5.3 函数的单调性-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦函数的单调性与最值核心知识点，系统梳理增（减）函数定义、等价形式及单调区间判定，衔接最值的定义、求法（图象法、单调性法、二次函数最值）及实际应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过“微点拨”“微思考”深化概念本质，结合函数图象培养几何直观（数学眼光），定义证明环节强化逻辑推理（数学思维），分层例题与课后练习覆盖基础巩固到能力提升，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

5．3　函数的单调性 [课程标准]　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性．　2.理解单调性的作用和实际意义．　3.借助函数图象，会用符号语言表达的最大值、最小值．　4.理解函数的最大值、最小值的作用和实际意义． 第一课时　 单调性 ► 对应学生用书P80 一、增函数与减函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A. (1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上单调递增，I称为y＝f(x)的增区间． (2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上单调递减，I称为y＝f(x)的减区间． 微点拨：(1)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：①属于同一个区间D；②任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；③区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. (2)单调性的等价形式 ①若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上单调递增． ②若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0或<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，即x2>x1时，f(x2)<f(x1)，所以f(x)在D上单调递减． 二、函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y＝f(x)在区间I具有单调性.增区间减区间统称为单调区间． 微思考：函数y＝在，上都单调递减，那么函数y＝在定义域上是减函数吗？函数的单调递减区间怎样表示？ 提示：函数y＝在定义域上不具有单调性；函数的单调递减区间为和. 微点拨：常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y＝ ax＋b(a≠0) a>0时，在R上单调递增；a<0时，在R上单调递减 反比例函数 y＝(a≠0) a>0时，单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0时，单调增区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 二次函数y＝ a(x－m)2＋n(a≠0) a>0时，单调减区间是(－∞，m]，单调增区间是(m，＋∞)；a<0时，单调减区间是[m，＋∞)，单调增区间是(－∞，m) 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1，2]上单调递增．(　　) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1).(　　) (3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1，3)上单调递增．(　　) (4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　　) (5)若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝－f(x)在区间D上单调递减．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) 解析：选B.由单调性定义知只有B选项是单调函数． 3．已知函数f(x)＝kx＋b，当k＞0时，f(x)在R上为________函数；当k＜0时，f(x)在R上为________函数．(填“增”或“减”) 答案：增　减 4．(苏教版必修一P111例1改编)(1)函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是________． (2)函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________． 答案：(1)　(2)(－∞，－1] 题型一　利用图象求函数的单调区间 例1.已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R. (1)将函数写成分段函数的形式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象写出它的单调区间． 解：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝ (2)作出函数图象如图． (3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2). [总结]　求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间． 【练一练】 1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 解析：选ABD.根据图象上升和下降分别对应增区间和减区间知ABD正确． 2．求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调区间． 解：因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞). f(x)在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数． 题型二　函数的单调性判断与证明 例2.证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数． 证明：设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). ＝. ∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0，0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0， ∴>0， 即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数． [总结] 　利用定义证明函数单调性的步骤 注意：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式． 【练一练】 3．试用函数单调性的定义证明：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 证明：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝－＝＝. ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数． 对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝. ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，xx>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数． 题型三　函数单调性的应用 角度1　比较大小 例3.已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则(　　) A．f＞f(a2－a＋1) B．f＜f(a2－a＋1) C．f≥f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1) 解析：选C.∵a2－a＋1＝＋≥.又函数y＝f(x)在[0，＋∞)是减函数， ∴f(a2－a＋1)≤f.故选C. [总结] 　(1)若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a<b. (2)利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． 角度2　解不等式 例4.f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取值范围是(　　) A．m＞0 B．0＜m＜ C．－1＜m＜3 D．－＜m＜ 解析：选B.由题意知解得0<m<.故选B. [总结] 　利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内． 角度3　利用函数的单调性求参数的取值范围 例5.若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得－(a＋1)≥3，即a≤－4，所以a的取值范围是(－∞，－4]. 答案：(－∞，－4] 【母题探究】　(变条件)若本例的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围． 解：由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2. 所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞). [总结] 　“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义． 【练一练】 4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系式正确的是(　　) A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1) C．f(2)＜f(1)＜f(－1) D．f(1)＜f(－1)＜f(2) 解析：选C.因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(－∞，2]上单调递减，因为2>1>－1，所以f(2)<f(1)<f(－1).故选C. 5．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(0，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪ 解析：选C.因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.故选C. 6．已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________． 解析：f(x)＝|2x－a|＝ 所以f(x)＝|2x－a|的单调递减区间是，单调递增区间是， 若函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则＝3，解得a＝6. 答案：6 7．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是____________． 解析：依题意得实数a满足 解得0<a≤2. 答案：(0，2] 培优拓展系列(五)·抽象函数单调性判断 抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给的条件，判断出函数值之间的关系．常见思路是： 先在所证区间上设出任意x1，x2(x1<x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题． 注意：若给出的是和型(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时的常用的变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 若给出的是积型(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的常用变形为f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－(x2·). 例6.设(x)是定义在R上的函数，对任意m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1. (1)求证f(0)＝1； (2)求证当x∈R时，恒有f(x)>0； (3)求证f(x)在R上是减函数． [思路点拨]　(1)可通过赋值求f(0)；(2)可通过f(0)＝f(x＋(－x))＝f(x)f(－x)证明f(x)>0；(3)利用定义可证明函数的单调性． 解：(1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)， ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知当x>0时，0<f(x)<1， 当x＝0时，f(0)＝1>0， 当x<0时，－x>0，0<f(－x)<1. ∵f(x＋(－x))＝f(x)f(－x)， ∴f(x)f(－x)＝1. ∴f(x)＝>0.故当x∈R时，恒有f(x)>0. (3)设x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)＝f(x1)f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[(f(x2－x1)－1)]. 由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1，∴f(x2－x1)－1<0， ∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在R上是减函数． 【练一练】 8．(2023·四川绵阳期中)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性． 解：令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1， ∵当x>1时，f(x)<0，∴f()<0，即f(x1)－f(x2)<0， 因此f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． [课后分层练(二十三)]　单调性 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 解析：选D.由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定． 2．(多选)下列说法中，正确的有(　　) A．若任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数f(x)＝在定义域上是减函数 D．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：选AC.当x1<x2时，x1－x2<0， 由>0知f(x1)－f(x2)<0， ∴f(x1)<f(x2)，A正确； 作出函数f(x)＝的图象可知其在定义域上是减函数， 所以C正确；B和D错误． 3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　) A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3 解析：选C.函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C. 4．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，则－1<f(x)<1的解集是(　　) A.(－3，0) B．(0，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选B.由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1<f(x)<1等价于f(0)<f(x)<f(3).∵f(x)在R上单调递增，∴0<x<3. 5．已知函数f(x)＝ 则f(x)的单调递增区间是________． 解析：根据题意，函数f(x)＝ 则在区间[0，＋∞)上，f(x)＝x2＋1，单调递增，且f(x)≥1，在区间(－∞，0)上，f(x)＝－x2＋1，单调递增，且f(x)＜1，故f(x)在R上为增函数，即其递增区间为(－∞，＋∞). 答案：(－∞，＋∞) 6．已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是________． 解析：由题意，得解得1≤x<， 故满足条件的x的取值范围是. 答案： 7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)<f(2)，则实数m的取值范围是________. 解析：∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， ∴－＝1，∴a＝－2.如图． ∵f(m＋2)<f(2)，f(0)＝f(2)， ∴0<m＋2<2，∴－2<m<0， 则实数m的取值范围为(－2，0). 答案：(－2，0) 8．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间． 解：f(x)＝的图象如图所示． 由图可知，函数f(x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调增区间为[2，＋∞). 9．已知函数f(x)＝x＋ . (1)用单调性的定义证明f(x)在[2，＋∞)上单调递增； (2)解不等式f(x2－2x＋4)≤f(7). 解：(1)设x1，x2是[2，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋ －x2－ ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2) ＝ ， 因为2≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增． (2)因为x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3>2， 所以由(1)知x2－2x＋4≤7，即x2－2x－3≤0， 解得－1≤x≤3. 所以不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． 【能力提升题组】 10．(多选)关于函数y＝的单调区间以下说法正确的为(　　) A．单调递减区间为(－∞，－3] B．单调递减区间为(－∞，－1] C．单调递增区间为[1，＋∞) D．单调递增区间为(－3，－1] 解析：选AC.该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． 11．函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3 解析：选C.y＝＝1＋， 由题意知解得a≤－3. 12．已知函数f(x)＝ 若f(a2－4)＞f(3a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－4，1) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C．(－1，4) D．(－∞，－1)∪(4，＋∞) 解析：选D.作出f(x)＝的图象如图， 可知f(x)在R上单调递增，若f(a2－4)＞f(3a)， 则a2－4＞3a，解可得a＞4或a＜－1. 13．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________． 解析：因为f(x)是R上的增函数， 所以解得4≤a<8. 答案：[4，8) 14．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________． 解析：由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1， ∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3). ∵f(x)是定义在R上的增函数， ∴－2x>3， 解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为. 答案： 15．已知函数f(x)＝x2－2x＋b. (1)若b＝1，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调，求实数b的取值范围． 解：(1)当b＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 所以函数f(x)的值域为[0，＋∞). (2)因为函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调， 当m≥1时，函数f(x)在[m，n]上单调递增， 此时即 等价于方程x2－2x＋b＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根， 令g(x)＝x2－3x＋b， 则有解得2≤b<； 当n≤1时，函数f(x)在[m，n]上单调递减， 此时即 两式相减得：(m－n)(m＋n－1)＝0， 即m＝n(舍)或m＋n－1＝0，也即m＝1－n， 由m<n可得<n≤1， 将m＝1－n代入n2－2n＋b＝m可得方程n2－n＋b－1＝0在上有解， 即为函数b＝－n2＋n＋1在上的值域问题， 因为b＝－n2＋n＋1＝－＋在上单调递减，所以b∈. 综上所述，b的取值范围是∪. 16．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f ＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f ≤2. 解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1， 所以f(x2)－f(x1) ＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0， 所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． (2)因为f ＝f(x)－f(y)， 所以f(y)＋f ＝f(x). 在上式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)， 因为f(2)＝1，所以f(4)＝2. 于是不等式f(x)－f ≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3).又由(1)，知f(x)是R上的增函数， 所以解得－1≤x<3或3<x≤4， 所以原不等式的解集为[－1，3)∪(3，4]. 第二课时　函数的最值　　　 　 ► 对应学生用书P85 1．函数的最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)． 2．函数的最小值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)． 微点拨：函数的最值和值域的联系与区别 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域． (2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数f(x)＝x2对任意的x∈R都有f(x)≥－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内； ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 【基点小试】 1．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为______，最大值为________． 解析：由图可知，图象最低点的纵坐标为－1，图象最高点的纵坐标为2，所以函数的最大值为2，最小值为－1. 答案：－1　2 2．函数f(x)＝，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：函数f(x)＝在[2，4]上是减函数，所以最大值为f(2)＝1，最小值为f(4)＝. 答案：1　 3．(苏教版必修一P113例4改编)函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________. 解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4. 答案：4 题型一　图象法求函数的最值(值域) 例1.已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值． 解：作出f(x)的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2； 当x＝时，f(x)取最小值为－. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－. [总结] 　利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． 【练一练】 1．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2) B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 解析：选C.由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5). 题型二　单调性法求函数的最值(值域) 例2.已知函数f(x)＝x＋. (1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增； (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值． 解：(1)证明：设1≤x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. ∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1， ∴x1x2－1>0， ∴<0， 即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增， ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2， 当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝. 综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2. [总结] 　1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． 【练一练】 2．已知函数f(x)＝.求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值． 解析：∀x1，x2∈[2，9]，且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝－ ＝－＝. 因为x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). 所以函数f(x)在区间[2，9]上单调递增． 故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝＝，最小值为f(2)＝＝. 题型三　一元二次函数的最值 角度1　不含参的最值问题 例3.(1)函数f(x)＝x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为________； (2)函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为________． 解析：(1)f(x)＝x2＋4x－6＝－10， 因为－2<0，所以当x＝0时，f(x)取得最小值为－6； 所以当x＝5时，f(x)取得最大值为39. 所以函数f(x)的值域为[－6，39]. (2)函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]， 所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2； 当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11， 所以函数f(x)的值域是[－11，－2]. 答案：(1)[－6，39]　(2)[－11，－2] [总结] 　不含参数的最值问题 首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系， (1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到； (2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得． 角度2　含参数的一元二次函数的最值问题 例4.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0，2]上的最大值M(a)和最小值m(a). 解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. (1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0，2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0，2]内， 所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0，2]内， 所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1. (4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. 综上，M(a)＝ m(a)＝ [总结] 　含参数的一元二次函数的最值 以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m为例，区间为，则有 (1)最小值：f(x)min＝ (2)最大值：f(x)max＝ 当开口向下时，可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系． 角度3　与一元二次函数有关的恒成立问题 例5.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞). (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝. (2)法一(函数法)　依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立， 即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立． 记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)， 由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增， 知当x＝1时，y取得最小值3＋a. 所以当3＋a>0即a>－3时，f(x)>0恒成立． 于是实数a的取值范围为(－3，＋∞). 法二(分参法)　依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立． 所以a>－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)， 因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3， 所以a>－3， 故实数a的取值范围为(－3，＋∞). [总结] 　恒成立问题的解题方法 1．函数法：直接研究二次函数的图象与性质，利用函数在给定区间上的单调性与最值解决； 2．分离参数法：在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求．若对区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间D上的任意x，a<f(x)恒成立，则a<f(x)min；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a>f(x)min；若在区间D上存在x使a<f(x)成立，则a<f(x)max，其他(如a≥f(x)等)情形类似可得相应结论． 【练一练】 3．函数y＝2x2－2x－1在区间[－1，1]上的最小值为(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－2 解析：选C.因为y＝2x2－2x－1的图象开口向上，对称轴为直线x＝， 所以在区间[－1，1]上，当x＝时，函数取得最小值－.故选C. 4．已知关于x的不等式x2－x＋a－1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.记f(x)＝x2－x＋a－1，则原问题等价于二次函数f(x)＝x2－x＋a－1的最小值大于或等于0.而f(x)＝＋a－，当x＝时，f(x)min＝a－，所以a－≥0，求得a≥.故选D. 5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 解析：选C.记f(x)＝－x2＋2x，0≤x≤2，因为a＜－x2＋2x恒成立，所以a<f(x)min，而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈[0，2]时，f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.故选C. 6．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a. (1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值； (2)若函数f(x)在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值． 解：(1)若a＝2，则f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，该函数的图象开口向下，图象的对称轴为直线x＝2， ∴函数f(x)在区间[0，2]上单调递增，在区间[2，3]上单调递减， 又f(0)＝－1, f(3)＝2，∴f(x)min＝f(0)＝－1. (2)易知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝a， ①当a≤0时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递减， 则f(x)max＝f(0)＝1－a＝3，解得a＝－2； ②当0<a<1时，函数f(x)在区间[0，a]上单调递增，在区间[a，1]上单调递减， 则f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1＝3，解得a＝2或a＝－1，均不符合，舍去； ③当a≥1时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝3，解得a＝3. 综上所述，a＝－2或a＝3. 题型四　函数最值的实际应用 例6.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y(万元)与x(件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 解：(1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100； 当x>20时，y＝260－100－x＝160－x. 故y＝(x∈N*). (2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，y最大值＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元． 即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元． [总结] 　解实际应用问题的5个步骤 (1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系． (2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数． (3)列：根据已知条件列出正确的数量关系． (4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式． (5)答：回归实际，明确答案，得出结论． 【练一练】 7．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，那么当该公司在甲、乙两地各销售多少时，能获得最大利润？最大的利润是多少？ 解：设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司总获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，所以当x＝9或10时，L最大为120万元．即该公司在甲地销售9台，乙地销售6台，或甲地销售10台，乙地销售5台时，利润最大，最大利润为120万元． [课后分层练(二十四)]　函数的最值 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　) A．f(2)，f(－2) B．f，f(－1) C．f，f D．f，f(0) 解析：选C.根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f. 2．函数f(x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　　) A．[0，3] B．[1，4] C．[0，6] D．[0，4] 解析：选C.∵函数y＝x＋在区间[0，4]上单调递增， 所以f(x)∈[f(0)，f(4)]＝[0，6]. 3．若函数f(x)＝x2＋(m＋1)x＋3在区间(3，5)内存在最小值，则m的取值范围是(　　) A．(5，9) B．(－11，－7) C．[5，9] D．[－11，－7] 解析：选B.由题意可得3<－<5，解得－11<m<－7.故选B. 4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C.因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4 ＝－(x－2)2＋4＋a， 所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2. 所以f(x)在[0，1]上单调递增． 又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2. 所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1. 5．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝______，b＝______． 解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3， ∴f(x)在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9， 得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2. 答案：－2　0 6．若x∈[0，1]，则函数f(x)＝－的最大值为______，最小值为______． 解析：因为y＝在[0，1]上单调递增，y＝在[0，1]上单调递减，所以f(x)＝－在[0，1]上单调递增．当x＝1时，f(x)取得最大值2；当x＝0时，f(x)取得最小值－1. 答案：2　－1 7．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________． 解析：f(x)的图象如图，则f(x)的最大值为f(2)＝2. 答案：2 8．已知函数f(x)＝(x>0). (1)求证：f(x)在(0，1]上单调递增； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解：(1)证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(0，1]上单调递增． (2)当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0， f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减． ∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值． 9．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝2. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝2，∴c＝2，∴f(x)＝ax2＋bx＋2. ∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x， ∴解得 ∴f(x)＝x2－x＋2. (2)由题意知x2－x＋2>2x＋m在[－1，1]上恒成立， 即x2－3x＋2－m>0在[－1，1]上恒成立． 令g(x)＝x2－3x＋2－m＝－－m(x∈[－1，1])， 则g(x)在区间[－1，1]上是减函数， ∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋2－m>0， ∴m<0， 即实数m的取值范围为(－∞，0). 【能力提升题组】 10．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：选A.由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2. 11．(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的是(　　) A．∀x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3 B．∃x∈[－2，2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3 C．∃x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3 D．∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t) 解析：选AC.在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1，3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3，5]，g(t)的值域是[－1，3]，D错误． 12．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________． 解析：在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象． 根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分． 解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6). 所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6. 答案：6 13．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________________． 解析：当x>0时， f(x)＝x＋＋a≥2·＋a＝2＋a， 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，此时f(x)有最小值2＋a. 因为f(0)是f(x)的最小值， 所以当x≤0时， f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0， 此时最小值f(0)＝a2， 故2＋a≥a2，解得－1≤a≤2， 又a≥0，所以0≤a≤2. 故实数a的取值范围为[0，2]. 答案：[0，2] 14．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域). (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b (a≠0)，由表格得方程组解得 所以y＝f(x)＝－3x＋162. 又y≥0，所以30≤x≤54， 故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]. (2)由题意得， P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x) ＝－3x2＋252x－4 860 ＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]. 当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润． 15．定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝Ax＋B(A，B为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数． (1)判断函数g(x)＝x是不是函数f(x)＝2x2的一个承托函数，并说明理由； (2)请写出函数f(x)＝|x|的一个承托函数； (3)若函数g(x)＝2x－a为函数f(x)＝ax2的一个承托函数，求实数a的取值范围． 解：(1)函数g(x)＝x不是函数f(x)＝2x2的一个承托函数， 当x＝时，g(x)＝， f(x)＝，此时f(x)<g(x)，不满足承托函数的定义， 故函数g(x)＝x不是函数f(x)＝2x2的承托函数． (2)根据承托函数的定义可得函数f(x)＝|x|的一个承托函数是g(x)＝x.(答案不唯一) (3)若函数g(x)＝2x－a为函数f(x)＝ax2的一个承托函数， 则ax2≥2x－a对一切实数x都成立， 即ax2－2x＋a≥0对一切实数x都成立， 当a＝0时，g(x)＝2x, f(x)＝0，此时g(x)不是f(x)的承托函数， 当a≠0时，要满足题意，则有解得a≥1， 故实数a的取值范围为[1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $