)确定函数f(x)的解析式； (2)解关于x的不等式f＋f(x)<0. 解：(1)∵函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数， ∴f＝0，即＝0，∴b＝0， 又∵f＝，即＝，∴a＝1， ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝， 经检验符合题意． (2)由(1)知f(x)＝， 令－1<x1<x2<1，则f－f＝－＝＝， ∵－1<x1<x2<1；　∴x1－x2<0，x1x2>－1， ∴1＋x1x2>0，1－x>0，1－x>0， ∴f－f<0，即f<f， ∴f(x)在(－1，1)上是增函数， 又∵f(x)在(－1，1)上是奇函数， ∴f＋f(x)<0等价于f<－f(x)， 即f<f， ∴解得－1<x<－， ∴不等式f＋f(x)<0的解集为. 培优拓展系列(六)·函数奇偶性与对称性的结合 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．这一结论可以推广为：y＝f(a＋x)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称；y＝f(a＋x)是奇函数⇔f(a－x)＝－f(a＋x)⇔f(x)的图象关于点(a，0)对称． 例4. (多选)已知函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是(　　) A．若y＝f(x)为偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称 B．若y＝f(x＋2)为偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若f(x－2)＝f(2－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 D．若y＝f(x)为偶函数，则y＝f(x－2)和y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称 解析：选BD.y＝f(x)是偶函数，而f(x＋2)的图象是将f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的，因此函数y＝f(x＋2)的图象的对称轴为直线x＝－2，所以f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，故A不正确； y＝f(x＋2)为偶函数，则f(x＋2)＝f(2－x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确； 令x－2＝t，则2－x＝－t，得f(t)＝f(－t)，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，故C不正确； 因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，将f(x)与f(－x)的图象分别向右平移2个单位长度，得到f(x－2)与f(2－x)的图象，将f(x)与f(－x)的图象的对称轴向右平移2个单位长度为直线x＝2，故D正确． 【练一练】 6．(多选)已知y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x－1)＋1是偶函数 B．y＝f(－x＋1)－1是奇函数 C．y＝f(x＋1)＋1是偶函数 D．y＝f(x＋1)－1是奇函数 解析：选BD.∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2， ∴f(x)的图象关于点(1，1)对称， ∴y＝f(x－1)＋1的图象关于点(2，2)对称；y＝f(－x＋1)－1的图象关于点(0，0)对称，y＝f(－x＋1)－1是奇函数；y＝(x＋1)＋1的图象关于点(0，2)对称；y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)对称，y＝f(x＋1)－1是奇函数．故B，D正确． [课后分层练(二十六)]　奇偶性的应用 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．(2023·江苏常州高一期末)若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x3＋3x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2x3＋3x－1 B．f(x)＝2x3－3x－1 C．f(x)＝2x3－3x＋1 D．f(x)＝－2x3－3x＋1 解析：选A.∵函数f(x)是奇函数， ∴－f(x)＝f， ∵x>0时，f(x)＝2x3＋3x＋1， 设x<0时，则－x>0，∴f＝－2x3－3x＋1，∴f(x)＝2x3＋3x－1， 即x<0时，f(x)＝2x3＋3x－1. 2．(多选)已知奇函数f(x)在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上(　　) A．有最大值4 B．有最小值－4 C．有最大值3 D．有最小值－3 解析：选BC.f(x)是奇函数，因此f(x)在[－b，－a]上仍然是减函数，且值域为[－4，3]，最小值是－4，最大值是3. 3．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(2)<f<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f D．f(－1)<f<f(2) 解析：选B.∵f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2). 又f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<－<－1， ∴f(2)＝f(－2)<f<f(－1). 4．已知函数f(x)为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且f(－m－)<f，则实数m的取值范围是(　　) A． B．∪ C．∪ D．∪ 解析：选D.由题得1－a＝－4，∴a＝5. 因为在上单调递减，并且f(－m－1)<f(2)， 所以所以1<m≤3或－5≤m<－3. 5．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是______________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， 即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立， ∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2. ∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0). 答案：f(－2)<f(1)<f(0) 6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则f(－1)＝__________，函数f(x)的解析式是__________． 解析：由已知f(－1)＝－f＝－ ＝－2， 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[x2－2(－x)＋3]＝－x2－2x－3， 又f＝0， 所以f(x)＝ 答案：－2　f(x)＝ 7．已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝. (1)求a，b的值； (2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数； (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. 解：(1)因数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(0)＝0. 解得b＝0，即有f(x)＝，f＝＝＝，解得a＝1， 所以a＝1，b＝0. (2)由(1)知，f(x)＝， ∀x1，x2∈(－1，1)，x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－＝＝ 因－1<x1<x2<1，则x1－x2<0，1－x1x2>0，而(1＋x)(1＋x)>0，因此，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(－1，1)上是增函数． (3)由已知及(1)(2)得：f(t－1)＋f(t)<0⇔f(t－1)<f(－t)⇔－1<t－1<－t<1，解得0<t<， 所以不等式f(t－1)＋f(t)<0的解集为. 【能力提升题组】 8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意非负数x1，x2恒有>0，若对于任意m∈R，f≤f(m2－2m＋2)恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1] B．[－2，2] C．(0，2] D．[2，＋∞) 解析：选B.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以对任意m∈R，f≤f(m2－2m＋2)恒成立等价于对m∈R，f≤f恒成立， 又因为对于任意非负数x1，x2恒有>0， 所以f(x)在[0，＋∞)上递增， 所以对m∈R，<恒成立， 令t＝＝≥1， 则≤1，解得－2≤a≤2. 9．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则f(x)满足(　　) A．f(0)＝0 B．y＝f(x)是奇函数 C．f(x)在[m，n]上有最大值f(n) D．f(x－1)>0的解集为(－∞，1) 解析：选ABD.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝0得：f(0)＝f(0)＋f(0)，解得：f(0)＝0，A正确； 令y＝－x得：f(0)＝f(x)＋f(－x)，因为f(0)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝0， 故y＝f(x)是奇函数，B正确； 任取x1，x2∈R，且x1<x2，则令x＝x1，y＝－x2，代入得：f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)， 因为当x<0时，f(x)>0，而x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0， 故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，从而y＝f(x)在R上单调递减， f(x)在[m，n]上有最大值为f(m)，C错误； 由A选项得到f(x－1)>0＝f，而y＝f(x)在R上单调递减，故x－1<0，解得x<1，解集为(－∞，1)，D正确． 10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－2.则当x<0时，f(x)＝______，若f<f，则实数m的取值范围是______． 解析：因函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x－2， 则当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2， 所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2； 依题意，f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增， 则f<f⇔f<f⇔|m＋1|<|m－2|，解得m<， 所以实数m的取值范围是(－∞，). 答案：x2－x－2　(－∞，) 11．已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，y均有f＝f(x)f，且f＝－1，当0<x<1且f(x)∈. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)判断f(x)在上的单调性，并证明； (3)若对任意x1，x2∈，a∈，总有2≤m2－2am＋1恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)根据题意，令y＝－1，得f＝f(x)f，因为f＝－1，所以f＝－f(x)，故结合定义域可知，f(x)为奇函数． (2)f(x)在上单调递增． 证明：由题意，可知f＝f(x·x)＝f(x)·f(x)＝f2(x)≥0， 假设∃x∈，使得f(x)＝0，则f＝f(x)f＝0， 而当0<xy<1时，由题意知0<f<1，因此矛盾，故∀x∈，f(x)>0恒成立． 设∀x1，x2∈，且x1>x2，则0<<1， 因此f－f＝f－f(x1·)＝f－ff ＝f， 因为0<<1，且当0<x<1时，f(x)∈，所以1－f>0， 又因为f>0，所以f(x1)(1－f())>0，即f>f， 又因为x1>x2>0，所以f(x)在上单调递增． (3)根据题意，结合(1)(2)可知，f(x)在上单调递增， 因此f(x)max＝f＝－f＝1，f(x)min＝f＝－1， 故∀x1，x2∈，2|f(x1)－f(x2)|≤2|f(x)max－f(x)min|＝4， 因为∀x1，x2∈，2|f(x1)－f(x2)|≤m2－2am＋1恒成立， 所以4≤m2－2am＋1恒成立，即－2ma＋m2－3≥0恒成立， 令g＝－2ma＋m2－3，则∀a∈，g≥0恒成立， 故解得m≤－3或m≥3. 学科网（北京）股份有限公司 $