3.3.2 从函数观点看一元二次不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦一元二次不等式的解法及应用，从定义出发，结合二次函数零点与方程根的关系，系统梳理不含参数、含参数不等式的解法及恒成立问题，构建从概念到解法再到应用的完整学习支架。 通过“微思考”辨析概念培养抽象能力，含参数问题分类讨论提升推理能力，实际应用案例强化模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生回顾练习，有效弥补知识盲点。

3．3.2　从函数观点看一元二次不等式 第一课时　一元二次不等式的解法 ► 对应学生用书P45 一、一元二次不等式 一元二次不等式 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 微思考：已知不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－2y>0；③－x2－3x<0；④>0. 其中是一元二次不等式的有哪些？ 提示：①当a＝0时不是一元二次不等式；②含有两个未知量；④是分式不等式；③符合一元二次不等式的定义． 二、一元二次不等式的解法 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0 的实数x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(a>0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac (a≠0) Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函 数图象 y＝ax2＋ bx＋c 一元二次方 程的根ax2 ＋bx＋c＝0 两个不等实根x1，x2 两个相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不 等式解集 ax2＋bx ＋c>0 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不 等式解集 ax2＋bx ＋c<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 微点拨：利用相应一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下： 一元二次不等式，a为正值来定形； 对应方程根求好，心中想想其图象； 大于异根取两边，小于异根夹中间； 大于等根根去掉，小于等根空集成； 大于无根取全体，小于无根不可能！ 注意：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号；解集是指解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式． 【基点小试】 1．不等式x2＋x－6<0的解集是(　　) A．{x|x<－3或x>2} B．{x|－3<x<2} C．{x|x<－2或x>3} D．{x|－2<x<3} 解析：选B.因为方程的两根为－3和2，作出函数y＝x2＋x－6的图象，数形结合可得－3<x<2，故解集是{x|－3<x<2}． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|－1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 解析：选B.由题图知y>0的解集为{x|－1<x<2}． 题型一　不含参数的一元二次不等式的解法 例1.(苏教版必修一P61例1改编)解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. 解：(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示．由图可得原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. [总结] 　解不含参数的一元二次不等式的方法步骤 (1)通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且右边为0)； (2)求出相应的一元二次方程的根，有三种情况：Δ＝0，Δ<0和Δ>0(即求相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2)； (3)画出对应二次函数的草图； (4)结合图形求不等式的解集． 【练一练】 1．解下列不等式： (1)2x2－5x＋2>0； (2)x2－4x＋4≤0； (3)x2－2x＋2>0. 解：(1)方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝，x2＝2.因为对应函数的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是{x|x<或x>2}． (2)方程x2－4x＋4＝0的解是x1＝x2＝2，函数y＝x2－4x＋4的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是{x|x＝2}． (3)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ＝4－4×1×2＝－4<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R. 题型二　含参数的一元二次不等式的解法 例2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 【思维点拨】　(1)对于二次项系数a是否需要分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？ (2)当a≠0时，是否还要比较两根大小？ 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1. ③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a>1，即<1时，解得<x<1； 若0<a<1，即>1时，解得1<x<. 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. [总结] 　含参一元二次不等式的解法 【练一练】 2．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2>0. 解：当a＝0时，－x＋2>0，不等式的解集为{x|x<2}； 当a≠0时，由ax2－(2a＋1)x＋2>0可得(ax－1)(x－2)>0； 方程(ax－1)(x－2)＝0的根为，2， 当a<0时，<2，不等式的解集为； 当a>0时， 当＝2时，即a＝，不等式的解集为{x|x≠2}； 当>2时，即0<a<，不等式的解集为； 当<2时，即a>，不等式的解集为. 题型三　一元二次不等式在R上的恒成立问题 例3.已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 解：①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件； ②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立， 得 解得1<m<19. 综合①②得，实数m的取值范围为{m|1≤m＜19}． [总结] 　一元二次不等式在R上的恒成立问题的解法 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 注意：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或 【练一练】 3．若关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，则k的取值范围是________． 解析：原问题实质是不等式2kx2＋kx－<0在R上恒成立． 当k＝0得－<0，满足题意； 当k≠0时，要保证关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R， 则要满足解得－3<k<0. 综上所述，k的取值范围为(－3，0]. 答案：(－3，0] 4．已知不等式kx2－x＋k<0有解，则实数k的取值范围为________. 解析：当k＝0时，－x<0，符合题意； 当k>0时，令y＝kx2－x＋k，由不等式kx2－x＋k<0有解， 即Δ＝1－4k2>0，得0<k<. 当k<0时，y＝kx2－x＋k 开口向下，满足kx2－x＋k<0有解，符合题意． 综上，实数k的取值范围为k∈. 答案： 培优拓展系列(三)·在给定范围内的恒成立问题 求解方法： 1．分离参数法，先将参数与变量分离到等式两边，转化为相关函数的最值问题． 2．数形结合法，利用一元二次不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．如解决一元二次不等式在某范围内恒成立问题，可结合二次函数的图象进行求解． 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， (1)a>0时，f(x)<0在α≤x≤β时恒成立⇔ (2)a<0时，f(x)>0在α≤x≤β时恒成立⇔ (3)f(x)>0在α≤x≤β时恒成立⇔{x|α≤x≤β}⊆A，其中A是f(x)>0的解集． 例4. 若∀x∈[1，4]，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，求实数a的取值范围． 解：∀x∈[1，4]，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立， ①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R； ②当1<x≤4时，a≤＝x－1＋. ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， ∴x－1＋≥2＝4(当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号)， ∴a≤4. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}． 【练一练】 5．设函数y1＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈[1，3]，y1<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析：函数y1＝mx2－mx－1， 若对任意的x∈[1，3]，y1<－m＋4恒成立， 即mx2－mx＋m－5<0对任意的x∈[1，3]恒成立． 令y2＝mx2－mx＋m－5，x∈[1，3]， 若m＝0，则y2＝－5<0恒成立． 若m<0，则当x＝1时y2最大，且y2max＝m－5<0，解得m<5，∴m<0. 若m>0，则当x＝3时y2最大，且y2max＝7m－5<0，解得m<，∴0<m<. 综上所述，实数m的取值范围为{m|m<}． 答案：{m|m<} [课后分层练(十五)]　一元二次不等式的解法 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．(2025·南通如皋高一上期末)已知集合A＝{x|≤2}，集合B＝{x|x2＋3x－4≤0}．则A∩B＝(　　 ) A．[－4，4] B．[0，1] C．[－4，1] D．(－∞，4] 解析：选B.对于不等式≤2，解得0≤x≤4，所以A＝{x|0≤x≤4}， 对于不等式x2＋3x－4≤0，即(x＋4)(x－1)≤0，解得－4≤x≤1， 所以B＝{x|－4≤x≤1}， 所以A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]. 2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　) A． B．{x|x>a} C． D． 解析：选A.∵a<－1，∴a(x－a)<0⇔(x－a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x<a. 3．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3≥0”，则实数a的取值范围是(　　) A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a≤2 解析：选D.当a＝－1时，3≥0成立；当a≠－1时，需满足解得－1<a≤2. 综上所述，－1≤a≤2. 4．(多选)(2025·盐城五校联盟高一上期末)集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x<m}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则m可以是(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选BCD.A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A是B的真子集，所以m≥3. 5．写出一个解集为(－2，3)的一元二次不等式：______． 解析：由一元二次不等式的解法可知，解集为(－2，3)的一元二次不等式可以是(x＋2)(x－3)<0，即x2－x－6<0. 答案：x2－x－6<0(答案不唯一) 6．已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是________． 解析：因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4的最大值为4，所以a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 答案：[－1，4] 7．已知关于x的不等式ax2－(3a＋1)x＋3<0. (1)当a＝－2时，解此不等式； (2)当a>0时，解此不等式． 解： (1)当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0，整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，当a＝－2时，原不等式解集为. (2)当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0，整理得：(x－3)＜0， 当a＝时，＝3，此时不等式无解； 当0＜a<时，>3，解得3＜x＜； 当a＞时，＜3，解得＜x＜3； 综上：当a＝时，解集为∅； 当0＜a＜时，解集为； 当a＞时，解集为. 8．已知集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|4x＋1≥0}． (1)求(∁RA)∪B； (2)集合C＝{x|(x－a＋1)(x－a2)<0}，若“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围． 解：(1)因为A＝{x|x≤－1或x≥2}，B＝ ， 所以∁RA＝{x|－1<x<2}，故(∁RA)∪B＝{x|x>－1}． (2)由a2－a＋1＝＋>0， 即a2>a－1， 所以C＝{x|(x－a＋1)(x－a2)<0}＝(a－1，a2)， 因为“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件，所以C⫋A， 所以a－1≥2或a2≤－1，可得a≥3， 即a的取值范围是[3，＋∞). 9．已知二次函数f(x)＝x2＋2ax＋2. (1)若x∈[1，5]时，不等式f(x)>3ax恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式(a＋1)x2＋x>f(x)(其中a<0). 解： (1)不等式f(x)>3ax，即为：x2＋2ax＋2>3ax，当x∈[1，5]时，不等式可变形为：a<＝x＋，因为x＋≥2＝2， 当且仅当x＝时取等号，所以＝2，所以实数a的取值范围是a<2； (2)不等式(a＋1)x2＋x>f(x)，即(a＋1)x2＋x>x2＋2ax＋2， 等价于ax2＋(1－2a)x－2>0，转化为(x－2)(ax＋1)>0； 当－<a<0时，因为－>2，所以不等式(x－2)(ax＋1)>0的解集为； 当a＝－时，因为－＝2，所以不等式(x－2)(ax＋1)>0的解集为∅； 当a<－时，因为－<2，所以不等式(x－2)(ax＋1)>0的解集为. 综上所述，当－<a<0时，不等式的解集为；当a＝－时，不等式的解集为∅； 当a<－时，不等式的解集为. 【能力提升题组】 10．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是(　　　). A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选BC.画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得解得4≤m<6.故选BC. 11．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________． 解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}． 答案：{x|2≤x<8} 12．在①∃x∈[－2，0]，②∀x∈[－2，0]，这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解问题．已知函数f(x)＝x2＋2x－a. (1)若命题：“______，f(x)≥0”为真命题，求实数a的取值范围； (2)当a>1时，求关于x的不等式f(x)≥(a＋1)x2＋(1－a)x－a＋1的解集． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)由f(x)≥0，得x2＋2x－a≥0，即a≤x2＋2x.设g(x)＝x2＋2x， 则g(x)＝(x＋1)2－1在[－2，0]上的最小值为g(－1)＝－1，最大值为g(－2)＝g(0)＝0. 选择条件①，则a≤x2＋2x在[－2，0]上成立， 所以a≤0，故实数a的取值范围是(－∞，0]. 选择条件②，则a≤x2＋2x在[－2，0]上恒成立， 所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]. (2)由f(x)≥(a＋1)x2＋(1－a)x－a＋1，可得ax2－(a＋1)x＋1≤0，即(ax－1)(x－1)≤0， 因为a>1，所以(x－1)≤0. ∵<1，不等式的解集为. 13．设函数f(x)＝ax2＋2ax＋4，a∈R. (1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a≤0时，解关于x的不等式f(x)>(a＋1)x＋5. 解：(1)由题意可得，关于x的不等式ax2＋2ax＋4>0在实数集R上恒成立， 当a＝0时，4>0，所以恒成立； 当a≠0时，因为不等式ax2＋2ax＋4>0在实数集R上恒成立， 所以解得0<a<4， 综上所述，实数a的取值范围是[0，4). (2)因为f(x)＝ax2＋2ax＋4， 当a≤0时，由f(x)>(a＋1)x＋5，得ax2＋(a－1)x－1>0，所以(ax－1)(x＋1)>0.若a＝0时，则不等式变为x＋1<0，可得x<－1； 若a<0时，则不等式可变为(x＋1)<0； 当a<－1时，即>－1，可得－1<x<； 当a＝－1时，即＝－1，(x＋1)2<0，显然不成立，解集为∅； 当－1<a<0时，即<－1，可得<x<－1. 综上所述： 当a＝0时，解集为{x|x<－1}； 当－1<a<0时，解集为； 当a＝－1时，解集为∅； 当a<－1时，解集为. 第二课时　一元二次不等式的应用 　 ► 对应学生用书P49 题型一　三个“二次”关系的应用 例1.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [思路点拨] →→→→ 解：法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0， 即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为. 【母题探究】　(1)(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0. ∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0. 解得. (2)(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0.由－＝<0知c>0，∵－＝，＝－， ∴－＝－，＝－，∴不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x－<0， 解得－3<x<， 所以解集为. [总结] 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． 【练一练】 1．不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为(　　) 解析：选C.不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}， ∴a<0，∴⇒∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax－2a＝a(x2－x－2)， 函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，两个零点为x1＝2，x2＝－1. 2．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．ax＋c>0的解集为{x|x>6} C．8a＋4b＋3c<0 D．cx2＋bx＋a<0的解集为 解析：选AD.因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}， 所以a<0且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2，3， 即3×(－2)＝＝－6，3＋(－2)＝－＝1⇒c＝－6a，b＝－a.因此选项A正确； 因为c＝－6a，a<0所以由ax＋c>0⇒ax－6a>0⇒x<6，因此选项B不正确； 由c＝－6a，b＝－a可知：8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，因此选项C不正确； 因为c＝－6a，b＝－a，所以由cx2＋bx＋a<0⇒－6ax2－ax＋a<0⇒6x2＋x－1<0， 解得－<x<，因此选项D正确． 题型二　一元二次不等式的实际应用 例2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即解不等式组，得0<x<，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为. [总结] 　解不等式应用题的步骤 【练一练】 3．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数y＝－10x＋500. (1)设他每月获得的利润为w(单位：元)，写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系． (2)相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利润不少于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解：(1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件， 所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w＝(x－10)(－10x＋500). (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得(x－10)(－10x＋500)≥3 000. 化简，得x2－60x＋800≤0.解得20≤x≤40.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600.故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500，600]元． [课后分层练(十六)]　一元二次不等式的应用 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A．20≤x≤30，x∈N* B．20≤x≤45，x∈N* C．15≤x≤30，x∈N* D．15≤x≤45，x∈N* 解析：选B.由题意知每天的获利为Px－C＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，令－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，x∈N*. 2．已知b，c∈R，关于x的不等式x2＋bx＋c<0的解集为(－2，1)，则关于x的不等式cx2＋bx＋1>0的解集为(　　) A． B． C．∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪ 解析：选A.因为不等式x2＋bx＋c<0的解集为(－2，1)， 所以即 不等式cx2＋bx＋1>0等价于－2x2＋x＋1>0，解得－<x<1. 3．以每秒a m的速度从地面垂直向上发射子弹，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2确定，已知5 s后子弹高245 m，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为(　　) A．4 s B．5 s C．6 s D．7 s 解析：选B.因为5 s后子弹高245 m，所以有245＝a·5－4.9×52⇒a＝73.5， 即x＝73.5t－4.9t2， 由题意可知x＝73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为10－5＝5 s. 4．(多选)某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的值可以是(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 解析：选BCD.根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128， 整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8， 所以R的值可以是4，7，8. 5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的两个零点为－1和3，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________________． 解析：由题意知二次函数的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，且开口向下，所以不等式的解集为{x|x>3或x<－1}. 答案：{x|x>3或x<－1} 6．已知不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2<x<7}，则实数a的值为______，函数y＝x2＋bx＋a的所有零点之和等于______． 解析：由题设，易知－2，7是ax2＋bx＋1＝0的两个根，则所以 对于y＝x2＋bx＋a，其所有零点之和为－b＝－. 答案：－　－ 7．某杂志以每册12元的价格可发行12万册，设定价每提高(降低)1元，发行量减少(增加)4万册．若要使总收入不低于200万元，则该杂志的最高定价是________． 解析：设杂志的定价为x元， 根据题意得x＝－40 000x2＋600 000x≥2 000 000，解得5≤x≤10，所以该杂志的最高定价是10元． 答案：10元 8．某企业用1 960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋x(x≥8，x∈N)层，每层2 800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元). (1)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？ (2)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2 000元，则该楼房最多建多少层？(注：综合费用＝建筑费用＋购地费用) 解：(1)设该楼房每平方米的平均综合费用为y元， 则y＝＋565＋70x＝＋70x＋565， 因为＋70x≥2×700＝1 400，当且仅当＝70x，即x＝10时，等号成立， 所以当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，且最小值为700＋700＋565＝1 965元． (2)由(1)可知该楼房每平方米的平均综合费用y＝＋70x＋565， 则＋70x＋565≤2 000，即2x2－41x＋200≤0，即(2x－25)(x－8)≤0，解得8≤x≤12.5. 因为x∈N，所以该楼房最多建12层． 9．已知函数f(x)＝x2－ax＋2. (1)若f(x)≤－4的解集为{x|2≤x≤b}，求实数a，b的值； (2)当时，若关于x的不等式f(x)≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)若f(x)≤－4的解集为{x|2≤x≤b}，则x2－ax＋6≤0的解集为{x|2≤x≤b}， 所以解得a＝5，b＝3. (2)由f(x)≥1－x2得2x2－ax＋1≥0对x≥恒成立， 即a≤2x＋在上恒成立，所以a≤，x∈， 又2x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，取等号， 所以＝2，即a≤2，故实数a的取值范围为{a|a≤2}． 【能力提升题组】 10．关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|m<x<n}(m<n)，有下列四个结论： 甲：m＝－3 乙：n＝－1 丙：m＋n＝－2 丁：ac<0 如果只有一个假命题，则假命题是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选B.假设只有甲是假命题，当n＝－1，m＋n＝－2时，m＝－1，所以mn＝1＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有乙是假命题，m＝－3，m＋n＝－2时，n＝1，所以mn＝－3＝<0，∴ac<0， 符合题意；假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意． 11．一般地，把b－a称为集合{x|a<x<b}的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________． 解析：不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0， 设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，不妨令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k， 由题意得：x2－x1＝＝≤3，解得：－1≤k≤9，结合k>8或k<0，所以实数k的取值范围为{k|－1≤k<0或8<k≤9}． 答案：{k|－1≤k<0或8<k≤9} 12．某建筑队在一块长AM＝30 m，宽AN＝20 m的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x m， (1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144 m2，AB的长度应该在什么范围？ (2)长度AB和宽度AD分别为多少米时，矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m2? 解：(1)依题意知△NDC∽△NAM， ∴＝， 即＝，则AD＝20－x. 故矩形ABCD的面积S＝20x－x2(0<x<30). 要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米， 即S＝20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0， 解得12≤x≤18，故AB的长度范围应在12≤x≤18内． (2)S＝20x－x2＝x(30－x)≤2＝150， 当且仅当x＝30－x，即x＝15时等号成立．此时AD＝20－x＝10. 故AB＝15 m，AD＝10 m时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150 m2. 13．考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速v(公里/小时)控制在60≤v≤120范围内．已知汽车以v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为升，其中k为常数，不同型号汽车k值不同，且满足60≤k≤120. (1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围； (2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值． 解：(1)由题意可知，当v＝120时，＝11.5，解得k＝100， 由≤9，即v2－145v＋4 500≤0，解得：45≤v≤100， 因为要求高速公路的车速v(公里/小时)控制在60≤v≤120范围内， 所以60≤v≤100， 故汽车每小时的油耗不超过9升，车速v的取值范围为{v|60≤v≤100}． (2)设该汽车行驶100千米的油耗为y升， 则y＝·＝20－＋(60≤v≤120)， 令t＝，则≤t≤， 所以y＝90 000t2－20kt＋20＝9 0002＋20－，≤t≤， 可得对称轴为t＝，由60≤k≤120，可得<<， 当≤≤时，即75≤k≤120时， 则当t＝时，ymin＝20－； 当≤<，即60≤k<75时， 则当t＝时，ymin＝90 000×－20k×＋20＝－； 综上所述，当75≤k≤120时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20－升； 当60≤k<75时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为－升． 学科网（北京）股份有限公司 $