4.1 指数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦指数这一核心知识点，从n次方根的定义与性质切入，衔接根式的概念及()ⁿ与√[n](aⁿ)的辨析，延伸到分数指数幂的意义及有理数、无理数指数幂的运算性质，构建从概念到运算的完整学习支架。 资料通过“微点拨”明晰概念细节，“题型示例”分角度（如根式性质、条件化简）结合“母题探究”培养推理意识，分层练习兼顾基础与提升。课中助力教师引导学生抽象数学对象、发展运算能力，课后学生可借实例回顾与分层作业查漏补缺，深化数学思维。

4．1　指数 ► 对应学生用书P54 [课程标准]　1.理解n次方根及根式的概念．能正确运用根式运算性质进行运算．　2.理解分数指数幂的含义；掌握根式与分数指数幂的互化．　3.掌握有理数指数幂及无理数指数幂的运算性质． 一、n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为 a<0 x<0 n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为± a<0 x在实数范围内不存在 微点拨：在根式符号中，注意以下几点： (1)n>1，n∈N＋. (2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义． (3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义． 二、根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：(n>1，且n∈N*) ①()n＝a． ②＝ 微点拨：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、指数幂及其运算 1．分数指数幂的意义 分数 指数 幂 正分数 指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数 指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 微思考：(1) (a>0)写成根式会是怎样的形式？ (2) 的根式形式中a≤0时又如何？ 提示：(1) (其中a>0，m，n∈N＋，且n>1). (2)若a≤0，不一定有意义，例如无意义，故规定a>0. 【基点小试】 1．(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A．正数的偶次方根是一个正数 B．正数的奇次方根是一个正数 C．负数的偶次方根是一个负数 D．负数的奇次方根是一个负数 答案：BD. 2．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.当a<0时，无意义． 3．已知m10＝2，则m等于(　　) A． B．－ C． D．± 解析：选D.m的值可正可负，故选D. 4．下列运算结果中，正确的是(　　) A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6 解析：选A.a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A. 5．＋(－1)0＝________． 解析：＋(－1)0＝m2＋1. 答案：m2＋1 题型一　根式 角度1　根式的性质 例1.(苏教版必修一P76例1改编) (1)式子＋()3的值等于________. 解析：依题意，原式＝|－2|＋(－2)＝2－2＝0. 答案：0 (2)化简：＋(a<b<0，n>1且n∈N*). 解：当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a. 当n是偶数时， 因为a<b<0， 所以a－b<0，a＋b<0. 所以原式＝－(a－b)－(a＋b)＝－2a. 所以＋＝ [总结] 　1.()n与的理解 ()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性来决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a(a∈R)；当n为大于1的偶数时，()n＝a(a≥0).而是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性的限制，因此a∈R，但是该式子的值受n的奇偶性限制，即＝ 2．根式化简的思想 将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式通过恰当地变形，达到化繁为简的目的. 角度2　条件根式的化简 例2.若－4<x<4，求＋的值． 解：原式＝＋＝|x－2|＋|x＋4|. 因为－4<x<4， 所以当－4<x<2时， 原式＝－(x－2)＋(x＋4)＝6. 当2≤x<4时， 原式＝(x－2)＋(x＋4)＝2x＋2. 所以原式＝ [总结] 　条件根式化简的规律 在解决有关根式、绝对值、分式等问题时，一定要仔细观察、分析根号下式子的特征，为使开偶次方后不出现符号错误，一定要先用绝对值号表示，然后利用已知条件去绝对值号，对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论． 【练一练】 1．化简下列各式． (1)＋； (2)＋＋. 解：(1)因为＝|3－π|＝π－3，＝－π－3. 所以原式＝π－3－π－3＝－6. (2)原式＝|－5|＋＋＝5＋2－3＝4. 2．求使下列式子有意义的a的取值集合． (1)＝； (2)＝. 解：(1)因为＝＝， 又＝. 所以＝， 所以1－2a＝0，1－2a＝1， 所以a＝或a＝0. 所以满足条件的a的取值集合为. (2)因为＝＝， 所以2－a>0， 所以a<2. 所以满足条件的a的取值集合为{a|a<2}． 3．(苏教版必修一P76练习T3改编)若x<y<0，试化简＋. 解：原式＝＋ ＝|x＋y|＋|y－x|. 因为x<y<0， 所以x＋y<0，y－x>0. 所以原式＝－(x＋y)＋(y－x)＝－2x. 题型二　根式与分数指数幂 角度1　根式与分数指数幂的互化 例3.用分数指数幂的形式表示下列各式： (1)(a>0)； (2)(b>0)； (3)(x>0，y>0). 解：(1)＝＝＝＝a. (2)原式＝＝b－××＝b. (3)法一　从外向里化为分数指数幂． ＝() ＝ ＝ ＝· ＝··＝＝y. 法二　从里向外化为分数指数幂． ＝＝＝＝＝y. [总结] 　(1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应关系．①根指数↔分数指数的分母；②被开方数(式)的指数↔分数指数的分子． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． 角度2　根式的化简 例4.(苏教版必修一P80T5改编)化简下列各式(a>0，b>0)： (1)； (2)÷()－. 解：(1)原式＝ ＝a×－b×－＝ab－1＝. (2)原式＝ ＝a＋b＋÷(a－1－b－－1)－ ＝ab÷(ab)＝a＝. [总结] 　含根式的运算问题 一般将根式先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法．如＝[(－2)6]＝(26)＝8. 角度3　指数幂的运算性质 例5.计算下列各式： (1)0.008 1－0.25－×[81－0.25＋]－0.5－10×0.027； (2)(×)6＋()－4－×80.25－(－2 022)0. 解：(1)原式＝－3－1×－10×(0.33) ＝－×－10×0.3 ＝－－3＝0. (2)原式＝＋()－4×－2·23×－1 ＝22·33＋2×－4×－2－1 ＝108＋2－7－3＝100. [总结]　(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，以便于运用指数幂的运算性质． 【练一练】 4．化简的结果是(　　) A． B．x C．x2 D．1 解析：选D.原式＝x＋－1－＝x0＝1. 5．化简÷的结果为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－6ab 解析：选C.原式＝4a·b－÷(－a－b)＝a－(－)b－－＝－. 6．将下列根式化为分数指数幂的形式： (1)m2·(m>0)； (2) (m>0)； (3) (a>0，b>0). 解：(1)m2·＝m2·m＝m2＋＝m. (2)＝. (3)原式＝ 7．计算下列各式： (1)＋0.1－2＋－3π0＋； (2)＋0.002－－10×(－2)－1＋(－)0. 解：(1)原式＝＋102＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100. (2)原式＝(－1)－×＋－＋1＝＋500－10×(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－. 题型三　条件求值问题 例6.(苏教版必修一P80T8改编)已知a＋a－＝3，求下列各式的值： (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3). 解：(1)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7. (2)对(1)中的式子两边平方，得a2＋a－2＋2＝49， 所以a2＋a－2＝47. (3) ＝ ＝a＋a－1＋1＝8. 【母题探究】　1.若将本例中已知改为a－a－＝3，所求3个问题的结果是否会发生变化？ 解：(1)将a－a－＝3两边平方，得a＋a－1－2＝9，所以a＋a－1＝11. (2)对(1)中的式子两边平方，得a2＋a－2＋2＝121. 所以a2＋a－2＝119. (3)＝a＋a－1＋1＝11＋1＝12. 2．若本例中，已知a＋a－1＝7，求a＋a－呢？ 解：(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝9. 所以a＋a－＝＝3. [总结] 　解决条件求值问题的一般方法——整体代入法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下： (1)a±2ab＋b＝(a±b)2； (2)(a＋b)(a－b)＝a－b； (3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； (4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b). 【练一练】 8．已知x＋x－1＝3，则x＋x－的值为(　　) A．±4 B．2 C．4 D．－4 解析：选B.因为x＋x－1＝3，所以x>0，则x＋2＋x－1＝3＋2，即(x＋x－)2＝5， 所以x＋x－＝，x＋x－＝(x＋x－)(x－1＋x－1)＝×(3－1)＝2，故选B. [课后分层练(十七)]　指数 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．化简的结果是(　　) A．x B．x C．x D．x6 解析：选A.利用分数指数幂与根式的互化可得＝x.故选A. 2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－＝ B．x－＝(x>0) C．＝y D．[]＝x(x<0) 解析：选B.对于A，－＝－x，故选项A错误； 对于B，x－＝＝，故选项B正确； 对于C，＝y，y不能化简为y，故选项C错误； 对于D，因为x<0，所以[]＝{[(－x)2]}＝[(－x)2]＝(－x)，故选项D错误． 3．(多选)下列各式运算正确的是(　　) A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18 解析：选ABD.对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选ABD. 4．已知m>0，则化为(　　) A．m B．m C．m D．1 解析：选C.m>0，＝＝＝＝＝m.故选C. 5.－＋＝________． 解析：－＋＝－＋1＝－＋1＝3. 答案：3 6．设p、q∈N，满足(ap)q＝ap·aq(a>0，a≠1)，则的值为________． 解析：由(ap)q＝ap·aq可得apq＝ap＋q， 因为a>0且a≠1，可得pq＝p＋q，则(p－1)(q－1)＝1， 由p、q∈N可知p－1、q－1∈N，则p－1＝q－1＝1或p－1＝q－1＝－1， 则p＝q＝2或p＝q＝0. 当p＝q＝0时，无意义； 当p＝q＝2时，＝1. 综上所述，＝1. 答案：1 7．(1)计算：－－8×(－)0＋8； (2)已知x＋x－1＝4，求x＋x－. 解：(1)原式＝[(100)－1]－－(－1)－8＋(23)， ＝100－＋1－8＋2 ＝10＋1－8＝3. (2)由于x＋x－1＝4>0，所以x>0，＝x＋x－1＋2＝6， 所以x＋x－＝. 【能力提升题组】 8．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　) A．(－1)和(－1) B．0－2和0 C．2和4 D．4－和 解析：选C.A不符合题意，(－1)和(－1)均符合分数指数幂的定义，但(－1)＝＝－1，(－1)＝＝1； B不符合题意，0的负分数指数幂没有意义； C符合题意，4＝＝2； D不符合题意，4－和均符合分数指数幂的定义，但4－＝＝，＝23＝8. 9．设f(x)＝，若＋a＝0，则a的取值范围是________，f＝________． 解析：由＋a＝0，即＝－a. 即－a≥0，可知a≤0. 故f＝＝＝ ＝|a＋|＝－a－. 答案：a≤0　－a－ 10．富兰克林是美国著名的政治家和物理学家，去世后留下的财产并不可观，大致只有1 000英镑．但令人惊奇的是，他竟然留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱！这份遗嘱是这样写的： “……1 000英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这1 000英镑，那么这笔钱应托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息，这笔钱过了100年增加到131 000英镑．我希望那时候用100 000英镑来建立一座公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔款增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．从此以后，我可不敢多作主张了．” 你认为富兰克林的设想有道理吗？为什么？ 解：有道理．∵1 000×(1＋0.05)100≈131 501＞131 000，31 000×(1＋0.05)100≈4 076 539＞4 061 000， ∴富兰克林的设想有道理． 学科网（北京）股份有限公司 $