3.3.1 从函数观点看一元二次方程-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦“从函数观点看一元二次方程”核心知识点，以二次函数零点定义为起点，通过表格系统对比判别式、方程根、函数图象与零点的关系，构建“概念理解-关系探究-应用拓展”的递进式学习支架，涵盖零点求解、个数判断及分布探究等内容。 该资料突出数学眼光与思维的培养，用表格直观呈现方程、函数与图象的联系，微点拨精准解析易混点，助力抽象能力与几何直观形成。题型示例融入分类讨论，发展推理意识，课后分层练习兼顾基础与提升，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 ► 对应学生用书P42 [课程标准]　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．　3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 3．3.1　 从函数观点看一元二次方程 一、二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 微点拨：函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应方程的实数根． 二、函数零点的探究 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1，2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x＝ 无零点 微点拨：求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0.若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的实数根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点． 【基点小试】 1．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析：选C.令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1. 2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________． 解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2. 答案：2 3．求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解：(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－. (2)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，可知该函数的零点为－3和1. 题型一　二次函数的零点 例1.(1)(苏教版必修一P59例1改编)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________； (2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________． 解析：(1)由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4. 所以函数y＝x2－7x＋12的零点为3和4. (2)由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2的零点为－和－. 答案：(1)3和4　(2)－和－ [总结] 　二次函数零点的求法 (1)代数法：求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点； (2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点． 【练一练】 1．求函数y＝ax2－x－a－1(a∈R)的零点． 解：①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1. 当＝－1时，即当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1. 当≠－1且a≠0时，即当a≠－且a≠0时，x1≠x2， 函数有两个零点－1和. 综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1. 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和. 题型二　函数零点个数的判断与证明 例2.若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． 证明：因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)， 又a>2，所以Δ>0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． 【母题探究】　(变设问)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件． 解：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点． 当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解，函数无零点． 当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根． 所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0. 即或 解得a≥2或a≤－2，又a≠2所以a>2或a≤－2， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件为a>2或a≤－2. [总结] 　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的判断 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac. (1)Δ>0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点； (2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点； (3)Δ<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点． 题型三　二次函数零点的分布探究 例3.(1)(苏教版必修一P59例2改编)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点； (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围． [思维点拨]　(1)直接求出函数的零点，再加以判定． (2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究． 解：(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2， 所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点． (2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数， 所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根，显然a≠2. 由一元二次方程的根与系数的关系得 即所以a<－2. 即实数a的取值范围(－∞，－2). [总结] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的分布探究 结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理： (1)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点； (2)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点； (3)x1x2<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点． 【练一练】 2．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R). (1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围； (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围． 解：法一　由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a. (1)因为该函数有两个正的零点，所以解得0<a<或<a<1， 所以a的取值范围是0<a<或<a<1. (2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以或解得a>1或a<0. 所以a的取值范围是a>1或a<0. 法二　(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0， 所以 解得0<a<或<a<1， 所以a的取值范围是0<a<或<a<1. (2)方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2>0，设其两实数根分别为x1，x2， 则 因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0. 所以a的取值范围是a>1或a<0. [课后分层练(十四)]　从函数观点看一元二次方程 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．函数y＝x2＋4x－5的零点为(　　) A．－5和1 B．(－5，0)和(1，0) C．－5 D．1 解析：选A.由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1. 2．(多选)已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值可能是(　　) A．－4 B．2 C．3 D．－1 解析：选ABC.当a＝0时，y＝3无零点．当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得x＝，所以－1<<1.当a>0时，－2a<a－3<2a，解得a>1；当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3.所以a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞). 3．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 解析：选C.由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时，函数的零点有1个，当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点个数是1或2. 4．函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为－2和3，a<0，那么函数y2＝cx2－bx＋a的零点为(　　) A．－和 B．和－ C．－3和2 D．无法确定 解析：选A.由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝，故选A. 5．关于x的函数y＝x2－2ax－8a2(a>0)的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.故选A. 6．已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A．[－4，－3) B．(－4，－3] C．(－4，－3) D．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) 解析：选C.x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，故方程的判别式Δ>0；当x＝2时函数值y>0；函数对称轴x＝3>2. 即解得－4<m<－3，故选C. 7．(多选)若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论中正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．当m>0时，x1<2<3<x2 解析：选ABD.对于A，当m＝0时，方程为(x－2)(x－3)＝0，解得x1＝2，x2＝3，所以A正确．对于B，将方程整理可得x2－5x＋6－m＝0，由于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4(6－m)>0，解得m>－，所以B正确．对于C和D，当m>0时，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m<6，结合2＋3＝5，2×3＝6即可得出x1<2，x2>3，故C不符合题意，D符合题意． 8．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＋＝________． 解析：因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得所以＋＝＝1. 答案：1 9．函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为________． 解析：因为函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，所以解得0<m<. 答案： 10．求下列函数的零点： (1)y＝x－2－3； (2)y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2). 解：(1)由x－2－3＝0得(＋1)(－3)＝0， 因为≥0，所以＝3， 即x＝9，所以函数y＝x－2－3的零点为9. (2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＝0得[x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0， ①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4； ②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时， 函数有两个零点a＋1和2(a－1). 【能力提升题组】 11．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是(　　) A．函数一定有两个零点 B．a>0时，函数一定有两个零点 C．a<0时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 解析：选BCD.当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，故BC正确．当a＝0时，函数有唯一零点为0，故D正确，A不正确． 12．已知实数a<b，函数y＝(x－a)(x－b)－1的两个零点为m，n(m<n)，则a，b，m，n的大小关系是__________． 解析：由题意知：当x＝a或x＝b时，y＝－1，二次函数的图象的开口方向向上，画出简图(图略)，易得m<a<b<n. 答案：m<a<b<n 13．已知函数y＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，有y≤0，则实数a的取值范围是________． 解析：若a＝0，则y＝－1≤0恒成立，若a≠0，则由题意，得解得－4≤a<0，综上，得a∈[－4，0]. 答案：[－4，0] 14．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>，求实数a的取值范围． 解：函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n， 又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1. 所以解得－<a<0，即实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $