5.4 第2课时 奇偶性的应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性的应用，承接奇偶性定义与性质，通过定义法、方程组法求解析式，结合单调性比较大小、解不等式，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料按题型分类，每类配备“通性通法”提炼解题策略，母题探究通过变条件培养推理能力与创新意识。例题与练习题结合具体函数，助力学生用数学语言表达问题，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺。

第2课时　奇偶性的应用 　　 题型一　利用函数的奇偶性求解析式 角度1　定义法求函数解析式 （链接教科书第127页习题7题）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式. 解：设x＜0，则－x＞0， ∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1， 又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（－x）＝－f（x）＝x＋1， ∴当x＜0时，f（x）＝－x－1. 又x＝0时，f（0）＝0， ∴f（x）＝ 通性通法 　　如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）利用已知区间上的解析式进行代入； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）. 提醒：若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0，但若为偶函数，未必有f（0）＝0. 角度2　方程组法求函数解析式 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x），g（x）的解析式. 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）， 由f（x）＋g（x）＝， ① 用－x代替x， 得f（－x）＋g（－x）＝， ∴f（x）－g（x）＝， ② （①＋②）÷2，得f（x）＝； （①－②）÷2，得g（x）＝. 通性通法 　　已知函数f（x），g（x）的组合运算与奇偶性，把x换为－x，构造方程组求解. 1.已知函数f（x）＝为奇函数，则g（x）＝. 解析：因为函数f（x）＝为奇函数，所以f（0）＝g（0）＝0.设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1，所以f（x）＝g（x）＝－f（－x）＝－x2－1.综上可得g（x）＝ 2.已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2－x＋1，则g（3）＝　－3　. 解析：因为f（x）＋g（x）＝x2－x＋1，①.所以f（－x）＋g（－x）＝x2＋x＋1，由函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f（x）＝f（－x），g（x）＝－g（－x），所以f（x）－g（x）＝x2＋x＋1，②.则①－②可得：2g（x）＝－2x，所以g（x）＝－x，则g（3）＝－3. 题型二　利用函数的奇偶性与单调性比较大小 设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x总有f（－x）＝f（x），当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　） A.f（π）＞f（－3）＞f（－2） B.f（π）＞f（－2）＞f（－3） C.f（π）＜f（－3）＜f（－2） D.f（π）＜f（－2）＜f（－3） 解析：A　由偶函数与单调性的关系知，若当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（－∞，0]时，f（x）单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵｜－2｜＜｜－3｜＜π，∴f（π）＞f（－3）＞f（－2）. 通性通法 利用函数的奇偶性与单调性比较大小的解题策略 （1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 1.已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f（－0.5），f（－1），f（0）的大小关系是（　　） A.f（－0.5）＜f（0）＜f（－1） B.f（－1）＜f（－0.5）＜f（0） C.f（0）＜f（－0.5）＜f（－1） D.f（－1）＜f（0）＜f（－0.5） 解析：B　∵函数f（x）为奇函数，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，∴f（x）在R上是增函数，∴f（－1）＜f（－0.5）＜f（0）. 2.已知偶函数f（x）在[0，π]上单调递增，则下列关系式成立的是（　　） A.f（－π）＞f（－）＞f（2） B.f（2）＞f（－）＞f（－π） C.f（－π）＞f（2）＞f（－） D.f（－）＞f（2）＞f（－π） 解析：C　因为函数f（x）是偶函数，所以f（－π）＝f（π），f（－）＝f（），又因为f（x）在[0，π]上单调递增，π＞2＞，所以f（π）＞f（2）＞f（），即f（－π）＞f（2）＞f（－）. 题型三　利用函数的奇偶性与单调性解不等式 设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）在区间[－2，0]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围. 解：因为f（x）是奇函数且f（x）在[－2，0]上单调递减，所以f（x）在[－2，2]上是减函数. 所以不等式f（1－m）＜f（m）等价于 解得－1≤m＜. 所以实数m的取值范围为［－1，）. 【母题探究】 　（变条件）将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：因为定义在[－2，2]上的偶函数f（x）在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增， 原不等式可化为f（｜1－m｜）＜f（｜m｜）， 故可得即 解得＜m≤2. 故实数m的取值范围为. 通性通法 利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法 （1）利用图象解不等式； （2）转化为简单不等式求解：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式（组）求解. 提醒：列不等式（组）时不要忘掉函数定义域. 1.（2026·扬州质检）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（－2）＝3，则满足f（2x－3）＜3的x的取值范围是（　　） A.（－∞，）∪（，＋∞） B.（－∞，－）∪（－，＋∞） C.（，） D.（－，－） 解析：C　因为f（x）为偶函数，且f（－2）＝3，故f（2）＝f（－2）＝3，又因为f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以f（2x－3）＜3可化为f（｜2x－3｜）＜f（2），所以｜2x－3｜＜2，即－2＜2x－3＜2，得＜x＜，即x∈（，）.故选C. 2.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，且f（2）＝0，则满足xf（x）＜0的x的取值范围是（　　） A.（－∞，－2）∪（0，2） B.（－∞，－2）∪（2，＋∞） C.（－2，0）∪（0，2） D.（－2，0）∪（2，＋∞） 解析：C　∵f（x）为奇函数，∴f（－2）＝－f（2）＝0，且函数f（x）在y轴两侧单调性相同，∵f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，∴f（x）在区间（－∞，0）上单调递增，作出函数f（x）的简图，如图所示.①当x＞0，f（x）＜0，∴0＜x＜2；②当x＜0，f（x）＞0，∴－2＜x＜0.综上所述：x∈（－2，0）∪（0，2）.故选C. 1.已知奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，则（　　） A.f（1）＜f（2） B.f（1）＞f（2） C.f（1）＝f（2） D.以上都有可能 解析：A　∵f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴f（1）＜f（2）.故选A. 2.设偶函数f（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，则（　　） A.f （－）＜f（－1）＜f（2） B.f（2）＜f （－）＜f（－1） C.f（2）＜f（－1）＜f （－） D.f（－1）＜f （－）＜f（2） 解析：B　∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（2）＝f（－2）.又f（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1，∴f（2）＝f（－2）＜f （－）＜f（－1）.故选B. 3.（2026·扬州月考）已知奇函数f（x）在定义域[－2，2]上是减函数，则不等式f（a＋1）＋f（2a）＞0的解集是（　　） A.（－∞，－） B.（－，＋∞） C.（－，1］ D.［－1，－） 解析：D　因为函数f（x）为奇函数，所以f（a＋1）＋f（2a）＞0，即f（a＋1）＞－f（2a）＝f（－2a），由函数f（x）是定义在[－2，2]上的减函数，所以解得－1≤a＜－.故选D. 4.已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，且当x≤0时，f（x）＝2x－1，则函数f（x）的解析式是f（x）＝. 解析：设x＞0，则－x＜0.由于x≤0时，f（x）＝2x－1，所以f（－x）＝－2x－1.又f（x）是R上的偶函数，所以f（－x）＝f（x），所以f（x）＝－2x－1.故f（x）＝ 　　 1.（2026·东海期中）若函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x3－x2＋1，则当x＞0时，f（x）＝（　　） A.－x3＋x2－1 B.x3＋x2－1 C.x3－x2＋1 D.－x3－x2＋1 解析：B　因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x），当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝（－x）3－（－x）2＋1＝－f（x），所以f（x）＝x3＋x2－1.故选B. 2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），且f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则f（－3），f，f的大小顺序是（　　） A.f＜f（－3）＜f B.f（－3）＜f＜f C.f＜f（－3）＜f D.f＜f＜f（－3） 解析：C　依题意，f（－3）＝f（3），由f（x）在（0，＋∞）上单调递减，＜3＜，得f＜f（3）＜f，所以f＜f（－3）＜f.故选C. 3.〔一题多解〕已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）＝（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.3 解析：C　法一　用“－x”代替“x”，得f（－x）－g（－x）＝（－x）3＋（－x）2＋1，化简得f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f（1）＋g（1）＝1.故选C. 法二　令x＝－1，得f（－1）－g（－1）＝（－1）3＋（－1）2＋1＝1，因为f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），f（－1）－g（－1）＝f（1）＋g（1）＝1.故选C. 法三　由于f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，而f（x）－g（x）＝x3＋（x2＋1），因此f（x）＝x2＋1，g（x）＝－x3满足条件.于是f（1）＋g（1）＝（12＋1）＋（－13）＝1.故选C. 4.〔一题多解〕若奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），则f（x）在（0，＋∞）上有（　　） A.最大值－ B.最大值 C.最小值－ D.最小值 解析：B　法一　当x＜0时，f（x）＝x2＋x＝（x＋）2－，所以f（x）有最小值－，因为f（x）是奇函数，所以当x＞0时，f（x）有最大值. 法二　当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝－x（1－x）.又f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－）2＋，所以f（x）有最大值.故选B. 5.〔多选〕已知函数f（x）是偶函数，且在区间[0，5]上单调.若f（－4）＜f（－2），则下列不等式成立的是（　　） A.f（－1）＞f（3） B.f（2）＜f（3） C.f（－3）＜f（5） D.f（0）＞f（1） 解析：AD　由题意可得，函数f（x）在区间[－5，0]上也单调，再根据f（－4）＜f（－2），可得函数f（x）在区间[－5，0]上单调递增，所以函数f（x）在区间[0，5]上单调递减，故f（－1）＝f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），f（－3）＝f（3）＞f（5），f（0）＞f（1）.故选A、D. 6.〔多选〕已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2＋x＋a－2，则（　　） A.a＝2 B.f（2）＝2 C.f（x）是R上的增函数 D.f（－3）＝－12 解析：ACD　f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝a－2＝0，得a＝2，故A正确.f（2）＝4＋2＝6，故B错误.当x≥0时，f（x）＝x2＋x在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0]上单调递增，故f（x）是R上的增函数，故C正确.f（－3）＝－f（3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、C、D. 7.已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0.若f（x－1）＞0，则x的取值范围是（－1，3）. 解析：因为f（x）是偶函数，所以f（x－1）＝f（｜x－1｜）.又因为f（2）＝0，所以f（x－1）＞0可化为f（｜x－1｜）＞f（2）.又因为f（x）在[0，＋∞）上单调递减，所以｜x－1｜＜2，解得－2＜x－1＜2，所以－1＜x＜3. 8.已知函数f（x）为偶函数，且对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），都有＞0，则不等式f（2x－4）＜f（2）的解集为（1，3）. 解析：由任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），都有＞0，得f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又函数f（x）为偶函数，则f（2x－4）＜f（2）⇔f（｜2x－4｜）＜f（2），所以｜2x－4｜＜2，即｜x－2｜＜1，－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以不等式f（2x－4）＜f（2）的解集为（1，3）. 9.（2026·苏州期中）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x＋2，那么不等式2f（x）－1＜0的解集是（－∞，－）∪［0，）. 解析：当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－x＋2，因为f（x）是奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝x－2，又f（0）＝0，所以f（x）＝由2f（x）－1＜0得f（x）＜，当x＜0时，f（x）＝x＋2＜，解得x＜－；当x＞0时，f（x）＝x－2＜，解得0＜x＜；当x＝0时，f（0）＝0＜，符合题意.综上，x＜－或0≤x＜，故2f（x）－1＜0的解集是（－∞，－）∪［0，）. 10.（2026·灌南期中）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2＋x＋1. （1）求f（f（2））的值； （2）求f（x）在R上的解析式. 解：（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2＋x＋1， 则f（2）＝－22＋2＋1＝－1，故f（f（2））＝f（－1）＝－f（1）＝－（－12＋1＋1）＝－1. （2）当x＜0时，－x＞0，则f（x）＝－f（－x）＝－[－（－x）2－x＋1]＝x2＋x－1， 由于函数f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝0， 因此f（x）＝ 11.若函数y＝f（x）是奇函数，且函数F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，则函数y＝F（x）在（－∞，0）上有（　　） A.最大值－8 B.最小值－8 C.最小值－6 D.最小值－4 解析：D　∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数，∴T（x）＝af（x）＋bx也为奇函数.又∵F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，∴T（x）＝af（x）＋bx在（0，＋∞）上有最大值6，∴T（x）＝af（x）＋bx在（－∞，0）上有最小值－6，∴F（x）＝af（x）＋bx＋2在（－∞，0）上有最小值－4. 12.〔多选〕函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（　　） A.f（0）＝0 B.若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，则f（x）在（－∞，0]上有最大值1 C.若f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，－1]上单调递减 D.若x＞0，f（x）＝x2－2x，则x＜0，f（x）＝－x2＋2x 解析：AB　选项A，因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，A正确；选项B，在[0，＋∞）上，f（x）≥－1，且存在x0∈[0，＋∞），使得f（x0）＝－1，则当x≤0时，f（－x）≥－1，f（x）＝－f（－x）≤1，f（－x0）＝－f（x0）＝1，即f（x）在（－∞，0]上有最大值1，B正确；选项C，设x1＜x2≤－1，则－x1＞－x2≥1，由已知得f（－x1）＞f（－x2），即－f（x1）＞－f（x2），所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－∞，－1]上单调递增，C错误；选项D，设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，则f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x，D错误.故选A、B. 13.若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝　－2x2＋4　. 解析：∵f（x）＝（x＋a）·（bx＋2a）＝bx2＋（2a＋ab）x＋2a2是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.若a＝0，则函数为f（x）＝bx2，当b为正数时，值域为[0，＋∞），不符合题意；当b为负数时，值域为（－∞，0]，不符合题意；当b＝0时，值域为{0}，不符合题意.若b＝－2，则函数为f（x）＝－2x2＋2a2.又∵值域为（－∞，4]，∴2a2＝4，∴f（x）＝－2x2＋4. 14.已知函数f（2x＋1）＝｜2x＋4｜－｜2x－2｜. （1）证明：f（x）是奇函数； （2）若不等式f（a2－5a－3）＋f（4a－17）＜0成立，求实数a的取值范围. 解：（1）证明：令2x＋1＝t，则f（t）＝｜t＋3｜－｜t－3｜，所以f（x）＝｜x＋3｜－｜x－3｜. f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝｜－x＋3｜－｜－x－3｜＝｜x－3｜－｜x＋3｜＝－f（x），所以f（x）是奇函数. （2）因为不等式f（a2－5a－3）＋f（4a－17）＜0，且f（x）是奇函数，所以f（a2－5a－3）＜f（17－4a）. f（x）＝｜x＋3｜－｜x－3｜＝ 作出f（x）的图象，如图所示. ①当a2－5a－3≤－3，即0≤a≤5时，则有17－4a＞－3，解得a＜5，所以0≤a＜5； ②当－3＜a2－5a－3＜3，即－1＜a＜0或5＜a＜6时，则有a2－5a－3＜17－4a，解得－4＜a＜5， 所以－1＜a＜0； ③当a2－5a－3≥3，即a≤－1或a≥6时，不成立. 综上，实数a的取值范围是（－1，5）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $