4.2.2 对数的运算性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦对数的运算性质（积、商、幂的对数）及换底公式，承接对数定义，为后续对数函数学习奠定运算基础。通过“微点拨”“基点小试”“题型分类”构建学习支架，助力学生逐步掌握核心知识。 资料以题型为载体，通过母题探究（如换底公式多角度应用）培养推理能力，结合实际问题（如放射性物质剩余量计算）体现数学应用，分层练习兼顾基础与提升。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，发展数学思维与应用意识。

4．2.2　对数的运算性质 ► 对应学生用书P63 [课程标准]　1.理解对数运算性质．　2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 一、对数的运算性质 条件 a>0，且a≠1，M>0，N>0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 二、换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 微点拨：利用对数换底公式可以得出常用的推论： (1)logab·logba＝1⇔logab＝； (2) 【基点小试】 1．(苏教版必修一P84T2改编)2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选C.2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5100×0.25＝log525＝log552＝2log55＝2. 2．lg 0.01＋log216的值是________． 解析：lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2. 答案：2 3．(苏教版必修一P85例8改编)log23·log34·log42＝________． 解析：log23·log34·log42＝··＝1. 答案：1 4．(一题多法)若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________． 解析：法一　由已知可得··＝2，即＝2，∴lg 3＝2lg a， ∴a2＝3，a＝. 法二　由已知得logab··＝2，即loga3＝2，∴a＝. 答案： 题型一　对数运算性质的应用 例1. 计算：(1)； (2)(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5. 解：(1)原式＝＝ ＝. (2)原式＝lg 2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1. [总结] 　底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). (3)注意事项 ①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题． ②准确应用以下结论： loga1＝0， logaa＝1， alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0). 【练一练】 1．计算：(1)2log32－log3＋log38－25log53 (2)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18. 解：(1)原式＝log34－log3＋log38－25log259＝log3－9＝log39－9＝2－9＝－7. (2)原式＝lg 14－lg ＋lg 7－lg 18＝lg ＝lg 1＝0. 题型二　换底公式的应用 角度1　用已知对数式表示对数值 例2. 已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456. 解：因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝， log1456＝＝ ＝＝＝. 【母题探究】　(1)若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，用a，b表示log1456. 解：因为3b＝2，所以b＝log32，又因为a＝log37，所以log1456＝＝＝＝. (2)本题中a不变，b＝log36，试用a，b表示log1456. 解：因为log36＝log33＋log32＝b，所以log32＝b－1.又因为log37＝a，所以log1456＝＝. [总结] 　用已知对数式的值表示不同底数的对数值，首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数，然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式． 角度2　应用换底公式求值 例3. 计算：(1)log1627log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83). 解：(1)log1627log8132＝×＝×＝×＝. (2)(log32＋log92)(log43＋log83) ＝ ＝ ＝log32×log23 ＝×× ＝. [总结] 1.利用换底公式化简求值时应注意的问题 ①针对具体问题，选择恰当的底数． ②注意换底公式与对数运算法则结合使用． ③换底公式的正用与逆用． ④恰当应用换底公式的两个常用结论． 2．利用换底公式计算、化简、求值的思路 【练一练】 2. 设a＝lg 6，b＝lg 20，则log23等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为a＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b＝lg 20＝1＋lg 2，所以log23＝＝，故选D. 3．(2025·苏州高一上期末)计算()＋eln 2＋log23·log34的值为________． 解析：原式＝()3×＋2＋·＝＋2＋2＝. 答案： . 题型三　对数运算的综合应用 例4. 如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)·lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，求αβ的值． 解：方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程． ∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根． 由韦达定理，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg ， ∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg ，∴αβ＝. [总结] 　只有在一元二次方程中才能应用韦达定理．α，β尽管是原方程的根，但原方程并非是关于x的一元二次方程，所以不能对α，β直接应用韦达定理．而lg α，lg β是关于lg x的二次方程的根，从而可以应用韦达定理求解． 【练一练】 4．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值等于(　　) A．2 B． C．4 D． 解析：选A.由韦达定理，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.题型四　实际问题中的对数运算 例5. 2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(　　) (素数即质数．lg e≈0.434 29，计算结果取整数) A.768 B．144 C．767 D．145 解：选D.由题意，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)＝，则估计1 000以内的素数的个数约为π(1 000)≈＝≈≈145. [总结] 　关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． 【练一练】 5．根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A． B． C． D． 解析：选B.由题意得：＝，两边取常用对数，可得lg ＝lg 1010－lg 36－lg 230≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88. ∴＝10－1.88≈. [课后分层练(十九)]　对数的运算性质 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝(　　) A．3t B．t C．t D． 解析：选A.lg －lg ＝3lg －3lg ＝3lg ＝3(lg x－lg y)＝3t. 2．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac B．a＝cd C. c＝ad D．d＝a＋c 解析：选B.由已知，得a＝，d＝，所以a＝cd. 3. (lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5的值为(　　) A．4 B．1 C．6 D．3 解析：选B.原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋(lg 5)2＋2lg 2·lg 5＝(lg 2＋lg 5)2＝1. 4．已知lg 2＝m，lg 3＝n，用m，n表示log46为(　　) A． B． C．2m2n D． 解析：选D.log46＝＝＝＝. 5．以下四个式子中a>0且a≠1，x>0，m>0，n>0，其中恒成立的是(　　) A．(logax)3＝3logax B．loga(m＋n)＝logam＋logan C．loga＝logam－logan D．＝logaxm 解析：选C.由对数的运算性质可知a>0且a≠1，m>0，n>0.loga＝logam－logan，＝logax，故选C. 6．若log3(log2x)＝log2(log3y)＝0，则x＝________ ，y＝________ . 解析：由已知得log2x＝1，故x＝2.同理，y＝3. 答案：2　3 7．3log72－log79＋2log7()＝_________ . 解析：原式＝log723－log79＋log7()2＝log7＝log71＝0. 答案：0 8．计算log23·log34＋8＋log27＝____ . 解析：log23·log34＋8＋log27＝log23·＋22－log333＝2＋4－3＝3. 答案：3 9．(1)已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求log的值； (2)求方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解． 解：(1)由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)得xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，化为－5＋4＝0，解得＝4或＝1. 又∵x>0，y>0，x－2y>0，∴>2.∴＝4，∴log＝log4＝log()4＝4. (2)原方程可化为log2(x＋1)＝log4(x＋4)＋1，即log2(x＋1)＝log4[4(x＋4)]. 所以log4(x＋1)2＝log4(4x＋16)， 即(x＋1)2＝4x＋16，解得x＝－3或x＝5. 又x＋1>0且x＋4>0，所以x>－1. 所以x＝－3不满足题意，因此应舍去． 故方程的解为x＝5. 10．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)2(lg )2＋lg ·lg 5＋ . 解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. (2)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋＝lg (lg 2＋lg 5)＋1－lg ＝lg ＋1－lg ＝1. 【能力提升题组】 11．计算2log63＋log64的结果是(　　) A．log62 B．2 C．log63 D．3 解析：选B.原式＝ 12．已知log34·log48·log8m＝log416，则m的值为(　　) A． B．9 C．18 D．27 解析：选B.××＝2，＝2，lg m＝lg 9，∴m＝9. 13．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为(　　) A． B． C．2 D．1 解析：选B.因为31＝4x，x＝log43，所以4x＋4－x＝＝3＋＝. 14．(多选)下列运算错误的是(　　) A．2log10＋log0.25＝2 B．log427·log258·log95＝ C．lg 2＋lg 50＝10 D．log(2＋)(2－)－(log2)2＝－ 解析：选ABC.对于A，2log10＋log0.25＝log(102×0.25)＝log52＝－2，A错误； 对于B，log427·log258·log95＝··＝＝，B错误； 对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误； 对于D，log(2＋)(2－)－(log2)2＝－1－()2＝－，D正确．选ABC. 15．(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系不正确的有(　　) A．＋＝1 B．＋＝2 C．＋＝2 D．＋＝ 解析：选BCD.a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确．＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20≠2，故B不正确．＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确． 16．方程log5(x＋1)－log(x－3)＝1的解为x＝________． 解析：log5(x＋1)－log(x－3)＝log5(x＋1)＋log5(x－3)＝log5[(x＋1)(x－3)]＝1， 所以解得x＝4. 因此方程log5(x＋1)－log(x－3)＝1的解为x＝4. 答案：4 17．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0.lg 3 ≈0.477 1) 解：设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y＝0.75；经过2年，剩余量是y＝0.75 2；…… 经过x年，剩余量是y＝0.75x； 由题意得0.75x＝， ∴x＝log0.75＝＝≈4. ∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的. 18．解下列方程： (1)(lg x－lg 3)＝lg 5－lg (x－10)； (2)lg x＋2log10xx＝2. 解：(1)首先，x应满足x＞10， 其次，原方程可化为lg ＝lg ， ∴ ＝，即x2－10x－75＝0. 解得x＝15或x＝－5(舍去)， 经检验，x＝15是原方程的解． (2)首先，x＞0且x≠，其次，原方程可化为lg x＋＝2，即(lg x)2＋lg x－2＝0.令t＝lg x，则t2＋t－2＝0. 解得t＝1或t＝－2，即lg x＝1或lg x＝－2.∴x＝10或x＝. 经检验，x＝10与x＝都是原方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $